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Theorem dalem24

Description: Lemma for dath . Show that auxiliary atom G is outside of plane Y . (Contributed by NM, 2-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalem.ph φ K HL C Base K P A Q A R A S A T A U A Y O Z O ¬ C ˙ P ˙ Q ¬ C ˙ Q ˙ R ¬ C ˙ R ˙ P ¬ C ˙ S ˙ T ¬ C ˙ T ˙ U ¬ C ˙ U ˙ S C ˙ P ˙ S C ˙ Q ˙ T C ˙ R ˙ U
dalem.l ˙ = K
dalem.j ˙ = join K
dalem.a A = Atoms K
dalem.ps ψ c A d A ¬ c ˙ Y d c ¬ d ˙ Y C ˙ c ˙ d
dalem23.m ˙ = meet K
dalem23.o O = LPlanes K
dalem23.y Y = P ˙ Q ˙ R
dalem23.z Z = S ˙ T ˙ U
dalem23.g G = c ˙ P ˙ d ˙ S
Assertion dalem24 φ Y = Z ψ ¬ G ˙ Y

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalem.ph φ K HL C Base K P A Q A R A S A T A U A Y O Z O ¬ C ˙ P ˙ Q ¬ C ˙ Q ˙ R ¬ C ˙ R ˙ P ¬ C ˙ S ˙ T ¬ C ˙ T ˙ U ¬ C ˙ U ˙ S C ˙ P ˙ S C ˙ Q ˙ T C ˙ R ˙ U
2 dalem.l ˙ = K
3 dalem.j ˙ = join K
4 dalem.a A = Atoms K
5 dalem.ps ψ c A d A ¬ c ˙ Y d c ¬ d ˙ Y C ˙ c ˙ d
6 dalem23.m ˙ = meet K
7 dalem23.o O = LPlanes K
8 dalem23.y Y = P ˙ Q ˙ R
9 dalem23.z Z = S ˙ T ˙ U
10 dalem23.g G = c ˙ P ˙ d ˙ S
11 10 oveq1i G ˙ Y = c ˙ P ˙ d ˙ S ˙ Y
12 1 dalemkehl φ K HL
13 hlol K HL K OL
14 12 13 syl φ K OL
15 14 3ad2ant1 φ Y = Z ψ K OL
16 12 3ad2ant1 φ Y = Z ψ K HL
17 5 dalemccea ψ c A
18 17 3ad2ant3 φ Y = Z ψ c A
19 1 dalempea φ P A
20 19 3ad2ant1 φ Y = Z ψ P A
21 eqid Base K = Base K
22 21 3 4 hlatjcl K HL c A P A c ˙ P Base K
23 16 18 20 22 syl3anc φ Y = Z ψ c ˙ P Base K
24 5 dalemddea ψ d A
25 24 3ad2ant3 φ Y = Z ψ d A
26 1 dalemsea φ S A
27 26 3ad2ant1 φ Y = Z ψ S A
28 21 3 4 hlatjcl K HL d A S A d ˙ S Base K
29 16 25 27 28 syl3anc φ Y = Z ψ d ˙ S Base K
30 1 7 dalemyeb φ Y Base K
31 30 3ad2ant1 φ Y = Z ψ Y Base K
32 21 6 latmmdir K OL c ˙ P Base K d ˙ S Base K Y Base K c ˙ P ˙ d ˙ S ˙ Y = c ˙ P ˙ Y ˙ d ˙ S ˙ Y
33 15 23 29 31 32 syl13anc φ Y = Z ψ c ˙ P ˙ d ˙ S ˙ Y = c ˙ P ˙ Y ˙ d ˙ S ˙ Y
34 11 33 syl5eq φ Y = Z ψ G ˙ Y = c ˙ P ˙ Y ˙ d ˙ S ˙ Y
35 3 4 hlatjcom K HL c A P A c ˙ P = P ˙ c
36 16 18 20 35 syl3anc φ Y = Z ψ c ˙ P = P ˙ c
37 36 oveq1d φ Y = Z ψ c ˙ P ˙ Y = P ˙ c ˙ Y
38 1 2 3 4 7 8 dalemply φ P ˙ Y
39 38 3ad2ant1 φ Y = Z ψ P ˙ Y
40 5 dalem-ccly ψ ¬ c ˙ Y
41 40 3ad2ant3 φ Y = Z ψ ¬ c ˙ Y
42 21 2 3 6 4 2atjm K HL P A c A Y Base K P ˙ Y ¬ c ˙ Y P ˙ c ˙ Y = P
43 16 20 18 31 39 41 42 syl132anc φ Y = Z ψ P ˙ c ˙ Y = P
44 37 43 eqtrd φ Y = Z ψ c ˙ P ˙ Y = P
45 3 4 hlatjcom K HL d A S A d ˙ S = S ˙ d
46 16 25 27 45 syl3anc φ Y = Z ψ d ˙ S = S ˙ d
47 46 oveq1d φ Y = Z ψ d ˙ S ˙ Y = S ˙ d ˙ Y
48 1 2 3 4 9 dalemsly φ Y = Z S ˙ Y
49 48 3adant3 φ Y = Z ψ S ˙ Y
50 5 dalem-ddly ψ ¬ d ˙ Y
51 50 3ad2ant3 φ Y = Z ψ ¬ d ˙ Y
52 21 2 3 6 4 2atjm K HL S A d A Y Base K S ˙ Y ¬ d ˙ Y S ˙ d ˙ Y = S
53 16 27 25 31 49 51 52 syl132anc φ Y = Z ψ S ˙ d ˙ Y = S
54 47 53 eqtrd φ Y = Z ψ d ˙ S ˙ Y = S
55 44 54 oveq12d φ Y = Z ψ c ˙ P ˙ Y ˙ d ˙ S ˙ Y = P ˙ S
56 1 2 3 4 7 8 dalempnes φ P S
57 hlatl K HL K AtLat
58 12 57 syl φ K AtLat
59 eqid 0. K = 0. K
60 6 59 4 atnem0 K AtLat P A S A P S P ˙ S = 0. K
61 58 19 26 60 syl3anc φ P S P ˙ S = 0. K
62 56 61 mpbid φ P ˙ S = 0. K
63 62 3ad2ant1 φ Y = Z ψ P ˙ S = 0. K
64 34 55 63 3eqtrd φ Y = Z ψ G ˙ Y = 0. K
65 58 3ad2ant1 φ Y = Z ψ K AtLat
66 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dalem23 φ Y = Z ψ G A
67 21 2 6 59 4 atnle K AtLat G A Y Base K ¬ G ˙ Y G ˙ Y = 0. K
68 65 66 31 67 syl3anc φ Y = Z ψ ¬ G ˙ Y G ˙ Y = 0. K
69 64 68 mpbird φ Y = Z ψ ¬ G ˙ Y