| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
flimcf.1 |
⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽 |
| 2 |
|
haustop |
⊢ ( 𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top ) |
| 3 |
|
hausflimi |
⊢ ( 𝐽 ∈ Haus → ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) |
| 4 |
3
|
ralrimivw |
⊢ ( 𝐽 ∈ Haus → ∀ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) |
| 5 |
2 4
|
jca |
⊢ ( 𝐽 ∈ Haus → ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) |
| 6 |
1
|
toptopon |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ) |
| 7 |
6
|
birani |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ) |
| 8 |
|
simprll |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → 𝑧 ∈ 𝑋 ) |
| 9 |
8
|
snssd |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → { 𝑧 } ⊆ 𝑋 ) |
| 10 |
8
|
snn0d |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → { 𝑧 } ≠ ∅ ) |
| 11 |
|
neifil |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ { 𝑧 } ⊆ 𝑋 ∧ { 𝑧 } ≠ ∅ ) → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ) |
| 12 |
7 9 10 11
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ) |
| 13 |
|
filfbas |
⊢ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) |
| 14 |
12 13
|
syl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) |
| 15 |
|
simprlr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → 𝑤 ∈ 𝑋 ) |
| 16 |
15
|
snssd |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → { 𝑤 } ⊆ 𝑋 ) |
| 17 |
15
|
snn0d |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → { 𝑤 } ≠ ∅ ) |
| 18 |
|
neifil |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ { 𝑤 } ⊆ 𝑋 ∧ { 𝑤 } ≠ ∅ ) → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ) |
| 19 |
7 16 17 18
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ) |
| 20 |
|
filfbas |
⊢ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) |
| 21 |
19 20
|
syl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) |
| 22 |
|
fbunfip |
⊢ ( ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → ( ¬ ∅ ∈ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ↔ ∀ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∀ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) ≠ ∅ ) ) |
| 23 |
14 21 22
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ¬ ∅ ∈ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ↔ ∀ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∀ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) ≠ ∅ ) ) |
| 24 |
1
|
neisspw |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ⊆ 𝒫 𝑋 ) |
| 25 |
1
|
neisspw |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ⊆ 𝒫 𝑋 ) |
| 26 |
24 25
|
unssd |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ⊆ 𝒫 𝑋 ) |
| 27 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ⊆ 𝒫 𝑋 ) |
| 28 |
27
|
a1d |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ¬ ∅ ∈ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) → ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ⊆ 𝒫 𝑋 ) ) |
| 29 |
|
ssun1 |
⊢ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ⊆ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) |
| 30 |
|
filn0 |
⊢ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ≠ ∅ ) |
| 31 |
12 30
|
syl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ≠ ∅ ) |
| 32 |
|
ssn0 |
⊢ ( ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ⊆ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ∧ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ≠ ∅ ) → ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) |
| 33 |
29 31 32
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) |
| 34 |
33
|
a1d |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ¬ ∅ ∈ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) → ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ) |
| 35 |
|
idd |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ¬ ∅ ∈ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) → ¬ ∅ ∈ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) |
| 36 |
28 34 35
|
3jcad |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ¬ ∅ ∈ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) → ( ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) |
| 37 |
1
|
topopn |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽 ) |
| 38 |
37
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐽 ) |
| 39 |
|
fsubbas |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐽 → ( ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ↔ ( ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) |
| 40 |
38 39
|
syl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ↔ ( ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) |
| 41 |
|
fgcl |
⊢ ( ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) → ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ) |
| 42 |
41
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ) |
| 43 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → 𝑧 ≠ 𝑤 ) |
| 44 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → 𝑧 ∈ 𝑋 ) |
| 45 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ 𝑋 ) |
| 46 |
|
fvex |
⊢ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∈ V |
| 47 |
|
fvex |
⊢ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ∈ V |
| 48 |
46 47
|
unex |
⊢ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ∈ V |
| 49 |
|
ssfii |
⊢ ( ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ∈ V → ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ⊆ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) |
| 50 |
48 49
|
ax-mp |
⊢ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ⊆ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) |
| 51 |
|
ssfg |
⊢ ( ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) → ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ⊆ ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) |
| 52 |
51
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ⊆ ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) |
| 53 |
50 52
|
sstrid |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ⊆ ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) |
| 54 |
29 53
|
sstrid |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ⊆ ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) |
| 55 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ) |
| 56 |
|
elflim |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ⊆ ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) ) |
| 57 |
55 42 56
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ⊆ ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) ) |
| 58 |
44 54 57
|
mpbir2and |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) |
| 59 |
53
|
unssbd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ⊆ ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) |
| 60 |
|
elflim |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑤 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ↔ ( 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ⊆ ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) ) |
| 61 |
55 42 60
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑤 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ↔ ( 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ⊆ ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) ) |
| 62 |
45 59 61
|
mpbir2and |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) |
| 63 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) ) |
| 64 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑥 = 𝑤 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ↔ 𝑤 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) ) |
| 65 |
63 64
|
moi |
⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) ) → 𝑧 = 𝑤 ) |
| 66 |
65
|
3com23 |
⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) ∧ ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) → 𝑧 = 𝑤 ) |
| 67 |
66
|
3expia |
⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) ) → ( ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) → 𝑧 = 𝑤 ) ) |
| 68 |
44 45 58 62 67
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → ( ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) → 𝑧 = 𝑤 ) ) |
| 69 |
68
|
necon3ad |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑧 ≠ 𝑤 → ¬ ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) ) |
| 70 |
43 69
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → ¬ ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) |
| 71 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑓 ) = ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) |
| 72 |
71
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) ) |
| 73 |
72
|
mobidv |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) → ( ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ↔ ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) ) |
| 74 |
73
|
notbid |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) → ( ¬ ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ↔ ¬ ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) ) |
| 75 |
74
|
rspcev |
⊢ ( ( ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ¬ ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim ( 𝑋 filGen ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ¬ ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) |
| 76 |
42 70 75
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ¬ ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) |
| 77 |
76
|
ex |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ∈ ( fBas ‘ 𝑋 ) → ∃ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ¬ ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) |
| 78 |
40 77
|
sylbird |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ( ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ¬ ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) |
| 79 |
36 78
|
syld |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ¬ ∅ ∈ ( fi ‘ ( ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∪ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ¬ ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) |
| 80 |
23 79
|
sylbird |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ∀ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∀ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) ≠ ∅ → ∃ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ¬ ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) |
| 81 |
|
df-ne |
⊢ ( ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) ≠ ∅ ↔ ¬ ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ ) |
| 82 |
81
|
ralbii |
⊢ ( ∀ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) ≠ ∅ ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ¬ ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ ) |
| 83 |
|
ralnex |
⊢ ( ∀ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ¬ ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ ↔ ¬ ∃ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ ) |
| 84 |
82 83
|
bitri |
⊢ ( ∀ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ ) |
| 85 |
84
|
ralbii |
⊢ ( ∀ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∀ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) ≠ ∅ ↔ ∀ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ¬ ∃ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ ) |
| 86 |
|
ralnex |
⊢ ( ∀ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ¬ ∃ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ ↔ ¬ ∃ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ ) |
| 87 |
85 86
|
bitri |
⊢ ( ∀ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∀ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ ) |
| 88 |
|
rexnal |
⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ¬ ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ↔ ¬ ∀ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) |
| 89 |
80 87 88
|
3imtr3g |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ¬ ∃ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ → ¬ ∀ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) |
| 90 |
89
|
con4d |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ( ∀ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) → ∃ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ ) ) |
| 91 |
90
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ ) |
| 92 |
91
|
an32s |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑤 ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ ) |
| 93 |
92
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑧 ≠ 𝑤 → ∃ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ ) ) |
| 94 |
93
|
ralrimivva |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( 𝑧 ≠ 𝑤 → ∃ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ ) ) |
| 95 |
6
|
birani |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ) |
| 96 |
|
hausnei2 |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ( 𝐽 ∈ Haus ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( 𝑧 ≠ 𝑤 → ∃ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ ) ) ) |
| 97 |
95 96
|
syl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) → ( 𝐽 ∈ Haus ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( 𝑧 ≠ 𝑤 → ∃ 𝑢 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑧 } ) ∃ 𝑣 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑤 } ) ( 𝑢 ∩ 𝑣 ) = ∅ ) ) ) |
| 98 |
94 97
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) → 𝐽 ∈ Haus ) |
| 99 |
5 98
|
impbii |
⊢ ( 𝐽 ∈ Haus ↔ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∃* 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) |