Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mbfi1flim.1 |
|- ( ph -> F e. MblFn ) |
2 |
|
mbfi1flimlem.2 |
|- ( ph -> F : RR --> RR ) |
3 |
2
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. RR ) |
4 |
2
|
feqmptd |
|- ( ph -> F = ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) ) |
5 |
4 1
|
eqeltrrd |
|- ( ph -> ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) e. MblFn ) |
6 |
3 5
|
mbfpos |
|- ( ph -> ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) e. MblFn ) |
7 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
8 |
|
ifcl |
|- ( ( ( F ` y ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) e. RR ) |
9 |
3 7 8
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) e. RR ) |
10 |
|
max1 |
|- ( ( 0 e. RR /\ ( F ` y ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) |
11 |
7 3 10
|
sylancr |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) |
12 |
|
elrege0 |
|- ( if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ) |
13 |
9 11 12
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
14 |
13
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) |
15 |
6 14
|
mbfi1fseq |
|- ( ph -> E. f ( f : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( f ` n ) /\ ( f ` n ) oR <_ ( f ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) |
16 |
3
|
renegcld |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> -u ( F ` y ) e. RR ) |
17 |
3 5
|
mbfneg |
|- ( ph -> ( y e. RR |-> -u ( F ` y ) ) e. MblFn ) |
18 |
16 17
|
mbfpos |
|- ( ph -> ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) e. MblFn ) |
19 |
|
ifcl |
|- ( ( -u ( F ` y ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) e. RR ) |
20 |
16 7 19
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) e. RR ) |
21 |
|
max1 |
|- ( ( 0 e. RR /\ -u ( F ` y ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) |
22 |
7 16 21
|
sylancr |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) |
23 |
|
elrege0 |
|- ( if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ) |
24 |
20 22 23
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
25 |
24
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) |
26 |
18 25
|
mbfi1fseq |
|- ( ph -> E. h ( h : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( h ` n ) /\ ( h ` n ) oR <_ ( h ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) |
27 |
|
exdistrv |
|- ( E. f E. h ( ( f : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( f ` n ) /\ ( f ` n ) oR <_ ( f ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) /\ ( h : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( h ` n ) /\ ( h ` n ) oR <_ ( h ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) <-> ( E. f ( f : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( f ` n ) /\ ( f ` n ) oR <_ ( f ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) /\ E. h ( h : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( h ` n ) /\ ( h ` n ) oR <_ ( h ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) ) |
28 |
|
3simpb |
|- ( ( f : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( f ` n ) /\ ( f ` n ) oR <_ ( f ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) -> ( f : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) |
29 |
|
3simpb |
|- ( ( h : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( h ` n ) /\ ( h ` n ) oR <_ ( h ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) -> ( h : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) |
30 |
28 29
|
anim12i |
|- ( ( ( f : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( f ` n ) /\ ( f ` n ) oR <_ ( f ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) /\ ( h : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( h ` n ) /\ ( h ` n ) oR <_ ( h ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) -> ( ( f : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) /\ ( h : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) ) |
31 |
|
an4 |
|- ( ( ( f : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) /\ ( h : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) <-> ( ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) /\ ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) ) |
32 |
30 31
|
sylib |
|- ( ( ( f : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( f ` n ) /\ ( f ` n ) oR <_ ( f ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) /\ ( h : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( h ` n ) /\ ( h ` n ) oR <_ ( h ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) -> ( ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) /\ ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) ) |
