Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cncfperiod.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ ) |
2 |
|
cncfperiod.t |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ ) |
3 |
|
cncfperiod.b |
⊢ 𝐵 = { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) } |
4 |
|
cncfperiod.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ ) |
5 |
|
cncfperiod.cssdmf |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ⊆ dom 𝐹 ) |
6 |
|
cncfperiod.fper |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) |
7 |
|
cncfperiod.fcn |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ∈ ( 𝐴 –cn→ ℂ ) ) |
8 |
4 5
|
fssresd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) : 𝐵 ⟶ ℂ ) |
9 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑥 − 𝑇 ) → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) ) |
10 |
9
|
breq1d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑥 − 𝑇 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) < 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 ) ) |
11 |
10
|
imbrov2fvoveq |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑥 − 𝑇 ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑎 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) |
12 |
11
|
rexralbidv |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑥 − 𝑇 ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑎 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) |
13 |
12
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑥 − 𝑇 ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑎 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) |
14 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ∈ ( 𝐴 –cn→ ℂ ) ) |
15 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝐴 ⊆ ℂ ) |
16 |
|
ssidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ℂ ⊆ ℂ ) |
17 |
|
elcncf |
⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ∈ ( 𝐴 –cn→ ℂ ) ↔ ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) : 𝐴 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑎 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) ) |
18 |
15 16 17
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ∈ ( 𝐴 –cn→ ℂ ) ↔ ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) : 𝐴 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑎 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) ) |
19 |
14 18
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) : 𝐴 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑎 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) |
20 |
19
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑎 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
21 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ 𝐵 ) |
22 |
21 3
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) } ) |
23 |
|
rabid |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) } ↔ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) ) |
24 |
22 23
|
sylib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) ) |
25 |
24
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) |
26 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) → ( 𝑥 − 𝑇 ) = ( ( 𝑦 + 𝑇 ) − 𝑇 ) ) |
27 |
26
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) → ( 𝑥 − 𝑇 ) = ( ( 𝑦 + 𝑇 ) − 𝑇 ) ) |
28 |
1
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
29 |
2
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ ) |
30 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
31 |
28 30
|
pncand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑦 + 𝑇 ) − 𝑇 ) = 𝑦 ) |
32 |
31
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑦 + 𝑇 ) − 𝑇 ) = 𝑦 ) |
33 |
32
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) → ( ( 𝑦 + 𝑇 ) − 𝑇 ) = 𝑦 ) |
34 |
27 33
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) → ( 𝑥 − 𝑇 ) = 𝑦 ) |
35 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) → 𝑦 ∈ 𝐴 ) |
36 |
34 35
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) ) → ( 𝑥 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) |
37 |
36
|
rexlimdv3a |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 𝑦 + 𝑇 ) → ( 𝑥 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) ) |
38 |
25 37
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) |
39 |
13 20 38
|
rspcdva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
40 |
39
|
adantrr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
41 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑤 ∈ ℝ+ ) |
42 |
|
rspa |
⊢ ( ( ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
43 |
40 41 42
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
44 |
|
simpl1l |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → 𝜑 ) |
45 |
44
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → 𝜑 ) |
46 |
|
simp1rl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐵 ) |
47 |
46
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ 𝐵 ) |
48 |
47
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → 𝑥 ∈ 𝐵 ) |
49 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → 𝑣 ∈ 𝐵 ) |
50 |
|
fvres |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) |
51 |
50
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) |
52 |
3
|
ssrab3 |
⊢ 𝐵 ⊆ ℂ |
53 |
52
|
sseli |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ ℂ ) |
54 |
53
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
55 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
56 |
54 55
|
npcand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 − 𝑇 ) + 𝑇 ) = 𝑥 ) |
57 |
56
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 = ( ( 𝑥 − 𝑇 ) + 𝑇 ) ) |
58 |
57
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) + 𝑇 ) ) ) |
59 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝜑 ) |
60 |
59 38
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) ) |
61 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 − 𝑇 ) → ( 𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑥 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) ) |
62 |
61
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 − 𝑇 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
63 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 − 𝑇 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) + 𝑇 ) ) ) |
64 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 − 𝑇 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ) |
65 |
63 64
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 − 𝑇 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ) ) |
66 |
62 65
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 − 𝑇 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ) ) ) |
67 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ) |
68 |
67
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ) ) |
