Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ordtNEW.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
ordtNEW.l |
|- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) |
3 |
|
fvex |
|- ( le ` K ) e. _V |
4 |
3
|
inex1 |
|- ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) e. _V |
5 |
2 4
|
eqeltri |
|- .<_ e. _V |
6 |
5
|
inex1 |
|- ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V |
7 |
|
eqid |
|- dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |
8 |
|
eqid |
|- ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) = ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) |
9 |
|
eqid |
|- ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) = ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) |
10 |
7 8 9
|
ordtval |
|- ( ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V -> ( ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( { dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) } u. ( ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) u. ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) ) ) ) ) ) |
11 |
6 10
|
mp1i |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( { dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) } u. ( ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) u. ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) ) ) ) ) ) |
12 |
|
ordttop |
|- ( .<_ e. _V -> ( ordTop ` .<_ ) e. Top ) |
13 |
5 12
|
ax-mp |
|- ( ordTop ` .<_ ) e. Top |
14 |
|
fvex |
|- ( Base ` K ) e. _V |
15 |
1 14
|
eqeltri |
|- B e. _V |
16 |
15
|
ssex |
|- ( A C_ B -> A e. _V ) |
17 |
|
resttop |
|- ( ( ( ordTop ` .<_ ) e. Top /\ A e. _V ) -> ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) e. Top ) |
18 |
13 16 17
|
sylancr |
|- ( A C_ B -> ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) e. Top ) |
19 |
18
|
adantl |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) e. Top ) |
20 |
1
|
ressprs |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( K |`s A ) e. Proset ) |
21 |
|
eqid |
|- ( Base ` ( K |`s A ) ) = ( Base ` ( K |`s A ) ) |
22 |
|
eqid |
|- ( ( le ` ( K |`s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K |`s A ) ) X. ( Base ` ( K |`s A ) ) ) ) = ( ( le ` ( K |`s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K |`s A ) ) X. ( Base ` ( K |`s A ) ) ) ) |
23 |
21 22
|
prsdm |
|- ( ( K |`s A ) e. Proset -> dom ( ( le ` ( K |`s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K |`s A ) ) X. ( Base ` ( K |`s A ) ) ) ) = ( Base ` ( K |`s A ) ) ) |
24 |
20 23
|
syl |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> dom ( ( le ` ( K |`s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K |`s A ) ) X. ( Base ` ( K |`s A ) ) ) ) = ( Base ` ( K |`s A ) ) ) |
25 |
|
eqid |
|- ( K |`s A ) = ( K |`s A ) |
26 |
25 1
|
ressbas2 |
|- ( A C_ B -> A = ( Base ` ( K |`s A ) ) ) |
27 |
|
fvex |
|- ( Base ` ( K |`s A ) ) e. _V |
28 |
26 27
|
eqeltrdi |
|- ( A C_ B -> A e. _V ) |
29 |
|
eqid |
|- ( le ` K ) = ( le ` K ) |
30 |
25 29
|
ressle |
|- ( A e. _V -> ( le ` K ) = ( le ` ( K |`s A ) ) ) |
31 |
28 30
|
syl |
|- ( A C_ B -> ( le ` K ) = ( le ` ( K |`s A ) ) ) |
32 |
31
|
adantl |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( le ` K ) = ( le ` ( K |`s A ) ) ) |
33 |
26
|
adantl |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> A = ( Base ` ( K |`s A ) ) ) |
34 |
33
|
sqxpeqd |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( A X. A ) = ( ( Base ` ( K |`s A ) ) X. ( Base ` ( K |`s A ) ) ) ) |
35 |
32 34
|
ineq12d |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) = ( ( le ` ( K |`s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K |`s A ) ) X. ( Base ` ( K |`s A ) ) ) ) ) |
36 |
35
|
dmeqd |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> dom ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) = dom ( ( le ` ( K |`s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K |`s A ) ) X. ( Base ` ( K |`s A ) ) ) ) ) |
37 |
24 36 33
|
3eqtr4d |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> dom ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) = A ) |
38 |
1 2
|
prsss |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) ) |
39 |
38
|
dmeqd |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = dom ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) ) |
40 |
1 2
|
prsdm |
|- ( K e. Proset -> dom .<_ = B ) |
41 |
40
|
sseq2d |
|- ( K e. Proset -> ( A C_ dom .<_ <-> A C_ B ) ) |
42 |
41
|
biimpar |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> A C_ dom .<_ ) |
43 |
|
sseqin2 |
|- ( A C_ dom .<_ <-> ( dom .<_ i^i A ) = A ) |
44 |
42 43
|
sylib |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( dom .<_ i^i A ) = A ) |
45 |
37 39 44
|
3eqtr4d |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( dom .<_ i^i A ) ) |
46 |
5 12
|
mp1i |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( ordTop ` .<_ ) e. Top ) |
47 |
16
|
adantl |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> A e. _V ) |
48 |
|
eqid |
|- dom .<_ = dom .<_ |
49 |
48
|
ordttopon |
|- ( .<_ e. _V -> ( ordTop ` .<_ ) e. ( TopOn ` dom .<_ ) ) |
50 |
5 49
|
mp1i |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( ordTop ` .<_ ) e. ( TopOn ` dom .<_ ) ) |
51 |
|
toponmax |
|- ( ( ordTop ` .<_ ) e. ( TopOn ` dom .<_ ) -> dom .<_ e. ( ordTop ` .<_ ) ) |
52 |
50 51
|
syl |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> dom .<_ e. ( ordTop ` .<_ ) ) |
53 |
|
elrestr |
|- ( ( ( ordTop ` .<_ ) e. Top /\ A e. _V /\ dom .<_ e. ( ordTop ` .<_ ) ) -> ( dom .<_ i^i A ) e. ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
54 |
46 47 52 53
|
syl3anc |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( dom .<_ i^i A ) e. ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
55 |
45 54
|
eqeltrd |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
56 |
55
|
snssd |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> { dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) } C_ ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
57 |
|
rabeq |
|- ( dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( dom .<_ i^i A ) -> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) |
58 |
45 57
|
syl |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) |
59 |
45 58
|
mpteq12dv |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) = ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) ) |
60 |
59
|
rneqd |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) = ran ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) ) |
61 |
|
inrab2 |
|- ( { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } i^i A ) = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y .<_ x } |
62 |
|
inss2 |
|- ( dom .<_ i^i A ) C_ A |
63 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) /\ y e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> y e. ( dom .<_ i^i A ) ) |
64 |
62 63
|
sseldi |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) /\ y e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> y e. A ) |
65 |
|
simpr |
|- ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> x e. ( dom .<_ i^i A ) ) |
66 |
62 65
|
sseldi |
|- ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> x e. A ) |
67 |
66
|