33 |
|
r19.26 |
|- ( A. x e. RR ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) <-> ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) |
34 |
|
i1fsub |
|- ( ( x e. dom S.1 /\ y e. dom S.1 ) -> ( x oF - y ) e. dom S.1 ) |
35 |
34
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ ( x e. dom S.1 /\ y e. dom S.1 ) ) -> ( x oF - y ) e. dom S.1 ) |
36 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) -> f : NN --> dom S.1 ) |
37 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) -> h : NN --> dom S.1 ) |
38 |
|
nnex |
|- NN e. _V |
39 |
38
|
a1i |
|- ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) -> NN e. _V ) |
40 |
|
inidm |
|- ( NN i^i NN ) = NN |
41 |
35 36 37 39 39 40
|
off |
|- ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) -> ( f oF oF - h ) : NN --> dom S.1 ) |
42 |
|
fveq2 |
|- ( y = x -> ( F ` y ) = ( F ` x ) ) |
43 |
42
|
breq2d |
|- ( y = x -> ( 0 <_ ( F ` y ) <-> 0 <_ ( F ` x ) ) ) |
44 |
43 42
|
ifbieq1d |
|- ( y = x -> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) |
45 |
|
eqid |
|- ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) = ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) |
46 |
|
fvex |
|- ( F ` x ) e. _V |
47 |
|
c0ex |
|- 0 e. _V |
48 |
46 47
|
ifex |
|- if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) e. _V |
49 |
44 45 48
|
fvmpt |
|- ( x e. RR -> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) = if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) |
50 |
49
|
breq2d |
|- ( x e. RR -> ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) <-> ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) |
51 |
42
|
negeqd |
|- ( y = x -> -u ( F ` y ) = -u ( F ` x ) ) |
52 |
51
|
breq2d |
|- ( y = x -> ( 0 <_ -u ( F ` y ) <-> 0 <_ -u ( F ` x ) ) ) |
53 |
52 51
|
ifbieq1d |
|- ( y = x -> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) |
54 |
|
eqid |
|- ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) = ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) |
55 |
|
negex |
|- -u ( F ` x ) e. _V |
56 |
55 47
|
ifex |
|- if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) e. _V |
57 |
53 54 56
|
fvmpt |
|- ( x e. RR -> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) = if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) |
58 |
57
|
breq2d |
|- ( x e. RR -> ( ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) <-> ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) |
59 |
50 58
|
anbi12d |
|- ( x e. RR -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) <-> ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) |
60 |
59
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) <-> ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) |
61 |
|
nnuz |
|- NN = ( ZZ>= ` 1 ) |
62 |
|
1zzd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) -> 1 e. ZZ ) |
63 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) |
64 |
38
|
mptex |
|- ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) e. _V |
65 |
64
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) e. _V ) |
66 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) |
67 |
36
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ n e. NN ) -> ( f ` n ) e. dom S.1 ) |
68 |
|
i1ff |
|- ( ( f ` n ) e. dom S.1 -> ( f ` n ) : RR --> RR ) |
69 |
67 68
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ n e. NN ) -> ( f ` n ) : RR --> RR ) |
70 |
69
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( f ` n ) ` x ) e. RR ) |
71 |
70
|
an32s |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( ( f ` n ) ` x ) e. RR ) |
72 |
71
|
recnd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( ( f ` n ) ` x ) e. CC ) |
73 |
72
|
fmpttd |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) : NN --> CC ) |
74 |
73
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) : NN --> CC ) |
75 |
74
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ` k ) e. CC ) |
76 |
37
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ n e. NN ) -> ( h ` n ) e. dom S.1 ) |
77 |
|
i1ff |
|- ( ( h ` n ) e. dom S.1 -> ( h ` n ) : RR --> RR ) |
78 |
76 77
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ n e. NN ) -> ( h ` n ) : RR --> RR ) |
79 |
78
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( h ` n ) ` x ) e. RR ) |
80 |
79
|
an32s |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( ( h ` n ) ` x ) e. RR ) |
81 |
80
|
recnd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( ( h ` n ) ` x ) e. CC ) |
