Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dibglb.g |
|- G = ( glb ` K ) |
2 |
|
dibglb.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
3 |
|
dibglb.i |
|- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W ) |
4 |
|
simpl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
5 |
|
simprl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ dom I ) |
6 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
7 |
|
eqid |
|- ( le ` K ) = ( le ` K ) |
8 |
6 7 2 3
|
dibdmN |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> dom I = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) |
9 |
8
|
sseq2d |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( S C_ dom I <-> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( S C_ dom I <-> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) ) |
11 |
5 10
|
mpbid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) |
12 |
|
simprr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S =/= (/) ) |
13 |
2 3
|
dibvalrel |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` ( G ` S ) ) ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> Rel ( I ` ( G ` S ) ) ) |
15 |
|
n0 |
|- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S ) |
16 |
15
|
biimpi |
|- ( S =/= (/) -> E. x x e. S ) |
17 |
16
|
ad2antll |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> E. x x e. S ) |
18 |
2 3
|
dibvalrel |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` x ) ) |
19 |
18
|
adantr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> Rel ( I ` x ) ) |
20 |
19
|
a1d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( x e. S -> Rel ( I ` x ) ) ) |
21 |
20
|
ancld |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( x e. S -> ( x e. S /\ Rel ( I ` x ) ) ) ) |
22 |
21
|
eximdv |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( E. x x e. S -> E. x ( x e. S /\ Rel ( I ` x ) ) ) ) |
23 |
17 22
|
mpd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> E. x ( x e. S /\ Rel ( I ` x ) ) ) |
24 |
|
df-rex |
|- ( E. x e. S Rel ( I ` x ) <-> E. x ( x e. S /\ Rel ( I ` x ) ) ) |
25 |
23 24
|
sylibr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> E. x e. S Rel ( I ` x ) ) |
26 |
|
reliin |
|- ( E. x e. S Rel ( I ` x ) -> Rel |^|_ x e. S ( I ` x ) ) |
27 |
25 26
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> Rel |^|_ x e. S ( I ` x ) ) |
28 |
|
id |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) ) |
29 |
|
simpl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
30 |
|
simprl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) |
31 |
|
eqid |
|- ( ( DIsoA ` K ) ` W ) = ( ( DIsoA ` K ) ` W ) |
32 |
6 7 2 31
|
diadm |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> dom ( ( DIsoA ` K ) ` W ) = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) |
33 |
32
|
adantr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> dom ( ( DIsoA ` K ) ` W ) = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) |
34 |
30 33
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ dom ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ) |
35 |
|
simprr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> S =/= (/) ) |
36 |
1 2 31
|
diaglbN |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom ( ( DIsoA ` K ) ` W ) /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) ) |
37 |
29 34 35 36
|
syl12anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) ) |
38 |
37
|
eleq2d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) <-> f e. |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) ) ) |
39 |
|
vex |
|- f e. _V |
40 |
|
eliin |
|- ( f e. _V -> ( f e. |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) <-> A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) ) ) |
41 |
39 40
|
ax-mp |
|- ( f e. |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) <-> A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) ) |
42 |
38 41
|
syl6bb |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) <-> A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) ) ) |
43 |
42
|
anbi1d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) <-> ( A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) ) |
44 |
|
r19.27zv |
|- ( S =/= (/) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) <-> ( A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) ) |
45 |
44
|
ad2antll |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) <-> ( A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) ) |
46 |
43 45
|
bitr4d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) ) |
47 |
|
hlclat |
|- ( K e. HL -> K e. CLat ) |
48 |
47
|
ad2antrr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> K e. CLat ) |
49 |
|
ssrab2 |
|- { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } C_ ( Base ` K ) |
50 |
30 49
|
sstrdi |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ ( Base ` K ) ) |
51 |
6 1
|
clatglbcl |
|- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) ) |
52 |
48 50 51
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) ) |
53 |
|
hllat |
|- ( K e. HL -> K e. Lat ) |
54 |
53
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. Lat ) |
55 |
47
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. CLat ) |
56 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) |
57 |
56 49
|
sstrdi |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> S C_ ( Base ` K ) ) |
58 |
55 57 51
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) ) |
59 |
50
|
sselda |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` K ) ) |
60 |
6 2
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) ) |
61 |
60
|
ad3antlr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> W e. ( Base ` K ) ) |
62 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. S ) |
63 |
6 7 1
|
clatglble |
|- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x ) |
64 |
55 57 62 63
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x ) |
65 |
30
|
sselda |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) |
66 |
|
breq1 |
|- ( y = x -> ( y ( le ` K ) W <-> x ( le ` K ) W ) ) |
67 |
66
|
elrab |
|- ( x e. { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) |
68 |
65 67
|
sylib |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) |
69 |
68
|
simprd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x ( le ` K ) W ) |
70 |
6 7 54 58 59 61 64 69
|
lattrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W ) |
71 |
17 70
|
exlimddv |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W ) |
72 |
|
eqid |
|- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
73 |
|
eqid |
|- ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) |
74 |
6 7 2 72 73 31 3
|
dibopelval2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G ` S ) e. ( Base ` K ) /\ ( G ` S ) ( le ` K ) W ) ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) ) |
75 |
29 52 71 74
|
syl12anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) ) |
76 |
|
opex |
|- <. f , s >. e. _V |
77 |
|
eliin |
|- ( <. f , s >. e. _V -> ( <. f , s >. e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S <. f , s >. e. ( I ` x ) ) ) |
78 |
76 77
|
ax-mp |
|- ( <. f , s >. e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S <. f , s >. e. ( I ` x ) ) |
79 |
|
simpll |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
80 |
6 7 2 72 73 31 3
|
dibopelval2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) ) |
81 |
79 68 80
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) ) |
82 |
81
|
ralbidva |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S <. f , s >. e. ( I ` x ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) ) |
83 |
78 82
|
syl5bb |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( <. f , s >. e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) ) |
84 |
46 75 83
|
3bitr4d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> <. f , s >. e. |^|_ x e. S ( I ` x ) ) ) |
85 |
84
|
eqrelrdv2 |
|- ( ( ( Rel ( I ` ( G ` S ) ) /\ Rel |^|_ x e. S ( I ` x ) ) /\ ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) ) |
86 |
14 27 28 85
|
syl21anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) ) |
87 |
4 11 12 86
|
syl12anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) ) |