Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
atoml.1 |
⊢ 𝐴 ∈ Cℋ |
2 |
|
atelch |
⊢ ( 𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ ) |
3 |
|
chjcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∈ Cℋ ) |
4 |
1 2 3
|
sylancr |
⊢ ( 𝐵 ∈ HAtoms → ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∈ Cℋ ) |
5 |
1
|
choccli |
⊢ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∈ Cℋ |
6 |
|
chincl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∈ Cℋ ∧ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ Cℋ ) |
7 |
4 5 6
|
sylancl |
⊢ ( 𝐵 ∈ HAtoms → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ Cℋ ) |
8 |
|
hatomic |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ Cℋ ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) → ∃ 𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ) |
9 |
7 8
|
sylan |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) → ∃ 𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ) |
10 |
|
atelch |
⊢ ( 𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ ) |
11 |
|
inss2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) |
12 |
|
sstr |
⊢ ( ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) → 𝑥 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) |
13 |
11 12
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) → 𝑥 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) |
14 |
1
|
pjococi |
⊢ ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 𝐴 |
15 |
14
|
oveq1i |
⊢ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∨ℋ 𝑥 ) = ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) |
16 |
15
|
ineq1i |
⊢ ( ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∨ℋ 𝑥 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) |
17 |
|
incom |
⊢ ( ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∨ℋ 𝑥 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∩ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∨ℋ 𝑥 ) ) |
18 |
16 17
|
eqtr3i |
⊢ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∩ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∨ℋ 𝑥 ) ) |
19 |
|
pjoml3 |
⊢ ( ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ( 𝑥 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) → ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∩ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∨ℋ 𝑥 ) ) = 𝑥 ) ) |
20 |
5 19
|
mpan |
⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( 𝑥 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) → ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∩ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∨ℋ 𝑥 ) ) = 𝑥 ) ) |
21 |
20
|
imp |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) → ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∩ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∨ℋ 𝑥 ) ) = 𝑥 ) |
22 |
18 21
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 𝑥 ) |
23 |
10 13 22
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 𝑥 ) |
24 |
23
|
ad2ant2lr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 𝑥 ) |
25 |
|
inss1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) |
26 |
|
sstr |
⊢ ( ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
27 |
25 26
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) → 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
28 |
|
chub1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
29 |
1 28
|
mpan |
⊢ ( 𝐵 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
30 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
31 |
1 3
|
mpan |
⊢ ( 𝐵 ∈ Cℋ → ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∈ Cℋ ) |
32 |
|
chlub |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
33 |
1 32
|
mp3an1 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
34 |
31 33
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
35 |
34
|
biimpd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
36 |
35
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
37 |
30 36
|
mpand |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
38 |
2 10 37
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) → ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
39 |
38
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
40 |
27 39
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
41 |
40
|
adantrr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
42 |
|
chjcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) |
43 |
1 10 42
|
sylancr |
⊢ ( 𝑥 ∈ HAtoms → ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) |
44 |
2 43
|
anim12i |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) → ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) ) |
45 |
44
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) ) → ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) ) |
46 |
|
chub1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
47 |
1 10 46
|
sylancr |
⊢ ( 𝑥 ∈ HAtoms → 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
48 |
47
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) ) → 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
49 |
|
pm3.22 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) → ( 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ) ) |
50 |
49
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) ) → ( 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ) ) |
51 |
27
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
52 |
|
incom |
⊢ ( 𝐴 ∩ 𝑥 ) = ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) |
53 |
|
chsh |
⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Sℋ ) |
54 |
1
|
chshii |
⊢ 𝐴 ∈ Sℋ |
55 |
|
orthin |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → ( 𝑥 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) → ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) = 0ℋ ) ) |
56 |
53 54 55
|
sylancl |
⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( 𝑥 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) → ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) = 0ℋ ) ) |
57 |
56
|
imp |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) = 0ℋ ) |
58 |
52 57
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝐴 ∩ 𝑥 ) = 0ℋ ) |
59 |
10 13 58
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 ∩ 𝑥 ) = 0ℋ ) |
60 |
51 59
|
jca |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∩ 𝑥 ) = 0ℋ ) ) |
61 |
60
|
ad2ant2lr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) ) → ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∩ 𝑥 ) = 0ℋ ) ) |
62 |
|
atexch |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∩ 𝑥 ) = 0ℋ ) → 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
63 |
1 62
|
mp3an1 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∩ 𝑥 ) = 0ℋ ) → 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
64 |
50 61 63
|
sylc |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) ) → 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
65 |
|
chlub |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∧ 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ) ↔ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
66 |
1 65
|
mp3an1 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∧ 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ) ↔ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
67 |
66
|
biimpd |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∧ 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
68 |
67
|
expd |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) → ( 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) ) |
69 |
45 48 64 68
|
syl3c |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
70 |
41 69
|
eqssd |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) = ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) |
71 |
70
|
ineq1d |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝑥 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ) |
72 |
24 71
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) ) → 𝑥 = ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ) |
73 |
72
|
eleq1d |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) ) → ( 𝑥 ∈ HAtoms ↔ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ HAtoms ) ) |
74 |
73
|
exp43 |
⊢ ( 𝐵 ∈ HAtoms → ( 𝑥 ∈ HAtoms → ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ → ( 𝑥 ∈ HAtoms ↔ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ HAtoms ) ) ) ) ) |
75 |
74
|
com24 |
⊢ ( 𝐵 ∈ HAtoms → ( ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ → ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝑥 ∈ HAtoms → ( 𝑥 ∈ HAtoms ↔ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ HAtoms ) ) ) ) ) |
76 |
75
|
imp31 |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ HAtoms → ( 𝑥 ∈ HAtoms ↔ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ HAtoms ) ) ) |
77 |
76
|
ibd |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ HAtoms → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ HAtoms ) ) |
78 |
77
|
ex |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) → ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝑥 ∈ HAtoms → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ HAtoms ) ) ) |
79 |
78
|
com23 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) → ( 𝑥 ∈ HAtoms → ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ HAtoms ) ) ) |
80 |
79
|
rexlimdv |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) → ( ∃ 𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ HAtoms ) ) |
81 |
9 80
|
mpd |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ HAtoms ) |
82 |
81
|
ex |
⊢ ( 𝐵 ∈ HAtoms → ( ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0ℋ → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ HAtoms ) ) |
83 |
82
|
necon1bd |
⊢ ( 𝐵 ∈ HAtoms → ( ¬ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ HAtoms → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) ) |
84 |
83
|
orrd |
⊢ ( 𝐵 ∈ HAtoms → ( ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ HAtoms ∨ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) ) |
85 |
|
elun |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( HAtoms ∪ { 0ℋ } ) ↔ ( ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ HAtoms ∨ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ { 0ℋ } ) ) |
86 |
|
fvex |
⊢ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∈ V |
87 |
86
|
inex2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ V |
88 |
87
|
elsn |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ { 0ℋ } ↔ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) |
89 |
88
|
orbi2i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ HAtoms ∨ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ { 0ℋ } ) ↔ ( ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ HAtoms ∨ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) ) |
90 |
85 89
|
bitri |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( HAtoms ∪ { 0ℋ } ) ↔ ( ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ HAtoms ∨ ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) = 0ℋ ) ) |
91 |
84 90
|
sylibr |
⊢ ( 𝐵 ∈ HAtoms → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∩ ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( HAtoms ∪ { 0ℋ } ) ) |