82 |
81
|
fmpttd |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) : NN --> CC ) |
83 |
82
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) : NN --> CC ) |
84 |
83
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ` k ) e. CC ) |
85 |
36
|
ffnd |
|- ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) -> f Fn NN ) |
86 |
37
|
ffnd |
|- ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) -> h Fn NN ) |
87 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( f ` k ) = ( f ` k ) ) |
88 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( h ` k ) = ( h ` k ) ) |
89 |
85 86 39 39 40 87 88
|
ofval |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( f oF oF - h ) ` k ) = ( ( f ` k ) oF - ( h ` k ) ) ) |
90 |
89
|
fveq1d |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( f oF oF - h ) ` k ) ` x ) = ( ( ( f ` k ) oF - ( h ` k ) ) ` x ) ) |
91 |
90
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( f oF oF - h ) ` k ) ` x ) = ( ( ( f ` k ) oF - ( h ` k ) ) ` x ) ) |
92 |
36
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( f ` k ) e. dom S.1 ) |
93 |
|
i1ff |
|- ( ( f ` k ) e. dom S.1 -> ( f ` k ) : RR --> RR ) |
94 |
|
ffn |
|- ( ( f ` k ) : RR --> RR -> ( f ` k ) Fn RR ) |
95 |
92 93 94
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( f ` k ) Fn RR ) |
96 |
37
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( h ` k ) e. dom S.1 ) |
97 |
|
i1ff |
|- ( ( h ` k ) e. dom S.1 -> ( h ` k ) : RR --> RR ) |
98 |
|
ffn |
|- ( ( h ` k ) : RR --> RR -> ( h ` k ) Fn RR ) |
99 |
96 97 98
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( h ` k ) Fn RR ) |
100 |
|
reex |
|- RR e. _V |
101 |
100
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ k e. NN ) -> RR e. _V ) |
102 |
|
inidm |
|- ( RR i^i RR ) = RR |
103 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( f ` k ) ` x ) = ( ( f ` k ) ` x ) ) |
104 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( h ` k ) ` x ) = ( ( h ` k ) ` x ) ) |
105 |
95 99 101 101 102 103 104
|
ofval |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( f ` k ) oF - ( h ` k ) ) ` x ) = ( ( ( f ` k ) ` x ) - ( ( h ` k ) ` x ) ) ) |
106 |
91 105
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( f oF oF - h ) ` k ) ` x ) = ( ( ( f ` k ) ` x ) - ( ( h ` k ) ` x ) ) ) |
107 |
106
|
an32s |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( f oF oF - h ) ` k ) ` x ) = ( ( ( f ` k ) ` x ) - ( ( h ` k ) ` x ) ) ) |
108 |
|
fveq2 |
|- ( n = k -> ( ( f oF oF - h ) ` n ) = ( ( f oF oF - h ) ` k ) ) |
109 |
108
|
fveq1d |
|- ( n = k -> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) = ( ( ( f oF oF - h ) ` k ) ` x ) ) |
110 |
|
eqid |
|- ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) |
111 |
|
fvex |
|- ( ( ( f oF oF - h ) ` k ) ` x ) e. _V |
112 |
109 110 111
|
fvmpt |
|- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) ` k ) = ( ( ( f oF oF - h ) ` k ) ` x ) ) |
113 |
112
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) ` k ) = ( ( ( f oF oF - h ) ` k ) ` x ) ) |
114 |
|
fveq2 |
|- ( n = k -> ( f ` n ) = ( f ` k ) ) |
115 |
114
|
fveq1d |
|- ( n = k -> ( ( f ` n ) ` x ) = ( ( f ` k ) ` x ) ) |
116 |
|
eqid |
|- ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) |
117 |
|
fvex |
|- ( ( f ` k ) ` x ) e. _V |
118 |
115 116 117
|
fvmpt |
|- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ` k ) = ( ( f ` k ) ` x ) ) |
119 |
|
fveq2 |
|- ( n = k -> ( h ` n ) = ( h ` k ) ) |
120 |
119
|
fveq1d |
|- ( n = k -> ( ( h ` n ) ` x ) = ( ( h ` k ) ` x ) ) |
121 |
|
eqid |
|- ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) |
122 |
|
fvex |
|- ( ( h ` k ) ` x ) e. _V |
123 |
120 121 122
|
fvmpt |
|- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ` k ) = ( ( h ` k ) ` x ) ) |
124 |
118 123
|
oveq12d |
|- ( k e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ` k ) - ( ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ` k ) ) = ( ( ( f ` k ) ` x ) - ( ( h ` k ) ` x ) ) ) |
125 |
124
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ` k ) - ( ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ` k ) ) = ( ( ( f ` k ) ` x ) - ( ( h ` k ) ` x ) ) ) |
126 |
107 113 125
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) ` k ) = ( ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ` k ) - ( ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ` k ) ) ) |
127 |
126
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) ` k ) = ( ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ` k ) - ( ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ` k ) ) ) |
