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Theorem rhmsubclem4

Description: Lemma 4 for rhmsubc . (Contributed by AV, 2-Mar-2020)

Ref Expression
Hypotheses rngcrescrhm.u φ U V
rngcrescrhm.c C = RngCat U
rngcrescrhm.r φ R = Ring U
rngcrescrhm.h H = RingHom R × R
Assertion rhmsubclem4 φ x R y R z R f x H y g y H z g x y comp RngCat U z f x H z

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rngcrescrhm.u φ U V
2 rngcrescrhm.c C = RngCat U
3 rngcrescrhm.r φ R = Ring U
4 rngcrescrhm.h H = RingHom R × R
5 simpl φ x R φ
6 5 adantr φ x R y R z R φ
7 simpr φ x R x R
8 7 adantr φ x R y R z R x R
9 simpl y R z R y R
10 9 adantl φ x R y R z R y R
11 1 2 3 4 rhmsubclem2 φ x R y R x H y = x RingHom y
12 6 8 10 11 syl3anc φ x R y R z R x H y = x RingHom y
13 12 eleq2d φ x R y R z R f x H y f x RingHom y
14 simpr y R z R z R
15 14 adantl φ x R y R z R z R
16 1 2 3 4 rhmsubclem2 φ y R z R y H z = y RingHom z
17 6 10 15 16 syl3anc φ x R y R z R y H z = y RingHom z
18 17 eleq2d φ x R y R z R g y H z g y RingHom z
19 13 18 anbi12d φ x R y R z R f x H y g y H z f x RingHom y g y RingHom z
20 rhmco g y RingHom z f x RingHom y g f x RingHom z
21 20 ancoms f x RingHom y g y RingHom z g f x RingHom z
22 19 21 syl6bi φ x R y R z R f x H y g y H z g f x RingHom z
23 22 imp φ x R y R z R f x H y g y H z g f x RingHom z
24 1 ad3antrrr φ x R y R z R f x H y g y H z U V
25 2 eqcomi RngCat U = C
26 25 fveq2i comp RngCat U = comp C
27 inss2 Ring U U
28 3 27 eqsstrdi φ R U
29 28 sselda φ x R x U
30 29 adantr φ x R y R z R x U
31 30 adantr φ x R y R z R f x H y g y H z x U
32 28 sseld φ y R y U
33 32 adantrd φ y R z R y U
34 33 adantr φ x R y R z R y U
35 34 imp φ x R y R z R y U
36 35 adantr φ x R y R z R f x H y g y H z y U
37 28 sseld φ z R z U
38 37 adantld φ y R z R z U
39 38 adantr φ x R y R z R z U
40 39 imp φ x R y R z R z U
41 40 adantr φ x R y R z R f x H y g y H z z U
42 4 oveqi x H y = x RingHom R × R y
43 8 10 ovresd φ x R y R z R x RingHom R × R y = x RingHom y
44 42 43 syl5eq φ x R y R z R x H y = x RingHom y
45 44 eleq2d φ x R y R z R f x H y f x RingHom y
46 eqid Base x = Base x
47 eqid Base y = Base y
48 46 47 rhmf f x RingHom y f : Base x Base y
49 45 48 syl6bi φ x R y R z R f x H y f : Base x Base y
50 49 com12 f x H y φ x R y R z R f : Base x Base y
51 50 adantr f x H y g y H z φ x R y R z R f : Base x Base y
52 51 impcom φ x R y R z R f x H y g y H z f : Base x Base y
53 4 oveqi y H z = y RingHom R × R z
54 ovres y R z R y RingHom R × R z = y RingHom z
55 54 adantl φ x R y R z R y RingHom R × R z = y RingHom z
56 53 55 syl5eq φ x R y R z R y H z = y RingHom z
57 56 eleq2d φ x R y R z R g y H z g y RingHom z
58 eqid Base z = Base z
59 47 58 rhmf g y RingHom z g : Base y Base z
60 57 59 syl6bi φ x R y R z R g y H z g : Base y Base z
61 60 com12 g y H z φ x R y R z R g : Base y Base z
62 61 adantl f x H y g y H z φ x R y R z R g : Base y Base z
63 62 impcom φ x R y R z R f x H y g y H z g : Base y Base z
64 2 24 26 31 36 41 52 63 rngcco φ x R y R z R f x H y g y H z g x y comp RngCat U z f = g f
65 1 2 3 4 rhmsubclem2 φ x R z R x H z = x RingHom z
66 6 8 15 65 syl3anc φ x R y R z R x H z = x RingHom z
67 66 adantr φ x R y R z R f x H y g y H z x H z = x RingHom z
68 23 64 67 3eltr4d φ x R y R z R f x H y g y H z g x y comp RngCat U z f x H z