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Theorem cau3lem

Description: Lemma for cau3 . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014)

Ref Expression
Hypotheses cau3lem.1 𝑍 ⊆ ℤ
cau3lem.2 ( 𝜏𝜓 )
cau3lem.3 ( ( 𝐹𝑘 ) = ( 𝐹𝑗 ) → ( 𝜓𝜒 ) )
cau3lem.4 ( ( 𝐹𝑘 ) = ( 𝐹𝑚 ) → ( 𝜓𝜃 ) )
cau3lem.5 ( ( 𝜑𝜒𝜓 ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) )
cau3lem.6 ( ( 𝜑𝜃𝜒 ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) )
cau3lem.7 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜓𝜃 ) ∧ ( 𝜒𝑥 ∈ ℝ ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
Assertion cau3lem ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cau3lem.1 𝑍 ⊆ ℤ
2 cau3lem.2 ( 𝜏𝜓 )
3 cau3lem.3 ( ( 𝐹𝑘 ) = ( 𝐹𝑗 ) → ( 𝜓𝜒 ) )
4 cau3lem.4 ( ( 𝐹𝑘 ) = ( 𝐹𝑚 ) → ( 𝜓𝜃 ) )
5 cau3lem.5 ( ( 𝜑𝜒𝜓 ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) )
6 cau3lem.6 ( ( 𝜑𝜃𝜒 ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) )
7 cau3lem.7 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜓𝜃 ) ∧ ( 𝜒𝑥 ∈ ℝ ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
8 breq2 ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ↔ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑧 ) )
9 8 anbi2d ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) ↔ ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑧 ) ) )
10 9 rexralbidv ( 𝑥 = 𝑧 → ( ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑧 ) ) )
11 10 cbvralvw ( ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑧 ) )
12 rphalfcl ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( 𝑥 / 2 ) ∈ ℝ+ )
13 breq2 ( 𝑧 = ( 𝑥 / 2 ) → ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑧 ↔ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
14 13 anbi2d ( 𝑧 = ( 𝑥 / 2 ) → ( ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑧 ) ↔ ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) )
15 14 rexralbidv ( 𝑧 = ( 𝑥 / 2 ) → ( ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) )
16 15 rspcv ( ( 𝑥 / 2 ) ∈ ℝ+ → ( ∀ 𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑧 ) → ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) )
17 12 16 syl ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( ∀ 𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑧 ) → ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) )
18 17 adantl ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑧 ) → ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) )
19 2 ralimi ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜏 → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 )
20 r19.26 ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ↔ ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
21 fveq2 ( 𝑘 = 𝑚 → ( 𝐹𝑘 ) = ( 𝐹𝑚 ) )
22 21 4 syl ( 𝑘 = 𝑚 → ( 𝜓𝜃 ) )
23 21 fvoveq1d ( 𝑘 = 𝑚 → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) )
24 23 breq1d ( 𝑘 = 𝑚 → ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ↔ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
25 22 24 anbi12d ( 𝑘 = 𝑚 → ( ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ↔ ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) )
26 25 cbvralvw ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
27 26 biimpi ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
28 27 a1i ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) )
29 20 28 syl5bir ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) → ( ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) )
30 29 expdimp ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) )
31 1 sseli ( 𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ )
32 uzid ( 𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) )
33 31 32 syl ( 𝑗𝑍𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) )
34 fveq2 ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐹𝑘 ) = ( 𝐹𝑗 ) )
35 34 3 syl ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝜓𝜒 ) )
36 35 rspcva ( ( 𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ) → 𝜒 )
37 33 36 sylan ( ( 𝑗𝑍 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ) → 𝜒 )
38 37 adantll ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ) → 𝜒 )
39 30 38 jctild ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ( 𝜒 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) ) )
40 simplll ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒𝜃 ) ) ∧ 𝜓 ) → 𝜑 )
41 simplrr ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒𝜃 ) ) ∧ 𝜓 ) → 𝜃 )
42 simplrl ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒𝜃 ) ) ∧ 𝜓 ) → 𝜒 )
43 40 41 42 6 syl3anc ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒𝜃 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) )
44 43 breq1d ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒𝜃 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ↔ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
45 44 anbi2d ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒𝜃 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ↔ ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) )
46 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒𝜃 ) ) ∧ 𝜓 ) → 𝜓 )
47 simpllr ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒𝜃 ) ) ∧ 𝜓 ) → 𝑥 ∈ ℝ+ )
48 47 rpred ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒𝜃 ) ) ∧ 𝜓 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
49 40 46 41 42 48 7 syl122anc ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒𝜃 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
50 45 49 sylbid ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒𝜃 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
51 50 expd ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒𝜃 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
52 51 impr ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒𝜃 ) ) ∧ ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) → ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
53 52 an32s ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) ∧ ( 𝜒𝜃 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
54 53 anassrs ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) ∧ 𝜒 ) ∧ 𝜃 ) → ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
55 54 expimpd ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) ∧ 𝜒 ) → ( ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
56 55 ralimdv ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) ∧ 𝜒 ) → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
57 56 impr ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) ∧ ( 𝜒 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 )
58 57 an32s ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 )
