Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lbspropd.b1 |
โข ( ๐ โ ๐ต = ( Base โ ๐พ ) ) |
2 |
|
lbspropd.b2 |
โข ( ๐ โ ๐ต = ( Base โ ๐ฟ ) ) |
3 |
|
lbspropd.w |
โข ( ๐ โ ๐ต โ ๐ ) |
4 |
|
lbspropd.p |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐ ) ) โ ( ๐ฅ ( +g โ ๐พ ) ๐ฆ ) = ( ๐ฅ ( +g โ ๐ฟ ) ๐ฆ ) ) |
5 |
|
lbspropd.s1 |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐ต ) ) โ ( ๐ฅ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ฆ ) โ ๐ ) |
6 |
|
lbspropd.s2 |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐ต ) ) โ ( ๐ฅ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ฆ ) = ( ๐ฅ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ฆ ) ) |
7 |
|
lbspropd.f |
โข ๐น = ( Scalar โ ๐พ ) |
8 |
|
lbspropd.g |
โข ๐บ = ( Scalar โ ๐ฟ ) |
9 |
|
lbspropd.p1 |
โข ( ๐ โ ๐ = ( Base โ ๐น ) ) |
10 |
|
lbspropd.p2 |
โข ( ๐ โ ๐ = ( Base โ ๐บ ) ) |
11 |
|
lbspropd.a |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐ ) ) โ ( ๐ฅ ( +g โ ๐น ) ๐ฆ ) = ( ๐ฅ ( +g โ ๐บ ) ๐ฆ ) ) |
12 |
|
lbspropd.v1 |
โข ( ๐ โ ๐พ โ ๐ ) |
13 |
|
lbspropd.v2 |
โข ( ๐ โ ๐ฟ โ ๐ ) |
14 |
|
simplll |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โง ๐ฃ โ ( ๐ โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ) โ ๐ ) |
15 |
|
eldifi |
โข ( ๐ฃ โ ( ๐ โ { ( 0g โ ๐น ) } ) โ ๐ฃ โ ๐ ) |
16 |
15
|
adantl |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โง ๐ฃ โ ( ๐ โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ) โ ๐ฃ โ ๐ ) |
17 |
|
simpr |
โข ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โ ๐ง โ ๐ต ) |
18 |
17
|
sselda |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โ ๐ข โ ๐ต ) |
19 |
18
|
adantr |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โง ๐ฃ โ ( ๐ โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ) โ ๐ข โ ๐ต ) |
20 |
6
|
oveqrspc2v |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ฃ โ ๐ โง ๐ข โ ๐ต ) ) โ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) = ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) ) |
21 |
14 16 19 20
|
syl12anc |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โง ๐ฃ โ ( ๐ โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ) โ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) = ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) ) |
22 |
7
|
fveq2i |
โข ( Base โ ๐น ) = ( Base โ ( Scalar โ ๐พ ) ) |
23 |
9 22
|
eqtrdi |
โข ( ๐ โ ๐ = ( Base โ ( Scalar โ ๐พ ) ) ) |
24 |
8
|
fveq2i |
โข ( Base โ ๐บ ) = ( Base โ ( Scalar โ ๐ฟ ) ) |
25 |
10 24
|
eqtrdi |
โข ( ๐ โ ๐ = ( Base โ ( Scalar โ ๐ฟ ) ) ) |
26 |
1 2 3 4 5 6 23 25 12 13
|
lsppropd |
โข ( ๐ โ ( LSpan โ ๐พ ) = ( LSpan โ ๐ฟ ) ) |
27 |
14 26
|
syl |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โง ๐ฃ โ ( ๐ โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ) โ ( LSpan โ ๐พ ) = ( LSpan โ ๐ฟ ) ) |
28 |
27
|
fveq1d |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โง ๐ฃ โ ( ๐ โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) = ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) |
29 |
21 28
|
eleq12d |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โง ๐ฃ โ ( ๐ โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ) โ ( ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) โ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) |
30 |
29
|
notbid |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โง ๐ฃ โ ( ๐ โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ) โ ( ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) โ ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) |
31 |
30
|
ralbidva |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โ ( โ ๐ฃ โ ( ๐ โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) โ โ ๐ฃ โ ( ๐ โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) |
32 |
9
|
ad2antrr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โ ๐ = ( Base โ ๐น ) ) |
33 |
32
|
difeq1d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โ ( ๐ โ { ( 0g โ ๐น ) } ) = ( ( Base โ ๐น ) โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ) |
34 |
33
|
raleqdv |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โ ( โ ๐ฃ โ ( ๐ โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) โ โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐น ) โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) |
35 |
10
|
ad2antrr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โ ๐ = ( Base โ ๐บ ) ) |
36 |
9 10 11
|
grpidpropd |
โข ( ๐ โ ( 0g โ ๐น ) = ( 0g โ ๐บ ) ) |
37 |
36
|
ad2antrr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โ ( 0g โ ๐น ) = ( 0g โ ๐บ ) ) |
38 |
37
|
sneqd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โ { ( 0g โ ๐น ) } = { ( 0g โ ๐บ ) } ) |
39 |
35 38
|
difeq12d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โ ( ๐ โ { ( 0g โ ๐น ) } ) = ( ( Base โ ๐บ ) โ { ( 0g โ ๐บ ) } ) ) |
40 |
39
|
raleqdv |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โ ( โ ๐ฃ โ ( ๐ โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) โ โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐บ ) โ { ( 0g โ ๐บ ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) |
41 |
31 34 40
|
3bitr3d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โง ๐ข โ ๐ง ) โ ( โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐น ) โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) โ โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐บ ) โ { ( 0g โ ๐บ ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) |
42 |
41
|
ralbidva |
โข ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โ ( โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐น ) โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) โ โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐บ ) โ { ( 0g โ ๐บ ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) |
43 |
42
|
