Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
methaus.1 |
|- J = ( MetOpen ` D ) |
2 |
1
|
mopntop |
|- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top ) |
3 |
1
|
mopnuni |
|- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J ) |
4 |
3
|
eleq2d |
|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X <-> x e. U. J ) ) |
5 |
4
|
biimpar |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. U. J ) -> x e. X ) |
6 |
|
simpll |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ n e. NN ) -> D e. ( *Met ` X ) ) |
7 |
|
simplr |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ n e. NN ) -> x e. X ) |
8 |
|
nnrp |
|- ( n e. NN -> n e. RR+ ) |
9 |
8
|
adantl |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ n e. NN ) -> n e. RR+ ) |
10 |
9
|
rpreccld |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR+ ) |
11 |
10
|
rpxrd |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR* ) |
12 |
1
|
blopn |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( 1 / n ) e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) e. J ) |
13 |
6 7 11 12
|
syl3anc |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ n e. NN ) -> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) e. J ) |
14 |
13
|
fmpttd |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) : NN --> J ) |
15 |
14
|
frnd |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) C_ J ) |
16 |
|
nnex |
|- NN e. _V |
17 |
16
|
mptex |
|- ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) e. _V |
18 |
17
|
rnex |
|- ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) e. _V |
19 |
18
|
elpw |
|- ( ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) e. ~P J <-> ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) C_ J ) |
20 |
15 19
|
sylibr |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) e. ~P J ) |
21 |
|
omelon |
|- _om e. On |
22 |
|
nnenom |
|- NN ~~ _om |
23 |
22
|
ensymi |
|- _om ~~ NN |
24 |
|
isnumi |
|- ( ( _om e. On /\ _om ~~ NN ) -> NN e. dom card ) |
25 |
21 23 24
|
mp2an |
|- NN e. dom card |
26 |
|
ovex |
|- ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) e. _V |
27 |
|
eqid |
|- ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) |
28 |
26 27
|
fnmpti |
|- ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) Fn NN |
29 |
|
dffn4 |
|- ( ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) Fn NN <-> ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) : NN -onto-> ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ) |
30 |
28 29
|
mpbi |
|- ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) : NN -onto-> ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) |
31 |
|
fodomnum |
|- ( NN e. dom card -> ( ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) : NN -onto-> ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) -> ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ~<_ NN ) ) |
32 |
25 30 31
|
mp2 |
|- ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ~<_ NN |
33 |
|
domentr |
|- ( ( ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ~<_ NN /\ NN ~~ _om ) -> ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ~<_ _om ) |
34 |
32 22 33
|
mp2an |
|- ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ~<_ _om |
35 |
34
|
a1i |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ~<_ _om ) |
36 |
|
simpll |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) -> D e. ( *Met ` X ) ) |
37 |
|
simprl |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) -> z e. J ) |
38 |
|
simprr |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) -> x e. z ) |
39 |
1
|
mopni2 |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ z e. J /\ x e. z ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) |
40 |
36 37 38 39
|
syl3anc |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) |
41 |
|
simp-4l |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> D e. ( *Met ` X ) ) |
42 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> x e. X ) |
43 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> y e. NN ) |
44 |
43
|
nnrpd |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> y e. RR+ ) |
45 |
44
|
rpreccld |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> ( 1 / y ) e. RR+ ) |
46 |
|
blcntr |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( 1 / y ) e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) ) |
47 |
41 42 45 46
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> x e. ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) ) |
48 |
45
|
rpxrd |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> ( 1 / y ) e. RR* ) |
49 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> r e. RR+ ) |
50 |
49
|
rpxrd |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> r e. RR* ) |
51 |
|
nnrecre |
|- ( y e. NN -> ( 1 / y ) e. RR ) |
52 |
51
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> ( 1 / y ) e. RR ) |
53 |
49
|
rpred |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> r e. RR ) |
54 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> ( 1 / y ) < r ) |
55 |
52 53 54
|
ltled |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> ( 1 / y ) <_ r ) |
56 |
|
ssbl |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( ( 1 / y ) e. RR* /\ r e. RR* ) /\ ( 1 / y ) <_ r ) -> ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) |
57 |
41 42 48 50 55 56
|
syl221anc |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) |
58 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) |
59 |
57 58
|
sstrd |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) C_ z ) |
60 |
47 59
|
jca |
|- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) /\ ( y e. NN /\ ( 1 / y ) < r ) ) -> ( x e. ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) /\ ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) C_ z ) ) |