59 58 expr ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
60 uzss ( 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) → ( ℤ𝑘 ) ⊆ ( ℤ𝑗 ) )
61 ssralv ( ( ℤ𝑘 ) ⊆ ( ℤ𝑗 ) → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
62 60 61 syl ( 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
63 59 62 sylan9 ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
64 63 an32s ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
65 64 expimpd ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) → ( ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
66 65 ralimdva ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝜒 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
67 66 ex ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝜒 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
68 67 com23 ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( ( 𝜒 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
69 68 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜓 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( ( 𝜒 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
70 20 69 syl5bir ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) → ( ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( ( 𝜒 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
71 70 expdimp ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ( ( 𝜒 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜃 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑚 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
72 39 71 mpdd ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
73 19 72 sylan2 ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜏 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
74 73 imdistanda ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) → ( ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜏 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜏 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
75 r19.26 ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ↔ ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜏 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
76 r19.26 ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) ↔ ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜏 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
77 74 75 76 3imtr4g ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
78 77 reximdva ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
79 18 78 syld ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑧 ) → ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
80 79 ralrimdva ( 𝜑 → ( ∀ 𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑧 ) → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
81 11 80 syl5bi ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
82 fveq2 ( 𝑘 = 𝑗 → ( ℤ𝑘 ) = ( ℤ𝑗 ) )
83 34 fvoveq1d ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) )
84 83 breq1d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ↔ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
85 82 84 raleqbidv ( 𝑘 = 𝑗 → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
86 85 rspcv ( 𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
87 86 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) )
88 fveq2 ( 𝑚 = 𝑘 → ( 𝐹𝑚 ) = ( 𝐹𝑘 ) )
89 88 oveq2d ( 𝑚 = 𝑘 → ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) = ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑘 ) ) )
90 89 fveq2d ( 𝑚 = 𝑘 → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
91 90 breq1d ( 𝑚 = 𝑘 → ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ↔ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑘 ) ) ) < 𝑥 ) )
92 91 cbvralvw ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑘 ) ) ) < 𝑥 )
93 36 anim2i ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ) ) → ( 𝜑𝜒 ) )
94 93 anassrs ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ) → ( 𝜑𝜒 ) )
95 simpr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 )
96 5 breq1d ( ( 𝜑𝜒𝜓 ) → ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑘 ) ) ) < 𝑥 ↔ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) )
97 96 3expia ( ( 𝜑𝜒 ) → ( 𝜓 → ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑘 ) ) ) < 𝑥 ↔ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
98 97 ralimdv ( ( 𝜑𝜒 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑘 ) ) ) < 𝑥 ↔ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
99 94 95 98 sylc ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑘 ) ) ) < 𝑥 ↔ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) )
100 ralbi ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑘 ) ) ) < 𝑥 ↔ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑘 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) )
101 99 100 syl ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑘 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) )
102 92 101 syl5bb ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ) → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑗 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) )
103 87 102 sylibd ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜓 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) )
104 19 103 sylan2 ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜏 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) )
105 104 imdistanda ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) → ( ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜏 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜏 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
106 33 105 sylan2 ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) → ( ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜏 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜏 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
107 r19.26 ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) ↔ ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) 𝜏 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) )
108 106 76 107 3imtr4g ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
109 108 reximdva ( 𝜑 → ( ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) → ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
110 109 ralimdv ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
111 81 110 impbid ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑗 ) ) ) < 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ( 𝜏 ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ( 𝐺 ‘ ( ( 𝐹𝑘 ) 𝐷 ( 𝐹𝑚 ) ) ) < 𝑥 ) ) )