| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
dibglb.g |
⊢ 𝐺 = ( glb ‘ 𝐾 ) |
| 2 |
|
dibglb.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
| 3 |
|
dibglb.i |
⊢ 𝐼 = ( ( DIsoB ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
| 4 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
| 5 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ) |
| 6 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
| 7 |
|
eqid |
⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 ) |
| 8 |
6 7 2 3
|
dibdmN |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → dom 𝐼 = { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) |
| 9 |
8
|
sseq2d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ( 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ↔ 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) ) |
| 10 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ↔ 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) ) |
| 11 |
5 10
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) |
| 12 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → 𝑆 ≠ ∅ ) |
| 13 |
2 3
|
dibvalrel |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → Rel ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ) |
| 14 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → Rel ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ) |
| 15 |
|
n0 |
⊢ ( 𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ) |
| 16 |
15
|
biimpi |
⊢ ( 𝑆 ≠ ∅ → ∃ 𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ) |
| 17 |
16
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ∃ 𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ) |
| 18 |
2 3
|
dibvalrel |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |
| 19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |
| 20 |
19
|
a1d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑆 → Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 21 |
20
|
ancld |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑆 → ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 22 |
21
|
eximdv |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ∃ 𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 23 |
17 22
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 24 |
|
df-rex |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑆 Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 25 |
23 24
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑆 Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |
| 26 |
|
reliin |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑆 Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) → Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |
| 27 |
25 26
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |
| 28 |
|
id |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ) |
| 29 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
| 30 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) |
| 31 |
|
eqid |
⊢ ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
| 32 |
6 7 2 31
|
diadm |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → dom ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) |
| 33 |
32
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → dom ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) |
| 34 |
30 33
|
sseqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → 𝑆 ⊆ dom ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) |
| 35 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → 𝑆 ≠ ∅ ) |
| 36 |
1 2 31
|
diaglbN |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ dom ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ) |
| 37 |
29 34 35 36
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ) |
| 38 |
37
|
eleq2d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ↔ 𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 39 |
|
vex |
⊢ 𝑓 ∈ V |
| 40 |
|
eliin |
⊢ ( 𝑓 ∈ V → ( 𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 41 |
39 40
|
ax-mp |
⊢ ( 𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ) |
| 42 |
38 41
|
bitrdi |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 43 |
42
|
anbi1d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
| 44 |
|
r19.27zv |
⊢ ( 𝑆 ≠ ∅ → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
| 45 |
44
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
| 46 |
43 45
|
bitr4d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
| 47 |
|
hlclat |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat ) |
| 48 |
47
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → 𝐾 ∈ CLat ) |
| 49 |
|
ssrab2 |
⊢ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ⊆ ( Base ‘ 𝐾 ) |
| 50 |
30 49
|
sstrdi |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 51 |
6 1
|
clatglbcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 52 |
48 50 51
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 53 |
|
hllat |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat ) |
| 54 |
53
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
| 55 |
47
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝐾 ∈ CLat ) |
| 56 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) |
| 57 |
56 49
|
sstrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 58 |
55 57 51
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 59 |
50
|
sselda |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 60 |
6 2
|
lhpbase |
⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 61 |
60
|
ad3antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 62 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑥 ∈ 𝑆 ) |
| 63 |
6 7 1
|
clatglble |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑥 ) |
| 64 |
55 57 62 63
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑥 ) |
| 65 |
30
|
sselda |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) |
| 66 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ↔ 𝑥 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) |
| 67 |
66
|
elrab |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ↔ ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) |
| 68 |
65 67
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) |
| 69 |
68
|
simprd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑥 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) |
| 70 |
6 7 54 58 59 61 64 69
|
lattrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) |
| 71 |
17 70
|
exlimddv |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) |
| 72 |
|
eqid |
⊢ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
| 73 |
|
eqid |
⊢ ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) |
| 74 |
6 7 2 72 73 31 3
|
dibopelval2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ↔ ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
| 75 |
29 52 71 74
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ↔ ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
| 76 |
|
opex |
⊢ ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ V |
| 77 |
|
eliin |
⊢ ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ V → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 78 |
76 77
|
ax-mp |
⊢ ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |
| 79 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
| 80 |
6 7 2 72 73 31 3
|
dibopelval2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
| 81 |
79 68 80
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
| 82 |
81
|
ralbidva |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
| 83 |
78 82
|
syl5bb |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
| 84 |
46 75 83
|
3bitr4d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ↔ ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 85 |
84
|
eqrelrdv2 |
⊢ ( ( ( Rel ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ∧ Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |
| 86 |
14 27 28 85
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syl21anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |
| 87 |
4 11 12 86
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syl12anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |