Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dvh3dim.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
dvh3dim.u |
⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
3 |
|
dvh3dim.v |
⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 ) |
4 |
|
dvh3dim.n |
⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑈 ) |
5 |
|
dvh3dim.k |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
6 |
|
dvh3dim.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉 ) |
7 |
|
dvh3dim.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉 ) |
8 |
|
dvh3dim2.z |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉 ) |
9 |
|
dvh3dim3.t |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉 ) |
10 |
|
eqid |
⊢ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) = ( LSubSp ‘ 𝑈 ) |
11 |
1 2 5
|
dvhlmod |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ LMod ) |
12 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → 𝑈 ∈ LMod ) |
13 |
3 10 4 11 8 9
|
lspprcl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
14 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
15 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) |
16 |
3 4 11 8 9
|
lspprid2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) |
17 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → 𝑇 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) |
18 |
10 4 12 14 15 17
|
lspprss |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) |
19 |
|
sspss |
⊢ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ↔ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ⊊ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
20 |
18 19
|
sylib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ⊊ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
21 |
1 2 5
|
dvhlvec |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ LVec ) |
22 |
21
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ⊊ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → 𝑈 ∈ LVec ) |
23 |
3 10 4 11 7 9
|
lspprcl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
24 |
23
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ⊊ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
25 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ⊊ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → 𝑍 ∈ 𝑉 ) |
26 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ⊊ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → 𝑇 ∈ 𝑉 ) |
27 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ⊊ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ⊊ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) |
28 |
3 10 4 22 24 25 26 27
|
lspprat |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ⊊ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ∃ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) |
29 |
5
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
30 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → 𝑤 ∈ 𝑉 ) |
31 |
6
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → 𝑋 ∈ 𝑉 ) |
32 |
8
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → 𝑍 ∈ 𝑉 ) |
33 |
1 2 3 4 29 30 31 32
|
dvh3dim2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) ) ) |
34 |
11
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → 𝑈 ∈ LMod ) |
35 |
10
|
lsssssubg |
⊢ ( 𝑈 ∈ LMod → ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ⊆ ( SubGrp ‘ 𝑈 ) ) |
36 |
34 35
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ⊆ ( SubGrp ‘ 𝑈 ) ) |
37 |
3 10 4
|
lspsncl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
38 |
11 6 37
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
39 |
38
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
40 |
36 39
|
sseldd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑈 ) ) |
41 |
3 10 4
|
lspsncl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
42 |
34 30 41
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
43 |
36 42
|
sseldd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑈 ) ) |
44 |
|
prssi |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉 ) → { 𝑌 , 𝑇 } ⊆ 𝑉 ) |
45 |
7 9 44
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → { 𝑌 , 𝑇 } ⊆ 𝑉 ) |
46 |
|
snsspr1 |
⊢ { 𝑌 } ⊆ { 𝑌 , 𝑇 } |
47 |
46
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → { 𝑌 } ⊆ { 𝑌 , 𝑇 } ) |
48 |
3 4
|
lspss |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ { 𝑌 , 𝑇 } ⊆ 𝑉 ∧ { 𝑌 } ⊆ { 𝑌 , 𝑇 } ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) |
49 |
11 45 47 48
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) |
50 |
49
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) |
51 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) |
52 |
50 51
|
sseqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) |
53 |
|
eqid |
⊢ ( LSSum ‘ 𝑈 ) = ( LSSum ‘ 𝑈 ) |
54 |
53
|
lsmless2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑈 ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑈 ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) ) |
55 |
40 43 52 54
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) ) |
56 |
3 4 53 11 6 7
|
lsmpr |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) = ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) |
57 |
56
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) = ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) |
58 |
|
prcom |
⊢ { 𝑤 , 𝑋 } = { 𝑋 , 𝑤 } |
59 |
58
|
fveq2i |
⊢ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑋 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑤 } ) |
60 |
3 4 53 34 31 30
|
lsmpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑤 } ) = ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) ) |
61 |
59 60
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑋 } ) = ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) ) |
62 |
55 57 61
|
3sstr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑋 } ) ) |
63 |
62
|
ssneld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑋 } ) → ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) ) |
64 |
3 10 4
|
lspsncl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
65 |
11 8 64
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
66 |
65
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
67 |
36 66
|
sseldd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑈 ) ) |
68 |
|
snsspr2 |
⊢ { 𝑇 } ⊆ { 𝑌 , 𝑇 } |
69 |
68
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → { 𝑇 } ⊆ { 𝑌 , 𝑇 } ) |
70 |
3 4
|
lspss |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ { 𝑌 , 𝑇 } ⊆ 𝑉 ∧ { 𝑇 } ⊆ { 𝑌 , 𝑇 } ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) |
71 |
11 45 69 70
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) |
72 |
71
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) |
73 |
72 51
|
sseqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) |
74 |
53
|
lsmless2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑈 ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ∈ ( SubGrp ‘ 𝑈 ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) ) |
75 |
67 43 73 74
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) ) |
76 |
3 4 53 11 8 9
|
lsmpr |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) = ( ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
77 |