69 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑇 ) ) ) |
70 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) |
71 |
69 70
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) |
72 |
68 71
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) ) |
73 |
72 6
|
chvarvv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑦 + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) |
74 |
66 73
|
vtoclg |
⊢ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ) ) |
75 |
38 60 74
|
sylc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) + 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ) |
76 |
38
|
fvresd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ) |
77 |
75 76
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) + 𝑇 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ) |
78 |
51 58 77
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ) |
79 |
78
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ) |
80 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) |
81 |
80
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ) |
82 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) ) |
83 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) |
84 |
82 83
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ↔ ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) = ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) |
85 |
81 84
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) = ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) ) |
86 |
85 78
|
chvarvv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) = ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) |
87 |
86
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) = ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) |
88 |
79 87
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) ) = ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) |
89 |
88
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) ) |
90 |
45 48 49 89
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) ) |
91 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) |
92 |
24
|
simpld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
93 |
92
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
94 |
52
|
sseli |
⊢ ( 𝑣 ∈ 𝐵 → 𝑣 ∈ ℂ ) |
95 |
94
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → 𝑣 ∈ ℂ ) |
96 |
55
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
97 |
93 95 96
|
nnncan2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) = ( 𝑥 − 𝑣 ) ) |
98 |
97
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) ) |
99 |
98
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) ) |
100 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) |
101 |
99 100
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) < 𝑧 ) |
102 |
45 48 49 91 101
|
syl1111anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) < 𝑧 ) |
103 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑣 − 𝑇 ) → ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) |
104 |
103
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑣 − 𝑇 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) |
105 |
104
|
breq1d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑣 − 𝑇 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) < 𝑧 ) ) |
106 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑣 − 𝑇 ) → ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) = ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) |
107 |
106
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑣 − 𝑇 ) → ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) = ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) |
108 |
107
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑣 − 𝑇 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) ) |
109 |
108
|
breq1d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑣 − 𝑇 ) → ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ↔ ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) < 𝑤 ) ) |
110 |
105 109
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑣 − 𝑇 ) → ( ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ↔ ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) < 𝑤 ) ) ) |
111 |
|
simpll3 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
112 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( 𝑥 − 𝑇 ) = ( 𝑣 − 𝑇 ) ) |
113 |
112
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( 𝑥 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑣 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) ) |
114 |
81 113
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑣 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
115 |
114 38
|
chvarvv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑣 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) |
116 |
45 49 115
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( 𝑣 − 𝑇 ) ∈ 𝐴 ) |
117 |
110 111 116
|
rspcdva |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) < 𝑤 ) ) |
118 |
102 117
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑣 − 𝑇 ) ) ) ) < 𝑤 ) |
119 |
90 118
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) |
120 |
119
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
121 |
120
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) ) → ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
122 |
121
|
3exp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑧 ∈ ℝ+ → ( ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) → ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) ) |
123 |
122
|
reximdvai |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑏 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 − 𝑇 ) − 𝑏 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ ( 𝑥 − 𝑇 ) ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐴 ) ‘ 𝑏 ) ) ) < 𝑤 ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) |
124 |
43 123
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
125 |
124
|
ralrimivva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) |
126 |
52
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ ) |
127 |
|
ssidd |
⊢ ( 𝜑 → ℂ ⊆ ℂ ) |
128 |
|
elcncf |
⊢ ( ( 𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ∈ ( 𝐵 –cn→ ℂ ) ↔ ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) : 𝐵 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) ) |
129 |
126 127 128
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ∈ ( 𝐵 –cn→ ℂ ) ↔ ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) : 𝐵 ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑣 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ‘ 𝑣 ) ) ) < 𝑤 ) ) ) ) |
130 |
8 125 129
|
mpbir2and |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ 𝐵 ) ∈ ( 𝐵 –cn→ ℂ ) ) |