61 |
|
elrp |
|- ( r e. RR+ <-> ( r e. RR /\ 0 < r ) ) |
62 |
|
nnrecl |
|- ( ( r e. RR /\ 0 < r ) -> E. y e. NN ( 1 / y ) < r ) |
63 |
61 62
|
sylbi |
|- ( r e. RR+ -> E. y e. NN ( 1 / y ) < r ) |
64 |
63
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> E. y e. NN ( 1 / y ) < r ) |
65 |
60 64
|
reximddv |
|- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ z ) ) -> E. y e. NN ( x e. ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) /\ ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) C_ z ) ) |
66 |
40 65
|
rexlimddv |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) -> E. y e. NN ( x e. ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) /\ ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) C_ z ) ) |
67 |
|
ovexd |
|- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ y e. NN ) -> ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) e. _V ) |
68 |
|
vex |
|- w e. _V |
69 |
|
oveq2 |
|- ( n = y -> ( 1 / n ) = ( 1 / y ) ) |
70 |
69
|
oveq2d |
|- ( n = y -> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) = ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) ) |
71 |
70
|
cbvmptv |
|- ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) = ( y e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) ) |
72 |
71
|
elrnmpt |
|- ( w e. _V -> ( w e. ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) <-> E. y e. NN w = ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) ) ) |
73 |
68 72
|
mp1i |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) -> ( w e. ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) <-> E. y e. NN w = ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) ) ) |
74 |
|
eleq2 |
|- ( w = ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) -> ( x e. w <-> x e. ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) ) ) |
75 |
|
sseq1 |
|- ( w = ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) -> ( w C_ z <-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) C_ z ) ) |
76 |
74 75
|
anbi12d |
|- ( w = ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) -> ( ( x e. w /\ w C_ z ) <-> ( x e. ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) /\ ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) C_ z ) ) ) |
77 |
76
|
adantl |
|- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) /\ w = ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) ) -> ( ( x e. w /\ w C_ z ) <-> ( x e. ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) /\ ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) C_ z ) ) ) |
78 |
67 73 77
|
rexxfr2d |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) -> ( E. w e. ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) <-> E. y e. NN ( x e. ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) /\ ( x ( ball ` D ) ( 1 / y ) ) C_ z ) ) ) |
79 |
66 78
|
mpbird |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( z e. J /\ x e. z ) ) -> E. w e. ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) |
80 |
79
|
expr |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ z e. J ) -> ( x e. z -> E. w e. ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) |
81 |
80
|
ralrimiva |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> A. z e. J ( x e. z -> E. w e. ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) |
82 |
|
breq1 |
|- ( y = ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) -> ( y ~<_ _om <-> ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ~<_ _om ) ) |
83 |
|
rexeq |
|- ( y = ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) -> ( E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) <-> E. w e. ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) |
84 |
83
|
imbi2d |
|- ( y = ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) -> ( ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) <-> ( x e. z -> E. w e. ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
85 |
84
|
ralbidv |
|- ( y = ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) -> ( A. z e. J ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) <-> A. z e. J ( x e. z -> E. w e. ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
86 |
82 85
|
anbi12d |
|- ( y = ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) -> ( ( y ~<_ _om /\ A. z e. J ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) <-> ( ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ~<_ _om /\ A. z e. J ( x e. z -> E. w e. ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) ) |
87 |
86
|
rspcev |
|- ( ( ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) e. ~P J /\ ( ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ~<_ _om /\ A. z e. J ( x e. z -> E. w e. ran ( n e. NN |-> ( x ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) -> E. y e. ~P J ( y ~<_ _om /\ A. z e. J ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
88 |
20 35 81 87
|
syl12anc |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> E. y e. ~P J ( y ~<_ _om /\ A. z e. J ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
89 |
5 88
|
syldan |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. U. J ) -> E. y e. ~P J ( y ~<_ _om /\ A. z e. J ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
90 |
89
|
ralrimiva |
|- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. U. J E. y e. ~P J ( y ~<_ _om /\ A. z e. J ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) |
91 |
|
eqid |
|- U. J = U. J |
92 |
91
|
is1stc2 |
|- ( J e. 1stc <-> ( J e. Top /\ A. x e. U. J E. y e. ~P J ( y ~<_ _om /\ A. z e. J ( x e. z -> E. w e. y ( x e. w /\ w C_ z ) ) ) ) ) |
93 |
2 90 92
|
sylanbrc |
|- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. 1stc ) |