Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dibglb.g |
⊢ 𝐺 = ( glb ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
dibglb.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
dibglb.i |
⊢ 𝐼 = ( ( DIsoB ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
4 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
5 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ) |
6 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
7 |
|
eqid |
⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 ) |
8 |
6 7 2 3
|
dibdmN |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → dom 𝐼 = { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) |
9 |
8
|
sseq2d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ( 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ↔ 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) ) |
10 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ↔ 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) ) |
11 |
5 10
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) |
12 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → 𝑆 ≠ ∅ ) |
13 |
2 3
|
dibvalrel |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → Rel ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ) |
14 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → Rel ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ) |
15 |
|
n0 |
⊢ ( 𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ) |
16 |
15
|
biimpi |
⊢ ( 𝑆 ≠ ∅ → ∃ 𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ) |
17 |
16
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ∃ 𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 ) |
18 |
2 3
|
dibvalrel |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |
19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |
20 |
19
|
a1d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑆 → Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) ) |
21 |
20
|
ancld |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑆 → ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
22 |
21
|
eximdv |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ∃ 𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
23 |
17 22
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) ) |
24 |
|
df-rex |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑆 Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) ) |
25 |
23 24
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑆 Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |
26 |
|
reliin |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑆 Rel ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) → Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |
27 |
25 26
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |
28 |
|
id |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ) |
29 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
30 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) |
31 |
|
eqid |
⊢ ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
32 |
6 7 2 31
|
diadm |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → dom ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) |
33 |
32
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → dom ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) |
34 |
30 33
|
sseqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → 𝑆 ⊆ dom ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) |
35 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → 𝑆 ≠ ∅ ) |
36 |
1 2 31
|
diaglbN |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ dom ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ) |
37 |
29 34 35 36
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ) |
38 |
37
|
eleq2d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ↔ 𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ) ) |
39 |
|
vex |
⊢ 𝑓 ∈ V |
40 |
|
eliin |
⊢ ( 𝑓 ∈ V → ( 𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ) ) |
41 |
39 40
|
ax-mp |
⊢ ( 𝑓 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ) |
42 |
38 41
|
syl6bb |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ) ) |
43 |
42
|
anbi1d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
44 |
|
r19.27zv |
⊢ ( 𝑆 ≠ ∅ → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
45 |
44
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
46 |
43 45
|
bitr4d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
47 |
|
hlclat |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat ) |
48 |
47
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → 𝐾 ∈ CLat ) |
49 |
|
ssrab2 |
⊢ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ⊆ ( Base ‘ 𝐾 ) |
50 |
30 49
|
sstrdi |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
51 |
6 1
|
clatglbcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
52 |
48 50 51
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
53 |
|
hllat |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat ) |
54 |
53
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
55 |
47
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝐾 ∈ CLat ) |
56 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) |
57 |
56 49
|
sstrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
58 |
55 57 51
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
59 |
50
|
sselda |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
60 |
6 2
|
lhpbase |
⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
61 |
60
|
ad3antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
62 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑥 ∈ 𝑆 ) |
63 |
6 7 1
|
clatglble |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑥 ) |
64 |
55 57 62 63
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑥 ) |
65 |
30
|
sselda |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ) |
66 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ↔ 𝑥 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) |
67 |
66
|
elrab |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ↔ ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) |
68 |
65 67
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) |
69 |
68
|
simprd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑥 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) |
70 |
6 7 54 58 59 61 64 69
|
lattrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) |
71 |
17 70
|
exlimddv |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) |
72 |
|
eqid |
⊢ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
73 |
|
eqid |
⊢ ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) |
74 |
6 7 2 72 73 31 3
|
dibopelval2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) → ( 〈 𝑓 , 𝑠 〉 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ↔ ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
75 |
29 52 71 74
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 〈 𝑓 , 𝑠 〉 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ↔ ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
76 |
|
opex |
⊢ 〈 𝑓 , 𝑠 〉 ∈ V |
77 |
|
eliin |
⊢ ( 〈 𝑓 , 𝑠 〉 ∈ V → ( 〈 𝑓 , 𝑠 〉 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 〈 𝑓 , 𝑠 〉 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) ) |
78 |
76 77
|
ax-mp |
⊢ ( 〈 𝑓 , 𝑠 〉 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 〈 𝑓 , 𝑠 〉 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |
79 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
80 |
6 7 2 72 73 31 3
|
dibopelval2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) → ( 〈 𝑓 , 𝑠 〉 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
81 |
79 68 80
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 〈 𝑓 , 𝑠 〉 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
82 |
81
|
ralbidva |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 〈 𝑓 , 𝑠 〉 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
83 |
78 82
|
syl5bb |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 〈 𝑓 , 𝑠 〉 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝑓 ∈ ( ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑥 ) ∧ 𝑠 = ( ℎ ∈ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ↦ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) ) ) ) |
84 |
46 75 83
|
3bitr4d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 〈 𝑓 , 𝑠 〉 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ↔ 〈 𝑓 , 𝑠 〉 ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) ) |
85 |
84
|
eqrelrdv2 |
⊢ ( ( ( Rel ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ∧ Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |
86 |
14 27 28 85
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ { 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∣ 𝑦 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 } ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |
87 |
4 11 12 86
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syl12anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ⊆ dom 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 ( 𝐼 ‘ 𝑥 ) ) |