adantr |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) /\ y e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> x e. A ) |
68 |
|
brinxp |
|- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( y .<_ x <-> y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x ) ) |
69 |
64 67 68
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) /\ y e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( y .<_ x <-> y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x ) ) |
70 |
69
|
notbid |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) /\ y e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( -. y .<_ x <-> -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x ) ) |
71 |
70
|
rabbidva |
|- ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y .<_ x } = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) |
72 |
61 71
|
syl5eq |
|- ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } i^i A ) = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) |
73 |
5 12
|
mp1i |
|- ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( ordTop ` .<_ ) e. Top ) |
74 |
47
|
adantr |
|- ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> A e. _V ) |
75 |
|
simpl |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> K e. Proset ) |
76 |
|
inss1 |
|- ( dom .<_ i^i A ) C_ dom .<_ |
77 |
76
|
sseli |
|- ( x e. ( dom .<_ i^i A ) -> x e. dom .<_ ) |
78 |
48
|
ordtopn1 |
|- ( ( .<_ e. _V /\ x e. dom .<_ ) -> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } e. ( ordTop ` .<_ ) ) |
79 |
5 78
|
mpan |
|- ( x e. dom .<_ -> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } e. ( ordTop ` .<_ ) ) |
80 |
79
|
adantl |
|- ( ( K e. Proset /\ x e. dom .<_ ) -> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } e. ( ordTop ` .<_ ) ) |
81 |
75 77 80
|
syl2an |
|- ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } e. ( ordTop ` .<_ ) ) |
82 |
|
elrestr |
|- ( ( ( ordTop ` .<_ ) e. Top /\ A e. _V /\ { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } e. ( ordTop ` .<_ ) ) -> ( { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } i^i A ) e. ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
83 |
73 74 81 82
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } i^i A ) e. ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
84 |
72 83
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } e. ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
85 |
84
|
fmpttd |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) : ( dom .<_ i^i A ) --> ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
86 |
85
|
frnd |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ran ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) C_ ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
87 |
60 86
|
eqsstrd |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) C_ ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
88 |
|
rabeq |
|- ( dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( dom .<_ i^i A ) -> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) |
89 |
45 88
|
syl |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) |
90 |
45 89
|
mpteq12dv |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) = ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) ) |
91 |
90
|
rneqd |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) = ran ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) ) |
92 |
|
inrab2 |
|- ( { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } i^i A ) = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x .<_ y } |
93 |
|
brinxp |
|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x .<_ y <-> x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y ) ) |
94 |
67 64 93
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) /\ y e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( x .<_ y <-> x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y ) ) |
95 |
94
|
notbid |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) /\ y e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( -. x .<_ y <-> -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y ) ) |
96 |
95
|
rabbidva |
|- ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x .<_ y } = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) |
97 |
92 96
|
syl5eq |
|- ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } i^i A ) = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) |
98 |
48
|
ordtopn2 |
|- ( ( .<_ e. _V /\ x e. dom .<_ ) -> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } e. ( ordTop ` .<_ ) ) |
99 |
5 98
|
mpan |
|- ( x e. dom .<_ -> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } e. ( ordTop ` .<_ ) ) |
100 |
99
|
adantl |
|- ( ( K e. Proset /\ x e. dom .<_ ) -> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } e. ( ordTop ` .<_ ) ) |
101 |
75 77 100
|
syl2an |
|- ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } e. ( ordTop ` .<_ ) ) |
102 |
|
elrestr |
|- ( ( ( ordTop ` .<_ ) e. Top /\ A e. _V /\ { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } e. ( ordTop ` .<_ ) ) -> ( { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } i^i A ) e. ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
103 |
73 74 101 102
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } i^i A ) e. ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
104 |
97 103
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } e. ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
105 |
104
|
fmpttd |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) : ( dom .<_ i^i A ) --> ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
106 |
105
|
frnd |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ran ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) C_ ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
107 |
91 106
|
eqsstrd |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) C_ ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
108 |
87 107
|
unssd |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) u. ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) ) C_ ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
109 |
56 108
|
unssd |
|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( { dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) } u. ( ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) u. ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) ) ) C_ ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
110 |
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|- ( ( ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) e. Top /\ ( { dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) } u. ( ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) u. ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) ) ) C_ ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) } u. ( ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) u. ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) ) ) ) ) C_ ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |
111 |
19 109 110
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112 |
11 111
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|- ( ( K e. Proset /\ A C_ B ) -> ( ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( ( ordTop ` .<_ ) |`t A ) ) |