Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nosupbnd1.1 |
|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x . } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) |
2 |
|
simp2l |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x A C_ No ) |
3 |
|
simp3 |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x U e. A ) |
4 |
2 3
|
sseldd |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x U e. No ) |
5 |
1
|
nosupno |
|- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> S e. No ) |
6 |
5
|
3ad2ant2 |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x S e. No ) |
7 |
|
nodmon |
|- ( S e. No -> dom S e. On ) |
8 |
6 7
|
syl |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x dom S e. On ) |
9 |
|
noreson |
|- ( ( U e. No /\ dom S e. On ) -> ( U |` dom S ) e. No ) |
10 |
4 8 9
|
syl2anc |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U |` dom S ) e. No ) |
11 |
|
dmres |
|- dom ( U |` dom S ) = ( dom S i^i dom U ) |
12 |
|
inss1 |
|- ( dom S i^i dom U ) C_ dom S |
13 |
11 12
|
eqsstri |
|- dom ( U |` dom S ) C_ dom S |
14 |
13
|
a1i |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x dom ( U |` dom S ) C_ dom S ) |
15 |
|
ssidd |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x dom S C_ dom S ) |
16 |
|
iffalse |
|- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x if ( E. x e. A A. y e. A -. x . } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) |
17 |
1 16
|
syl5eq |
|- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x S = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) |
18 |
17
|
dmeqd |
|- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x dom S = dom ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) |
19 |
|
iotaex |
|- ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) e. _V |
20 |
|
eqid |
|- ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) |
21 |
19 20
|
dmmpti |
|- dom ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) = { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |
22 |
18 21
|
eqtrdi |
|- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x dom S = { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } ) |
23 |
22
|
eleq2d |
|- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( h e. dom S <-> h e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } ) ) |
24 |
|
vex |
|- h e. _V |
25 |
|
eleq1w |
|- ( y = h -> ( y e. dom u <-> h e. dom u ) ) |
26 |
|
suceq |
|- ( y = h -> suc y = suc h ) |
27 |
26
|
reseq2d |
|- ( y = h -> ( u |` suc y ) = ( u |` suc h ) ) |
28 |
26
|
reseq2d |
|- ( y = h -> ( v |` suc y ) = ( v |` suc h ) ) |
29 |
27 28
|
eqeq12d |
|- ( y = h -> ( ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) <-> ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) |
30 |
29
|
imbi2d |
|- ( y = h -> ( ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> ( -. v ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) |
31 |
30
|
ralbidv |
|- ( y = h -> ( A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> A. v e. A ( -. v ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) |
32 |
25 31
|
anbi12d |
|- ( y = h -> ( ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> ( h e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) |
33 |
32
|
rexbidv |
|- ( y = h -> ( E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> E. u e. A ( h e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) |
34 |
|
dmeq |
|- ( u = p -> dom u = dom p ) |
35 |
34
|
eleq2d |
|- ( u = p -> ( h e. dom u <-> h e. dom p ) ) |
36 |
|
breq2 |
|- ( u = p -> ( v v |
37 |
36
|
notbid |
|- ( u = p -> ( -. v -. v |
38 |
|
reseq1 |
|- ( u = p -> ( u |` suc h ) = ( p |` suc h ) ) |
39 |
38
|
eqeq1d |
|- ( u = p -> ( ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) <-> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) |
40 |
37 39
|
imbi12d |
|- ( u = p -> ( ( -. v ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) <-> ( -. v ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) |
41 |
40
|
ralbidv |
|- ( u = p -> ( A. v e. A ( -. v ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) <-> A. v e. A ( -. v ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) |
42 |
35 41
|
anbi12d |
|- ( u = p -> ( ( h e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) <-> ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) |
43 |
42
|
cbvrexvw |
|- ( E. u e. A ( h e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) <-> E. p e. A ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) |
44 |
33 43
|
bitrdi |
|- ( y = h -> ( E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> E. p e. A ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) |
45 |
24 44
|
elab |
|- ( h e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } <-> E. p e. A ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) |
46 |
23 45
|
bitrdi |
|- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( h e. dom S <-> E. p e. A ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) |
47 |
46
|
3ad2ant1 |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( h e. dom S <-> E. p e. A ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) |
48 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> -. E. x e. A A. y e. A -. x |