128 |
61 62 63 65 66 75 84 127
|
climsub |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) ~~> ( if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) - if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) |
129 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) -> F : RR --> RR ) |
130 |
129
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR ) |
131 |
|
max0sub |
|- ( ( F ` x ) e. RR -> ( if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) - if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) = ( F ` x ) ) |
132 |
130 131
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) -> ( if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) - if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) = ( F ` x ) ) |
133 |
132
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) -> ( if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) - if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) = ( F ` x ) ) |
134 |
128 133
|
breqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) /\ ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) |
135 |
134
|
ex |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) |
136 |
60 135
|
sylbid |
|- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) |
137 |
136
|
ralimdva |
|- ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) -> ( A. x e. RR ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) |
138 |
|
ovex |
|- ( f oF oF - h ) e. _V |
139 |
|
feq1 |
|- ( g = ( f oF oF - h ) -> ( g : NN --> dom S.1 <-> ( f oF oF - h ) : NN --> dom S.1 ) ) |
140 |
|
fveq1 |
|- ( g = ( f oF oF - h ) -> ( g ` n ) = ( ( f oF oF - h ) ` n ) ) |
141 |
140
|
fveq1d |
|- ( g = ( f oF oF - h ) -> ( ( g ` n ) ` x ) = ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) |
142 |
141
|
mpteq2dv |
|- ( g = ( f oF oF - h ) -> ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) ) |
143 |
142
|
breq1d |
|- ( g = ( f oF oF - h ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) <-> ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) |
144 |
143
|
ralbidv |
|- ( g = ( f oF oF - h ) -> ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) <-> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) |
145 |
139 144
|
anbi12d |
|- ( g = ( f oF oF - h ) -> ( ( g : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) <-> ( ( f oF oF - h ) : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) ) |
146 |
138 145
|
spcev |
|- ( ( ( f oF oF - h ) : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( ( f oF oF - h ) ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) |
147 |
41 137 146
|
syl6an |
|- ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) -> ( A. x e. RR ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) /\ ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) ) |
148 |
33 147
|
syl5bir |
|- ( ( ph /\ ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) ) -> ( ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) ) |
149 |
148
|
expimpd |
|- ( ph -> ( ( ( f : NN --> dom S.1 /\ h : NN --> dom S.1 ) /\ ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) ) |
150 |
32 149
|
syl5 |
|- ( ph -> ( ( ( f : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( f ` n ) /\ ( f ` n ) oR <_ ( f ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) /\ ( h : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( h ` n ) /\ ( h ` n ) oR <_ ( h ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) ) |
151 |
150
|
exlimdvv |
|- ( ph -> ( E. f E. h ( ( f : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( f ` n ) /\ ( f ` n ) oR <_ ( f ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) /\ ( h : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( h ` n ) /\ ( h ` n ) oR <_ ( h ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) ) |
152 |
27 151
|
syl5bir |
|- ( ph -> ( ( E. f ( f : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( f ` n ) /\ ( f ` n ) oR <_ ( f ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` y ) , ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) /\ E. h ( h : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( h ` n ) /\ ( h ` n ) oR <_ ( h ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( h ` n ) ` x ) ) ~~> ( ( y e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` y ) , -u ( F ` y ) , 0 ) ) ` x ) ) ) -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) ) |
153 |
15 26 152
|
mp2and |
|- ( ph -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) |