| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
cdlemk.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
| 2 |
|
cdlemk.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
| 3 |
|
cdlemk.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
| 4 |
|
cdlemk.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
| 5 |
|
cdlemk.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
| 6 |
|
cdlemk.t |
⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
| 7 |
|
cdlemk.r |
⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
| 8 |
|
cdlemk.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
| 9 |
|
cdlemk.s |
⊢ 𝑆 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑖 ∈ 𝑇 ( 𝑖 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) ) |
| 10 |
|
simp11l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
| 11 |
|
simp22l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
| 12 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
| 13 |
|
simp13 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 ) |
| 14 |
2 4 5 6
|
ltrnat |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) |
| 15 |
12 13 11 14
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) |
| 16 |
|
simp12 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 ) |
| 17 |
|
simp21r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑇 ) |
| 18 |
12 16 17
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ) |
| 19 |
|
simp21l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝑇 ) |
| 20 |
|
simp22 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) |
| 21 |
|
simp23 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) |
| 22 |
19 20 21
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 23 |
|
simp311 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) |
| 24 |
|
simp313 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) |
| 25 |
|
simp32r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) |
| 26 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
cdlemksat |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) |
| 27 |
18 22 23 24 25 26
|
syl113anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) |
| 28 |
|
simp33 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) |
| 29 |
28
|
necomd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) |
| 30 |
4 5 6 7
|
trlcocnvat |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐴 ) |
| 31 |
12 17 13 29 30
|
syl121anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐴 ) |
| 32 |
|
simp1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) |
| 33 |
|
simp312 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) |
| 34 |
|
simp32l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) |
| 35 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
cdlemksat |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) |
| 36 |
32 22 23 33 34 35
|
syl113anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) |
| 37 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
cdlemksv2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) |
| 38 |
32 22 23 33 34 37
|
syl113anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) |
| 39 |
10
|
hllatd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
| 40 |
1 4 5 6 7
|
trlnidat |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 ) |
| 41 |
12 13 33 40
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 ) |
| 42 |
1 3 4
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) |
| 43 |
10 11 41 42
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) |
| 44 |
2 4 5 6
|
ltrnat |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) |
| 45 |
12 19 11 44
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) |
| 46 |
4 5 6 7
|
trlcocnvat |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 ) |
| 47 |
12 13 16 34 46
|
syl121anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 ) |
| 48 |
1 3 4
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 ) |
| 49 |
10 45 47 48
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 ) |
| 50 |
1 2 8
|
latmle1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 51 |
39 43 49 50
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 52 |
38 51
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 53 |
2 3 4 5 6 7
|
trljat1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) |
| 54 |
12 13 20 53
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) |
| 55 |
52 54
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) |
| 56 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 57 |
|
simp31 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) |
| 58 |
|
eqid |
⊢ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) |
| 59 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 58
|
cdlemk11 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ) |
| 60 |
32 56 57 34 25 59
|
syl113anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ) |
| 61 |
2 3 4
|
hlatlej2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 62 |
10 11 41 61
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 63 |
62 54
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) |
| 64 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
cdlemksel |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑇 ) |
| 65 |
18 22 23 24 25 64
|
syl113anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑇 ) |
| 66 |
2 4 5 6
|
ltrnel |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) ) |
| 67 |
12 65 20 66
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) ) |
| 68 |
5 6
|
ltrncnv |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 ) |
| 69 |
12 13 68
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 ) |
| 70 |
5 6 7
|
trlcnv |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) |
| 71 |
12 13 70
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) |
| 72 |
71 28
|
eqnetrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) |
| 73 |
1 5 6 7
|
trlcone |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( ◡ 𝐺 ∘ 𝑋 ) ) ) |
| 74 |
12 69 17 72 24 73
|
syl122anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( ◡ 𝐺 ∘ 𝑋 ) ) ) |
| 75 |
74
|
necomd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ◡ 𝐺 ∘ 𝑋 ) ) ≠ ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐺 ) ) |
| 76 |
5 6
|
ltrncom |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) → ( ◡ 𝐺 ∘ 𝑋 ) = ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) |
| 77 |
12 69 17 76
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ◡ 𝐺 ∘ 𝑋 ) = ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) |
| 78 |
77
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ◡ 𝐺 ∘ 𝑋 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) |
| 79 |
75 78 71
|
3netr3d |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) |
| 80 |
5 6
|
ltrnco |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) |
| 81 |
12 17 69 80
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) |
| 82 |
2 5 6 7
|
trlle |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ≤ 𝑊 ) |
| 83 |
12 81 82
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ≤ 𝑊 ) |
| 84 |
2 5 6 7
|
trlle |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ 𝑊 ) |
| 85 |
12 13 84
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ 𝑊 ) |
| 86 |
2 3 4 5
|
lhp2atnle |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ 𝑊 ) ) → ¬ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ) |
| 87 |
12 67 79 31 83 41 85 86
|
syl322anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ¬ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ) |
| 88 |
|
nbrne1 |
⊢ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ¬ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ≠ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ) |
| 89 |
63 87 88
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ≠ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ) |
| 90 |
2 3 8 4
|
2atm |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( ( 𝑆 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ≠ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ) ) |
| 91 |
10 11 15 27 31 36 55 60 89 90
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syl333anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ) ) |