49 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( A C_ No /\ A e. _V ) ) |
50 |
|
simprl |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> p e. A ) |
51 |
|
simprrl |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> h e. dom p ) |
52 |
|
simprrr |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> A. v e. A ( -. v ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) |
53 |
1
|
nosupres |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) -> ( S |` suc h ) = ( p |` suc h ) ) |
54 |
48 49 50 51 52 53
|
syl113anc |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( S |` suc h ) = ( p |` suc h ) ) |
55 |
|
simpl2l |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> A C_ No ) |
56 |
55 50
|
sseldd |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> p e. No ) |
57 |
4
|
adantr |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> U e. No ) |
58 |
|
sltso |
|- |
59 |
|
soasym |
|- ( ( ( p -. U |
60 |
58 59
|
mpan |
|- ( ( p e. No /\ U e. No ) -> ( p -. U |
61 |
56 57 60
|
syl2anc |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( p -. U |
62 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> U e. A ) |
63 |
|
breq1 |
|- ( v = U -> ( v U |
64 |
63
|
notbid |
|- ( v = U -> ( -. v -. U |
65 |
|
reseq1 |
|- ( v = U -> ( v |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) |
66 |
65
|
eqeq2d |
|- ( v = U -> ( ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) <-> ( p |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) ) |
67 |
64 66
|
imbi12d |
|- ( v = U -> ( ( -. v ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) <-> ( -. U ( p |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) ) ) |
68 |
67
|
rspcv |
|- ( U e. A -> ( A. v e. A ( -. v ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) -> ( -. U ( p |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) ) ) |
69 |
62 52 68
|
sylc |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( -. U ( p |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) ) |
70 |
61 69
|
syld |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( p ( p |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) ) |
71 |
70
|
imp |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) /\ p ( p |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) |
72 |
|
nodmon |
|- ( p e. No -> dom p e. On ) |
73 |
56 72
|
syl |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> dom p e. On ) |
74 |
|
onelon |
|- ( ( dom p e. On /\ h e. dom p ) -> h e. On ) |
75 |
73 51 74
|
syl2anc |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> h e. On ) |
76 |
|
sucelon |
|- ( h e. On <-> suc h e. On ) |
77 |
75 76
|
sylib |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> suc h e. On ) |
78 |
|
noreson |
|- ( ( U e. No /\ suc h e. On ) -> ( U |` suc h ) e. No ) |
79 |
57 77 78
|
syl2anc |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( U |` suc h ) e. No ) |
80 |
|
sonr |
|- ( ( -. ( U |` suc h ) |
81 |
58 80
|
mpan |
|- ( ( U |` suc h ) e. No -> -. ( U |` suc h ) |
82 |
79 81
|
syl |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> -. ( U |` suc h ) |
83 |
82
|
adantr |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) /\ p -. ( U |` suc h ) |
84 |
71 83
|
eqnbrtrd |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) /\ p -. ( p |` suc h ) |
85 |
84
|
ex |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( p -. ( p |` suc h ) |
86 |
|
sltres |
|- ( ( p e. No /\ U e. No /\ suc h e. On ) -> ( ( p |` suc h ) p |
87 |
56 57 77 86
|
syl3anc |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( ( p |` suc h ) p |
88 |
87
|
con3d |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( -. p -. ( p |` suc h ) |
89 |
85 88
|
pm2.61d |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> -. ( p |` suc h ) |
90 |
54 89
|
eqnbrtrd |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> -. ( S |` suc h ) |
91 |
90
|
rexlimdvaa |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( E. p e. A ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) -> -. ( S |` suc h ) |
92 |
47 91
|
sylbid |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( h e. dom S -> -. ( S |` suc h ) |
93 |
92
|
imp |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x -. ( S |` suc h ) |
94 |
|
nodmord |
|- ( S e. No -> Ord dom S ) |
95 |
|
ordsucss |
|- ( Ord dom S -> ( h e. dom S -> suc h C_ dom S ) ) |
96 |
6 94 95
|
3syl |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( h e. dom S -> suc h C_ dom S ) ) |
97 |
96
|
imp |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x suc h C_ dom S ) |
98 |
97
|
resabs1d |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( ( U |` dom S ) |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) |
99 |
98
|
breq2d |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( ( S |` suc h ) ( S |` suc h ) |
100 |
93 99
|
mtbird |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x -. ( S |` suc h ) |
101 |
100
|
ralrimiva |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x A. h e. dom S -. ( S |` suc h ) |
102 |
|
noresle |
|- ( ( ( ( U |` dom S ) e. No /\ S e. No ) /\ ( dom ( U |` dom S ) C_ dom S /\ dom S C_ dom S /\ A. h e. dom S -. ( S |` suc h ) -. S |
103 |
10 6 14 15 101 102
|
syl23anc |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x -. S |