Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
broutsideof |
⊢ ( 𝑃 OutsideOf 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ↔ ( 𝑃 Colinear 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ∧ ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) |
2 |
|
btwntriv1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝐴 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) |
3 |
2
|
3adant3r1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐴 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) |
4 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝐴 = 𝑃 → ( 𝐴 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ↔ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) |
5 |
3 4
|
syl5ibcom |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 = 𝑃 → 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) |
6 |
5
|
necon3bd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 → 𝐴 ≠ 𝑃 ) ) |
7 |
6
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) → 𝐴 ≠ 𝑃 ) |
8 |
7
|
adantrl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 Colinear 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ∧ ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) → 𝐴 ≠ 𝑃 ) |
9 |
|
btwntriv2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) |
10 |
9
|
3adant3r1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) |
11 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝐵 = 𝑃 → ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ↔ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) |
12 |
10 11
|
syl5ibcom |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐵 = 𝑃 → 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) |
13 |
12
|
necon3bd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 → 𝐵 ≠ 𝑃 ) ) |
14 |
13
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) → 𝐵 ≠ 𝑃 ) |
15 |
14
|
adantrl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 Colinear 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ∧ ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) → 𝐵 ≠ 𝑃 ) |
16 |
|
brcolinear |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑃 Colinear 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ↔ ( 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ∨ 𝐴 Btwn 〈 𝐵 , 𝑃 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) ) |
17 |
|
pm2.24 |
⊢ ( 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 → ( ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 → ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) ) |
18 |
17
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 → ( ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 → ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) ) ) |
19 |
|
3anrot |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ↔ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) |
20 |
|
btwncom |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 Btwn 〈 𝐵 , 𝑃 〉 ↔ 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ) ) |
21 |
19 20
|
sylan2b |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 Btwn 〈 𝐵 , 𝑃 〉 ↔ 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ) ) |
22 |
|
orc |
⊢ ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 → ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) |
23 |
21 22
|
syl6bi |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 Btwn 〈 𝐵 , 𝑃 〉 → ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) ) |
24 |
23
|
a1dd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 Btwn 〈 𝐵 , 𝑃 〉 → ( ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 → ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) ) ) |
25 |
|
olc |
⊢ ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 → ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) |
26 |
25
|
a1d |
⊢ ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 → ( ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 → ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) ) |
27 |
26
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 → ( ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 → ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) ) ) |
28 |
18 24 27
|
3jaod |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ∨ 𝐴 Btwn 〈 𝐵 , 𝑃 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) → ( ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 → ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) ) ) |
29 |
16 28
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑃 Colinear 〈 𝐴 , 𝐵 〉 → ( ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 → ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) ) ) |
30 |
29
|
imp32 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 Colinear 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ∧ ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) → ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) |
31 |
8 15 30
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 Colinear 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ∧ ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) → ( 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) ) |
32 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) → ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) |
33 |
|
3ancomb |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) |
34 |
|
btwncolinear2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 → 𝑃 Colinear 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) |
35 |
33 34
|
sylan2b |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 → 𝑃 Colinear 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) |
36 |
|
btwncolinear1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 → 𝑃 Colinear 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) |
37 |
35 36
|
jaod |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) → 𝑃 Colinear 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) |
38 |
32 37
|
syl5 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) → 𝑃 Colinear 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) |
39 |
38
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) ) → 𝑃 Colinear 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) |
40 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ) → 𝐴 ≠ 𝑃 ) |
41 |
40
|
neneqd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ) → ¬ 𝐴 = 𝑃 ) |
42 |
|
simprl1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) → 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ) |
43 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) → 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) |
44 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
45 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
46 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
47 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
48 |
|
btwnswapid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) → 𝐴 = 𝑃 ) ) |
49 |
44 45 46 47 48
|
syl13anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) → 𝐴 = 𝑃 ) ) |
50 |
49
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) → ( ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) → 𝐴 = 𝑃 ) ) |
51 |
42 43 50
|
mp2and |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) → 𝐴 = 𝑃 ) |
52 |
51
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 → 𝐴 = 𝑃 ) ) |
53 |
41 52
|
mtod |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ) → ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) |
54 |
53
|
3exp2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 → ( 𝐴 ≠ 𝑃 → ( 𝐵 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) ) ) |
55 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ) → 𝐵 ≠ 𝑃 ) |
56 |
55
|
neneqd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ) → ¬ 𝐵 = 𝑃 ) |
57 |
|
simprl1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) → 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) |
58 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) → 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) |
59 |
44 46 45 47 58
|
btwncomand |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) → 𝑃 Btwn 〈 𝐵 , 𝐴 〉 ) |
60 |
|
3anrot |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) |
61 |
|
btwnswapid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈 𝐵 , 𝐴 〉 ) → 𝐵 = 𝑃 ) ) |
62 |
60 61
|
sylan2br |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈 𝐵 , 𝐴 〉 ) → 𝐵 = 𝑃 ) ) |
63 |
62
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) → ( ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈 𝐵 , 𝐴 〉 ) → 𝐵 = 𝑃 ) ) |
64 |
57 59 63
|
mp2and |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) → 𝐵 = 𝑃 ) |
65 |
64
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 → 𝐵 = 𝑃 ) ) |
66 |
56 65
|
mtod |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ∧ 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ) ) → ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) |
67 |
66
|
3exp2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 → ( 𝐴 ≠ 𝑃 → ( 𝐵 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) ) ) |
68 |
54 67
|
jaod |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) → ( 𝐴 ≠ 𝑃 → ( 𝐵 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) ) ) |
69 |
68
|
com12 |
⊢ ( ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) → ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 ≠ 𝑃 → ( 𝐵 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) ) ) |
70 |
69
|
com4l |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 ≠ 𝑃 → ( 𝐵 ≠ 𝑃 → ( ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) → ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) ) ) |
71 |
70
|
3imp2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) ) → ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) |
72 |
39 71
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) ) → ( 𝑃 Colinear 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ∧ ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) |
73 |
31 72
|
impbida |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑃 Colinear 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ∧ ¬ 𝑃 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ↔ ( 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) ) ) |
74 |
1 73
|
syl5bb |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑃 OutsideOf 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ↔ ( 𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐴 Btwn 〈 𝑃 , 𝐵 〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈 𝑃 , 𝐴 〉 ) ) ) ) |