76
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) = ( ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) |
78 |
|
prcom |
⊢ { 𝑤 , 𝑍 } = { 𝑍 , 𝑤 } |
79 |
78
|
fveq2i |
⊢ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑤 } ) |
80 |
3 4 53 34 32 30
|
lsmpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑤 } ) = ( ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) ) |
81 |
79 80
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) = ( ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) ) |
82 |
75 77 81
|
3sstr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) ) |
83 |
82
|
ssneld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) → ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
84 |
63 83
|
anim12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) ) |
85 |
84
|
reximdv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) ) |
86 |
33 85
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
87 |
86
|
rexlimdv3a |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) ) |
88 |
87
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ⊊ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑉 ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) ) |
89 |
28 88
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ⊊ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
90 |
1 2 3 4 5 7 6 9
|
dvh3dim2 |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) |
91 |
90
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) |
92 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) |
93 |
|
prcom |
⊢ { 𝑌 , 𝑋 } = { 𝑋 , 𝑌 } |
94 |
93
|
fveq2i |
⊢ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) |
95 |
94
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) |
96 |
95
|
notbii |
⊢ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ↔ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) |
97 |
96
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ↔ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) ) |
98 |
|
eleq2 |
⊢ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
99 |
98
|
notbid |
⊢ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ↔ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
100 |
97 99
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) → ( ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ↔ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) ) |
101 |
92 100
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ( ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ↔ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) ) |
102 |
101
|
rexbidv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) ) |
103 |
91 102
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
104 |
89 103
|
jaodan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ⊊ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ∨ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
105 |
20 104
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
106 |
1 2 3 4 5 7 6 9
|
dvh3dim2 |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) |
107 |
106
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ∃ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) |
108 |
|
simpl1l |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → 𝜑 ) |
109 |
108 11
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → 𝑈 ∈ LMod ) |
110 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → 𝑤 ∈ 𝑉 ) |
111 |
108 7
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → 𝑌 ∈ 𝑉 ) |
112 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ 𝑈 ) = ( +g ‘ 𝑈 ) |
113 |
3 112
|
lmodvacl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) |
114 |
109 110 111 113
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) |
115 |
3 10 4 11 6 7
|
lspprcl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
116 |
108 115
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
117 |
3 4 11 6 7
|
lspprid2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) |
118 |
108 117
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) |
119 |
|
simpl3l |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ) |
120 |
94
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ↔ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) |
121 |
119 120
|
sylnib |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) |
122 |
3 112 10 109 116 118 110 121
|
lssvancl2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ¬ ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) |
123 |
108 13
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
124 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) |
125 |
|
simpl1r |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) |
126 |
3 112 10 109 123 124 111 125
|
lssvancl1 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ¬ ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) |
127 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ↔ ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) ) |
128 |
127
|
notbid |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ↔ ¬ ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) ) |
129 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ↔ ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
130 |
129
|
notbid |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ↔ ¬ ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
131 |
128 130
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) → ( ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ↔ ( ¬ ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) ) |
132 |
131
|
rspcev |
⊢ ( ( ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ ( 𝑤 ( +g ‘ 𝑈 ) 𝑌 ) ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
133 |
114 122 126 132
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
134 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → 𝑤 ∈ 𝑉 ) |
135 |
|
simpl3l |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ) |
136 |
135 120
|
sylnib |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) |
137 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) |
138 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ↔ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) ) |
139 |
138
|
notbid |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ↔ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) ) |
140 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ↔ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
141 |
140
|
notbid |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ↔ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
142 |
139 141
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ↔ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) ) |
143 |
142
|
rspcev |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
144 |
134 136 137 143
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
145 |
133 144
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
146 |
145
|
rexlimdv3a |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑇 } ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) ) |
147 |
107 146
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |
148 |
105 147
|
pm2.61dan |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑇 } ) ) ) |