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Theorem constrrtlc1

Description: In the construction of constructible numbers, line-circle intersections are roots of a quadratic equation, non-degenerate case. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025)

Ref Expression
Hypotheses constrrtlc.s ( 𝜑𝑆 ⊆ ℂ )
constrrtlc.a ( 𝜑𝐴𝑆 )
constrrtlc.b ( 𝜑𝐵𝑆 )
constrrtlc.c ( 𝜑𝐶𝑆 )
constrrtlc.e ( 𝜑𝐸𝑆 )
constrrtlc.f ( 𝜑𝐹𝑆 )
constrrtlc.t ( 𝜑𝑇 ∈ ℝ )
constrrtlc.1 ( 𝜑𝑋 = ( 𝐴 + ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) ) )
constrrtlc.2 ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝑋𝐶 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐸𝐹 ) ) )
constrrtlc.q 𝑄 = ( ( ( ∗ ‘ 𝐵 ) − ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) / ( 𝐵𝐴 ) )
constrrtlc.m 𝑀 = ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) / 𝑄 )
constrrtlc.n 𝑁 = ( - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) / 𝑄 )
constrrtlc1.1 ( 𝜑𝐴𝐵 )
Assertion constrrtlc1 ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + 𝑁 ) ) = 0 ∧ 𝑄 ≠ 0 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 constrrtlc.s ( 𝜑𝑆 ⊆ ℂ )
2 constrrtlc.a ( 𝜑𝐴𝑆 )
3 constrrtlc.b ( 𝜑𝐵𝑆 )
4 constrrtlc.c ( 𝜑𝐶𝑆 )
5 constrrtlc.e ( 𝜑𝐸𝑆 )
6 constrrtlc.f ( 𝜑𝐹𝑆 )
7 constrrtlc.t ( 𝜑𝑇 ∈ ℝ )
8 constrrtlc.1 ( 𝜑𝑋 = ( 𝐴 + ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) ) )
9 constrrtlc.2 ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝑋𝐶 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐸𝐹 ) ) )
10 constrrtlc.q 𝑄 = ( ( ( ∗ ‘ 𝐵 ) − ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) / ( 𝐵𝐴 ) )
11 constrrtlc.m 𝑀 = ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) / 𝑄 )
12 constrrtlc.n 𝑁 = ( - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) / 𝑄 )
13 constrrtlc1.1 ( 𝜑𝐴𝐵 )
14 1 2 sseldd ( 𝜑𝐴 ∈ ℂ )
15 14 cjcld ( 𝜑 → ( ∗ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )
16 1 3 sseldd ( 𝜑𝐵 ∈ ℂ )
17 16 cjcld ( 𝜑 → ( ∗ ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ )
18 17 15 subcld ( 𝜑 → ( ( ∗ ‘ 𝐵 ) − ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ )
19 16 14 subcld ( 𝜑 → ( 𝐵𝐴 ) ∈ ℂ )
20 13 necomd ( 𝜑𝐵𝐴 )
21 16 14 20 subne0d ( 𝜑 → ( 𝐵𝐴 ) ≠ 0 )
22 18 19 21 divcld ( 𝜑 → ( ( ( ∗ ‘ 𝐵 ) − ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) / ( 𝐵𝐴 ) ) ∈ ℂ )
23 10 22 eqeltrid ( 𝜑𝑄 ∈ ℂ )
24 14 23 mulcld ( 𝜑 → ( 𝐴 · 𝑄 ) ∈ ℂ )
25 15 24 subcld ( 𝜑 → ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) ∈ ℂ )
26 1 4 sseldd ( 𝜑𝐶 ∈ ℂ )
27 26 cjcld ( 𝜑 → ( ∗ ‘ 𝐶 ) ∈ ℂ )
28 25 27 subcld ( 𝜑 → ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ∈ ℂ )
29 26 23 mulcld ( 𝜑 → ( 𝐶 · 𝑄 ) ∈ ℂ )
30 28 29 subcld ( 𝜑 → ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ∈ ℂ )
31 16 14 cjsubd ( 𝜑 → ( ∗ ‘ ( 𝐵𝐴 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝐵 ) − ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) )
32 19 21 cjne0d ( 𝜑 → ( ∗ ‘ ( 𝐵𝐴 ) ) ≠ 0 )
33 31 32 eqnetrrd ( 𝜑 → ( ( ∗ ‘ 𝐵 ) − ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0 )
34 18 19 33 21 divne0d ( 𝜑 → ( ( ( ∗ ‘ 𝐵 ) − ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) / ( 𝐵𝐴 ) ) ≠ 0 )
35 10 neeq1i ( 𝑄 ≠ 0 ↔ ( ( ( ∗ ‘ 𝐵 ) − ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) / ( 𝐵𝐴 ) ) ≠ 0 )
36 34 35 sylibr ( 𝜑𝑄 ≠ 0 )
37 30 23 36 divcld ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) / 𝑄 ) ∈ ℂ )
38 7 recnd ( 𝜑𝑇 ∈ ℂ )
39 38 19 mulcld ( 𝜑 → ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) ∈ ℂ )
40 14 39 addcld ( 𝜑 → ( 𝐴 + ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) ) ∈ ℂ )
41 8 40 eqeltrd ( 𝜑𝑋 ∈ ℂ )
42 37 41 mulcomd ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) / 𝑄 ) · 𝑋 ) = ( 𝑋 · ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) / 𝑄 ) ) )
43 11 a1i ( 𝜑𝑀 = ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) / 𝑄 ) )
44 43 oveq1d ( 𝜑 → ( 𝑀 · 𝑋 ) = ( ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) / 𝑄 ) · 𝑋 ) )
45 41 30 23 36 divassd ( 𝜑 → ( ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) / 𝑄 ) = ( 𝑋 · ( ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) / 𝑄 ) ) )
46 42 44 45 3eqtr4d ( 𝜑 → ( 𝑀 · 𝑋 ) = ( ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) / 𝑄 ) )
47 12 a1i ( 𝜑𝑁 = ( - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) / 𝑄 ) )
48 46 47 oveq12d ( 𝜑 → ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + 𝑁 ) = ( ( ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) / 𝑄 ) + ( - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) / 𝑄 ) ) )
49 41 30 mulcld ( 𝜑 → ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ∈ ℂ )
50 26 28 mulcld ( 𝜑 → ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ∈ ℂ )
51 41 sqvald ( 𝜑 → ( 𝑋 ↑ 2 ) = ( 𝑋 · 𝑋 ) )
52 51 oveq1d ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) = ( ( 𝑋 · 𝑋 ) · 𝑄 ) )
53 41 41 23 mulassd ( 𝜑 → ( ( 𝑋 · 𝑋 ) · 𝑄 ) = ( 𝑋 · ( 𝑋 · 𝑄 ) ) )
54 52 53 eqtrd ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) = ( 𝑋 · ( 𝑋 · 𝑄 ) ) )
55 41 23 mulcld ( 𝜑 → ( 𝑋 · 𝑄 ) ∈ ℂ )
56 41 55 mulcld ( 𝜑 → ( 𝑋 · ( 𝑋 · 𝑄 ) ) ∈ ℂ )
57 54 56 eqeltrd ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) ∈ ℂ )
58 57 49 50 addsubd ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) − ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) − ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) + ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) )
59 54 oveq1d ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) − ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) = ( ( 𝑋 · ( 𝑋 · 𝑄 ) ) − ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) )
60 41 28 29 subdid ( 𝜑 → ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) = ( ( 𝑋 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) − ( 𝑋 · ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) )
61 59 60 oveq12d ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) − ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) + ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑋 · ( 𝑋 · 𝑄 ) ) − ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) + ( ( 𝑋 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) − ( 𝑋 · ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) )
62 41 28 mulcld ( 𝜑 → ( 𝑋 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ∈ ℂ )
63 41 29 mulcld ( 𝜑 → ( 𝑋 · ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ∈ ℂ )
64 56 62 50 63 addsub4d ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 · ( 𝑋 · 𝑄 ) ) + ( 𝑋 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) − ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( 𝑋 · ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑋 · ( 𝑋 · 𝑄 ) ) − ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) + ( ( 𝑋 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) − ( 𝑋 · ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) )
65 41 26 55 28 submuladdd ( 𝜑 → ( ( 𝑋𝐶 ) · ( ( 𝑋 · 𝑄 ) + ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑋 · ( 𝑋 · 𝑄 ) ) + ( 𝑋 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) − ( ( 𝐶 · ( 𝑋 · 𝑄 ) ) + ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) ) )
66 9 oveq1d ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝑋𝐶 ) ) ↑ 2 ) = ( ( abs ‘ ( 𝐸𝐹 ) ) ↑ 2 ) )
67 41 26 subcld ( 𝜑 → ( 𝑋𝐶 ) ∈ ℂ )
68 67 absvalsqd ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝑋𝐶 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑋𝐶 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑋𝐶 ) ) ) )
69 1 5 sseldd ( 𝜑𝐸 ∈ ℂ )
70 1 6 sseldd ( 𝜑𝐹 ∈ ℂ )
71 69 70 subcld ( 𝜑 → ( 𝐸𝐹 ) ∈ ℂ )
72 71 absvalsqd ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝐸𝐹 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ∗ ‘ ( 𝐸𝐹 ) ) ) )
73 66 68 72 3eqtr3d ( 𝜑 → ( ( 𝑋𝐶 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑋𝐶 ) ) ) = ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ∗ ‘ ( 𝐸𝐹 ) ) ) )
74 8 fvoveq1d ( 𝜑 → ( ∗ ‘ ( 𝑋𝐶 ) ) = ( ∗ ‘ ( ( 𝐴 + ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) ) − 𝐶 ) ) )
75 40 26 cjsubd ( 𝜑 → ( ∗ ‘ ( ( 𝐴 + ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) ) − 𝐶 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( 𝐴 + ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) )
76 14 39 cjaddd ( 𝜑 → ( ∗ ‘ ( 𝐴 + ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) + ( ∗ ‘ ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) ) ) )
