Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
uptx.1 |
|- T = ( R tX S ) |
2 |
|
uptx.2 |
|- X = U. R |
3 |
|
uptx.3 |
|- Y = U. S |
4 |
|
uptx.4 |
|- Z = ( X X. Y ) |
5 |
|
uptx.5 |
|- P = ( 1st |` Z ) |
6 |
|
uptx.6 |
|- Q = ( 2nd |` Z ) |
7 |
|
eqid |
|- U. U = U. U |
8 |
|
eqid |
|- ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) |
9 |
7 8
|
txcnmpt |
|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) |
10 |
1
|
oveq2i |
|- ( U Cn T ) = ( U Cn ( R tX S ) ) |
11 |
9 10
|
eleqtrrdi |
|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) ) |
12 |
7 2
|
cnf |
|- ( F e. ( U Cn R ) -> F : U. U --> X ) |
13 |
7 3
|
cnf |
|- ( G e. ( U Cn S ) -> G : U. U --> Y ) |
14 |
|
ffn |
|- ( F : U. U --> X -> F Fn U. U ) |
15 |
14
|
adantr |
|- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> F Fn U. U ) |
16 |
|
fo1st |
|- 1st : _V -onto-> _V |
17 |
|
fofn |
|- ( 1st : _V -onto-> _V -> 1st Fn _V ) |
18 |
16 17
|
ax-mp |
|- 1st Fn _V |
19 |
|
ssv |
|- ( X X. Y ) C_ _V |
20 |
|
fnssres |
|- ( ( 1st Fn _V /\ ( X X. Y ) C_ _V ) -> ( 1st |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) ) |
21 |
18 19 20
|
mp2an |
|- ( 1st |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) |
22 |
|
ffvelrn |
|- ( ( F : U. U --> X /\ x e. U. U ) -> ( F ` x ) e. X ) |
23 |
|
ffvelrn |
|- ( ( G : U. U --> Y /\ x e. U. U ) -> ( G ` x ) e. Y ) |
24 |
|
opelxpi |
|- ( ( ( F ` x ) e. X /\ ( G ` x ) e. Y ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( X X. Y ) ) |
25 |
22 23 24
|
syl2an |
|- ( ( ( F : U. U --> X /\ x e. U. U ) /\ ( G : U. U --> Y /\ x e. U. U ) ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( X X. Y ) ) |
26 |
25
|
anandirs |
|- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ x e. U. U ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( X X. Y ) ) |
27 |
26
|
fmpttd |
|- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) ) |
28 |
|
ffn |
|- ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) Fn U. U ) |
29 |
27 28
|
syl |
|- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) Fn U. U ) |
30 |
27
|
frnd |
|- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ran ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) C_ ( X X. Y ) ) |
31 |
|
fnco |
|- ( ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) /\ ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) Fn U. U /\ ran ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) C_ ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) Fn U. U ) |
32 |
21 29 30 31
|
mp3an2i |
|- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) Fn U. U ) |
33 |
|
fvco3 |
|- ( ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) ) |
34 |
27 33
|
sylan |
|- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) ) |
35 |
|
fveq2 |
|- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) ) |
36 |
|
fveq2 |
|- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) ) |
37 |
35 36
|
opeq12d |
|- ( x = z -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. = <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) |
38 |
|
opex |
|- <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. _V |
39 |
37 8 38
|
fvmpt |
|- ( z e. U. U -> ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) = <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) |
40 |
39
|
adantl |
|- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) = <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) |
41 |
40
|
fveq2d |
|- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) ) |
42 |
|
ffvelrn |
|- ( ( F : U. U --> X /\ z e. U. U ) -> ( F ` z ) e. X ) |
43 |
|
ffvelrn |
|- ( ( G : U. U --> Y /\ z e. U. U ) -> ( G ` z ) e. Y ) |
44 |
|
opelxpi |
|- ( ( ( F ` z ) e. X /\ ( G ` z ) e. Y ) -> <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) ) |
45 |
42 43 44
|
syl2an |
|- ( ( ( F : U. U --> X /\ z e. U. U ) /\ ( G : U. U --> Y /\ z e. U. U ) ) -> <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) ) |
46 |
45
|
anandirs |
|- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) ) |
47 |
46
|
fvresd |
|- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( 1st ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) ) |
48 |
|
fvex |
|- ( F ` z ) e. _V |
49 |
|
fvex |
|- ( G ` z ) e. _V |
50 |
48 49
|
op1st |
|- ( 1st ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( F ` z ) |
51 |
47 50
|
eqtrdi |
|- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( F ` z ) ) |
52 |
34 41 51
|
3eqtrrd |
|- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( F ` z ) = ( ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) ) |
53 |
15 32 52
|
eqfnfvd |
|- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> F = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) |
54 |
4
|
reseq2i |
|- ( 1st |` Z ) = ( 1st |` ( X X. Y ) ) |
55 |
5 54
|
eqtri |
|- P = ( 1st |` ( X X. Y ) ) |
56 |
55
|
coeq1i |
|- ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) |
57 |
53 56
|
eqtr4di |
|- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) |
58 |
12 13 57
|
syl2an |
|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) |
59 |
|
ffn |
|- ( G : U. U --> Y -> G Fn U. U ) |
60 |
59
|
adantl |
|- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> G Fn U. U ) |
61 |
|
fo2nd |
|- 2nd : _V -onto-> _V |
62 |
|
fofn |
|- ( 2nd : _V -onto-> _V -> 2nd Fn _V ) |
63 |
61 62
|
ax-mp |
|- 2nd Fn _V |
64 |
|
fnssres |
|- ( ( 2nd Fn _V /\ ( X X. Y ) C_ _V ) -> ( 2nd |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) ) |
65 |
63 19 64
|
mp2an |
|- ( 2nd |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) |
66 |
|
fnco |
|- ( ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) /\ ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) Fn U. U /\ ran ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) C_ ( X X. Y ) ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) Fn U. U ) |
67 |
65 29 30 66
|
mp3an2i |
|- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) Fn U. U ) |
68 |
|
fvco3 |
|- ( ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) ) |
69 |
27 68
|
sylan |
|- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) ) |
70 |
40
|
fveq2d |
|- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) ) |
71 |
46
|
fvresd |
|- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( 2nd ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) ) |
72 |
48 49
|
op2nd |
|- ( 2nd ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( G ` z ) |
73 |
71 72
|
eqtrdi |
|- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( G ` z ) ) |
74 |
69 70 73
|
3eqtrrd |
|- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( G ` z ) = ( ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) ) |
75 |
60 67 74
|
eqfnfvd |
|- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> G = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) |
76 |
4
|
reseq2i |
|- ( 2nd |` Z ) = ( 2nd |` ( X X. Y ) ) |
77 |
6 76
|
eqtri |
|- Q = ( 2nd |` ( X X. Y ) ) |
78 |
77
|
coeq1i |
|- ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) |
79 |
75 78
|
eqtr4di |
|- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) |
80 |
12 13 79
|
syl2an |
|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) |
81 |
11 58 80
|
jca32 |
|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) /\ G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) ) |
82 |
|
eleq1 |
|- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( h e. ( U Cn T ) <-> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) ) ) |
83 |
|
coeq2 |
|- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( P o. h ) = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) |
84 |
83
|
eqeq2d |
|- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( F = ( P o. h ) <-> F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) |
85 |
|
coeq2 |
|- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( Q o. h ) = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) |
86 |
85
|
eqeq2d |
|- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( G = ( Q o. h ) <-> G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) |
87 |
84 86
|
anbi12d |
|- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) <-> ( F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) /\ G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) ) |
88 |
82 87
|
anbi12d |
|- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) <-> ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) /\ G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) ) ) |
89 |
88
|
spcegv |
|- ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) -> ( ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) /\ G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) -> E. h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) ) |
90 |
11 81 89
|
sylc |
|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E. h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) |
91 |
|
eqid |
|- U. T = U. T |
92 |
7 91
|
cnf |
|- ( h e. ( U Cn T ) -> h : U. U --> U. T ) |
93 |
|
cntop2 |
|- ( F e. ( U Cn R ) -> R e. Top ) |
94 |
|
cntop2 |
|- ( G e. ( U Cn S ) -> S e. Top ) |
95 |
1
|
unieqi |
|- U. T = U. ( R tX S ) |
96 |
2 3
|
txuni |
|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. Y ) = U. ( R tX S ) ) |
97 |
95 96
|
eqtr4id |
|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. T = ( X X. Y ) ) |
98 |
93 94 97
|
syl2an |
|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> U. T = ( X X. Y ) ) |
99 |
98
|
feq3d |
|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( h : U. U --> U. T <-> h : U. U --> ( X X. Y ) ) ) |
100 |
92 99
|
syl5ib |
|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( h e. ( U Cn T ) -> h : U. U --> ( X X. Y ) ) ) |
101 |
100
|
anim1d |
|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) ) |
102 |
|
3anass |
|- ( ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) <-> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) |
103 |
101 102
|
syl6ibr |
|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) |
104 |
103
|
alrimiv |
|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> A. h ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) |
105 |
|
cntop1 |
|- ( F e. ( U Cn R ) -> U e. Top ) |
106 |
105
|
uniexd |
|- ( F e. ( U Cn R ) -> U. U e. _V ) |
107 |
55 77
|
upxp |
|- ( ( U. U e. _V /\ F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> E! h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) |
108 |
106 12 13 107
|
syl2an3an |
|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E! h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) |
109 |
|
eumo |
|- ( E! h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) -> E* h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) |
110 |
108 109
|
syl |
|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E* h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) |
111 |
|
moim |
|- ( A. h ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( E* h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) -> E* h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) ) |
112 |
104 110 111
|
sylc |
|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E* h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) |
113 |
|
df-reu |
|- ( E! h e. ( U Cn T ) ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) <-> E! h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) |
114 |
|
df-eu |
|- ( E! h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) <-> ( E. h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) /\ E* h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) ) |
115 |
113 114
|
bitri |
|- ( E! h e. ( U Cn T ) ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) <-> ( E. h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) /\ E* h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) ) |
116 |
90 112 115
|
sylanbrc |
|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E! h e. ( U Cn T ) ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) |