Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nosupbnd1.1 |
|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x . } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) |
2 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x -. E. x e. A A. y e. A -. x |
3 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( A C_ No /\ A e. _V ) ) |
4 |
|
simprl |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x w e. A ) |
5 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) |
6 |
|
simprr |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x U |
7 |
|
simp2l |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x A C_ No ) |
8 |
|
simp3l |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x U e. A ) |
9 |
7 8
|
sseldd |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x U e. No ) |
10 |
|
simpl2l |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x A C_ No ) |
11 |
10 4
|
sseldd |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x w e. No ) |
12 |
|
sltso |
|- |
13 |
|
soasym |
|- ( ( ( U -. w |
14 |
12 13
|
mpan |
|- ( ( U e. No /\ w e. No ) -> ( U -. w |
15 |
9 11 14
|
syl2an2r |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U -. w |
16 |
6 15
|
mpd |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x -. w |
17 |
4 16
|
jca |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( w e. A /\ -. w |
18 |
1
|
nosupbnd1lem2 |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( w |` dom S ) = S ) |
19 |
2 3 5 17 18
|
syl112anc |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( w |` dom S ) = S ) |
20 |
1
|
nosupbnd1lem3 |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( w ` dom S ) =/= 2o ) |
21 |
2 3 4 19 20
|
syl112anc |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( w ` dom S ) =/= 2o ) |
22 |
21
|
neneqd |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x -. ( w ` dom S ) = 2o ) |
23 |
22
|
expr |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U -. ( w ` dom S ) = 2o ) ) |
24 |
|
imnan |
|- ( ( U -. ( w ` dom S ) = 2o ) <-> -. ( U |
25 |
23 24
|
sylib |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x -. ( U |
26 |
25
|
nrexdv |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x -. E. w e. A ( U |
27 |
|
simpl3l |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x U e. A ) |
28 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x -. E. x e. A A. y e. A -. x |
29 |
|
breq2 |
|- ( w = y -> ( u u |
30 |
29
|
cbvrexvw |
|- ( E. w e. A u E. y e. A u |
31 |
|
breq1 |
|- ( u = x -> ( u x |
32 |
31
|
rexbidv |
|- ( u = x -> ( E. y e. A u E. y e. A x |
33 |
30 32
|
syl5bb |
|- ( u = x -> ( E. w e. A u E. y e. A x |
34 |
33
|
cbvralvw |
|- ( A. u e. A E. w e. A u A. x e. A E. y e. A x |
35 |
|
dfrex2 |
|- ( E. y e. A x -. A. y e. A -. x |
36 |
35
|
ralbii |
|- ( A. x e. A E. y e. A x A. x e. A -. A. y e. A -. x |
37 |
|
ralnex |
|- ( A. x e. A -. A. y e. A -. x -. E. x e. A A. y e. A -. x |
38 |
34 36 37
|
3bitri |
|- ( A. u e. A E. w e. A u -. E. x e. A A. y e. A -. x |
39 |
28 38
|
sylibr |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x A. u e. A E. w e. A u |
40 |
|
breq1 |
|- ( u = U -> ( u U |
41 |
40
|
rexbidv |
|- ( u = U -> ( E. w e. A u E. w e. A U |
42 |
41
|
rspcv |
|- ( U e. A -> ( A. u e. A E. w e. A u E. w e. A U |
43 |
27 39 42
|
sylc |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x E. w e. A U |
44 |
|
simpl2l |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x A C_ No ) |
45 |
44 27
|
sseldd |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x U e. No ) |
46 |
45
|
adantr |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x U e. No ) |
47 |
44
|
adantr |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x A C_ No ) |
48 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x w e. A ) |
49 |
47 48
|
sseldd |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x w e. No ) |
50 |
1
|
nosupno |
|- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> S e. No ) |
51 |
50
|
3ad2ant2 |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x S e. No ) |
52 |
51
|
adantr |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x S e. No ) |
53 |
52
|
adantr |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x S e. No ) |
54 |
|
nodmon |
|- ( S e. No -> dom S e. On ) |
55 |
53 54
|
syl |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x dom S e. On ) |
56 |
|
simpl3r |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U |` dom S ) = S ) |
57 |
56
|
adantr |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U |` dom S ) = S ) |
58 |
|
simpll1 |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x -. E. x e. A A. y e. A -. x |
59 |
|
simpll2 |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( A C_ No /\ A e. _V ) ) |
60 |
|
simpll3 |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) |
61 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x U |
62 |
45 49 14
|
syl2an2r |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U -. w |
63 |
61 62
|
mpd |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x -. w |
64 |
48 63
|
jca |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( w e. A /\ -. w |
65 |
58 59 60 64 18
|
syl112anc |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( w |` dom S ) = S ) |
66 |
57 65
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U |` dom S ) = ( w |` dom S ) ) |
67 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U ` dom S ) = (/) ) |
68 |
|
nolt02o |
|- ( ( ( U e. No /\ w e. No /\ dom S e. On ) /\ ( ( U |` dom S ) = ( w |` dom S ) /\ U ( w ` dom S ) = 2o ) |
69 |
46 49 55 66 61 67 68
|
syl321anc |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( w ` dom S ) = 2o ) |
70 |
69
|
expr |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U ( w ` dom S ) = 2o ) ) |
71 |
70
|
ancld |
|- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U ( U |
72 |
71
|
reximdva |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( E. w e. A U E. w e. A ( U |
73 |
43 72
|
mpd |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x E. w e. A ( U |
74 |
26 73
|
mtand |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x -. ( U ` dom S ) = (/) ) |
75 |
74
|
neqned |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U ` dom S ) =/= (/) ) |