77 38 19 cjmuld ( 𝜑 → ( ∗ ‘ ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝑇 ) · ( ∗ ‘ ( 𝐵𝐴 ) ) ) )
78 7 cjred ( 𝜑 → ( ∗ ‘ 𝑇 ) = 𝑇 )
79 14 39 8 mvrladdd ( 𝜑 → ( 𝑋𝐴 ) = ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) )
80 79 39 eqeltrd ( 𝜑 → ( 𝑋𝐴 ) ∈ ℂ )
81 80 38 19 21 divmul3d ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋𝐴 ) / ( 𝐵𝐴 ) ) = 𝑇 ↔ ( 𝑋𝐴 ) = ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) ) )
82 79 81 mpbird ( 𝜑 → ( ( 𝑋𝐴 ) / ( 𝐵𝐴 ) ) = 𝑇 )
83 78 82 eqtr4d ( 𝜑 → ( ∗ ‘ 𝑇 ) = ( ( 𝑋𝐴 ) / ( 𝐵𝐴 ) ) )
84 83 31 oveq12d ( 𝜑 → ( ( ∗ ‘ 𝑇 ) · ( ∗ ‘ ( 𝐵𝐴 ) ) ) = ( ( ( 𝑋𝐴 ) / ( 𝐵𝐴 ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝐵 ) − ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) ) )
85 80 19 18 21 div32d ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋𝐴 ) / ( 𝐵𝐴 ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝐵 ) − ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( 𝑋𝐴 ) · ( ( ( ∗ ‘ 𝐵 ) − ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) / ( 𝐵𝐴 ) ) ) )
86 10 oveq2i ( ( 𝑋𝐴 ) · 𝑄 ) = ( ( 𝑋𝐴 ) · ( ( ( ∗ ‘ 𝐵 ) − ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) / ( 𝐵𝐴 ) ) )
87 85 86 eqtr4di ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋𝐴 ) / ( 𝐵𝐴 ) ) · ( ( ∗ ‘ 𝐵 ) − ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( 𝑋𝐴 ) · 𝑄 ) )
88 41 14 23 subdird ( 𝜑 → ( ( 𝑋𝐴 ) · 𝑄 ) = ( ( 𝑋 · 𝑄 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) )
89 84 87 88 3eqtrd ( 𝜑 → ( ( ∗ ‘ 𝑇 ) · ( ∗ ‘ ( 𝐵𝐴 ) ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑄 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) )
90 77 89 eqtrd ( 𝜑 → ( ∗ ‘ ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑄 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) )
91 90 oveq2d ( 𝜑 → ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) + ( ∗ ‘ ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) + ( ( 𝑋 · 𝑄 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) ) )
92 15 55 24 addsub12d ( 𝜑 → ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) + ( ( 𝑋 · 𝑄 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑄 ) + ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) ) )
93 76 91 92 3eqtrd ( 𝜑 → ( ∗ ‘ ( 𝐴 + ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑄 ) + ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) ) )
94 93 oveq1d ( 𝜑 → ( ( ∗ ‘ ( 𝐴 + ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) = ( ( ( 𝑋 · 𝑄 ) + ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) )
95 55 25 27 addsubassd ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 · 𝑄 ) + ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑄 ) + ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) )
96 75 94 95 3eqtrd ( 𝜑 → ( ∗ ‘ ( ( 𝐴 + ( 𝑇 · ( 𝐵𝐴 ) ) ) − 𝐶 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑄 ) + ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) )
97 74 96 eqtrd ( 𝜑 → ( ∗ ‘ ( 𝑋𝐶 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑄 ) + ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) )
98 97 oveq2d ( 𝜑 → ( ( 𝑋𝐶 ) · ( ∗ ‘ ( 𝑋𝐶 ) ) ) = ( ( 𝑋𝐶 ) · ( ( 𝑋 · 𝑄 ) + ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) )
99 69 70 cjsubd ( 𝜑 → ( ∗ ‘ ( 𝐸𝐹 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) )
100 99 oveq2d ( 𝜑 → ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ∗ ‘ ( 𝐸𝐹 ) ) ) = ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) )
101 73 98 100 3eqtr3d ( 𝜑 → ( ( 𝑋𝐶 ) · ( ( 𝑋 · 𝑄 ) + ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) = ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) )
102 26 41 23 mul12d ( 𝜑 → ( 𝐶 · ( 𝑋 · 𝑄 ) ) = ( 𝑋 · ( 𝐶 · 𝑄 ) ) )
103 102 oveq1d ( 𝜑 → ( ( 𝐶 · ( 𝑋 · 𝑄 ) ) + ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) = ( ( 𝑋 · ( 𝐶 · 𝑄 ) ) + ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) )
104 63 50 103 comraddd ( 𝜑 → ( ( 𝐶 · ( 𝑋 · 𝑄 ) ) + ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) = ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( 𝑋 · ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) )
105 104 oveq2d ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 · ( 𝑋 · 𝑄 ) ) + ( 𝑋 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) − ( ( 𝐶 · ( 𝑋 · 𝑄 ) ) + ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑋 · ( 𝑋 · 𝑄 ) ) + ( 𝑋 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) − ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( 𝑋 · ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) )
106 65 101 105 3eqtr3rd ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 · ( 𝑋 · 𝑄 ) ) + ( 𝑋 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) − ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( 𝑋 · ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) = ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) )
107 61 64 106 3eqtr2d ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) − ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) + ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) = ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) )
108 58 107 eqtrd ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) − ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) = ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) )
109 57 49 addcld ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) ∈ ℂ )
110 109 50 subcld ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) − ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) ∈ ℂ )
111 108 110 eqeltrrd ( 𝜑 → ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ∈ ℂ )
112 50 111 addcld ( 𝜑 → ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ∈ ℂ )
113 112 negcld ( 𝜑 → - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ∈ ℂ )
114 49 113 23 36 divdird ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) / 𝑄 ) = ( ( ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) / 𝑄 ) + ( - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) / 𝑄 ) ) )
115 48 114 eqtr4d ( 𝜑 → ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + 𝑁 ) = ( ( ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) / 𝑄 ) )
116 115 oveq2d ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + 𝑁 ) ) = ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( ( ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) / 𝑄 ) ) )
117 41 sqcld ( 𝜑 → ( 𝑋 ↑ 2 ) ∈ ℂ )
118 49 113 addcld ( 𝜑 → ( ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) ∈ ℂ )
119 117 23 118 36 muldivdid ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) ) / 𝑄 ) = ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( ( ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) / 𝑄 ) ) )
120 57 49 113 addassd ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) ) )
121 109 112 negsubd ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) − ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) )
122 109 50 111 subsub4d ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) − ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) − ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) − ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) )
123 110 108 subeq0bd ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) − ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) ) − ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) = 0 )
124 121 122 123 3eqtr2d ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) = 0 )
125 120 124 eqtr3d ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) ) = 0 )
126 57 118 addcld ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) ) ∈ ℂ )
127 126 23 36 diveq0ad ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) ) / 𝑄 ) = 0 ↔ ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) ) = 0 ) )
128 125 127 mpbird ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) · 𝑄 ) + ( ( 𝑋 · ( ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) − ( 𝐶 · 𝑄 ) ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) − ( 𝐴 · 𝑄 ) ) − ( ∗ ‘ 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐸𝐹 ) · ( ( ∗ ‘ 𝐸 ) − ( ∗ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) ) / 𝑄 ) = 0 )
129 116 119 128 3eqtr2d ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + 𝑁 ) ) = 0 )
130 129 36 jca ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 ↑ 2 ) + ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + 𝑁 ) ) = 0 ∧ 𝑄 ≠ 0 ) )