anbi2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ต ) โ ( ( ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐พ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐น ) โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) โ ( ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐พ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐บ ) โ { ( 0g โ ๐บ ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) ) |
44 |
43
|
pm5.32da |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ง โ ๐ต โง ( ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐พ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐น ) โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) โ ( ๐ง โ ๐ต โง ( ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐พ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐บ ) โ { ( 0g โ ๐บ ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) ) ) |
45 |
1
|
sseq2d |
โข ( ๐ โ ( ๐ง โ ๐ต โ ๐ง โ ( Base โ ๐พ ) ) ) |
46 |
45
|
anbi1d |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ง โ ๐ต โง ( ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐พ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐น ) โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) โ ( ๐ง โ ( Base โ ๐พ ) โง ( ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐พ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐น ) โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) ) ) |
47 |
2
|
sseq2d |
โข ( ๐ โ ( ๐ง โ ๐ต โ ๐ง โ ( Base โ ๐ฟ ) ) ) |
48 |
26
|
fveq1d |
โข ( ๐ โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ๐ง ) = ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ๐ง ) ) |
49 |
1 2
|
eqtr3d |
โข ( ๐ โ ( Base โ ๐พ ) = ( Base โ ๐ฟ ) ) |
50 |
48 49
|
eqeq12d |
โข ( ๐ โ ( ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐พ ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐ฟ ) ) ) |
51 |
50
|
anbi1d |
โข ( ๐ โ ( ( ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐พ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐บ ) โ { ( 0g โ ๐บ ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) โ ( ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐ฟ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐บ ) โ { ( 0g โ ๐บ ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) ) |
52 |
47 51
|
anbi12d |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ง โ ๐ต โง ( ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐พ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐บ ) โ { ( 0g โ ๐บ ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) โ ( ๐ง โ ( Base โ ๐ฟ ) โง ( ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐ฟ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐บ ) โ { ( 0g โ ๐บ ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) ) ) |
53 |
44 46 52
|
3bitr3d |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ง โ ( Base โ ๐พ ) โง ( ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐พ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐น ) โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) โ ( ๐ง โ ( Base โ ๐ฟ ) โง ( ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐ฟ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐บ ) โ { ( 0g โ ๐บ ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) ) ) |
54 |
|
3anass |
โข ( ( ๐ง โ ( Base โ ๐พ ) โง ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐พ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐น ) โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) โ ( ๐ง โ ( Base โ ๐พ ) โง ( ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐พ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐น ) โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) ) |
55 |
|
3anass |
โข ( ( ๐ง โ ( Base โ ๐ฟ ) โง ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐ฟ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐บ ) โ { ( 0g โ ๐บ ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) โ ( ๐ง โ ( Base โ ๐ฟ ) โง ( ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐ฟ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐บ ) โ { ( 0g โ ๐บ ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) ) |
56 |
53 54 55
|
3bitr4g |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ง โ ( Base โ ๐พ ) โง ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐พ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐น ) โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) โ ( ๐ง โ ( Base โ ๐ฟ ) โง ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐ฟ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐บ ) โ { ( 0g โ ๐บ ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) ) |
57 |
|
eqid |
โข ( Base โ ๐พ ) = ( Base โ ๐พ ) |
58 |
|
eqid |
โข ( ยท๐ โ ๐พ ) = ( ยท๐ โ ๐พ ) |
59 |
|
eqid |
โข ( Base โ ๐น ) = ( Base โ ๐น ) |
60 |
|
eqid |
โข ( LBasis โ ๐พ ) = ( LBasis โ ๐พ ) |
61 |
|
eqid |
โข ( LSpan โ ๐พ ) = ( LSpan โ ๐พ ) |
62 |
|
eqid |
โข ( 0g โ ๐น ) = ( 0g โ ๐น ) |
63 |
57 7 58 59 60 61 62
|
islbs |
โข ( ๐พ โ ๐ โ ( ๐ง โ ( LBasis โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ ( Base โ ๐พ ) โง ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐พ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐น ) โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) ) |
64 |
12 63
|
syl |
โข ( ๐ โ ( ๐ง โ ( LBasis โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ ( Base โ ๐พ ) โง ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐พ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐น ) โ { ( 0g โ ๐น ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐พ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) ) |
65 |
|
eqid |
โข ( Base โ ๐ฟ ) = ( Base โ ๐ฟ ) |
66 |
|
eqid |
โข ( ยท๐ โ ๐ฟ ) = ( ยท๐ โ ๐ฟ ) |
67 |
|
eqid |
โข ( Base โ ๐บ ) = ( Base โ ๐บ ) |
68 |
|
eqid |
โข ( LBasis โ ๐ฟ ) = ( LBasis โ ๐ฟ ) |
69 |
|
eqid |
โข ( LSpan โ ๐ฟ ) = ( LSpan โ ๐ฟ ) |
70 |
|
eqid |
โข ( 0g โ ๐บ ) = ( 0g โ ๐บ ) |
71 |
65 8 66 67 68 69 70
|
islbs |
โข ( ๐ฟ โ ๐ โ ( ๐ง โ ( LBasis โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ ( Base โ ๐ฟ ) โง ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐ฟ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐บ ) โ { ( 0g โ ๐บ ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) ) |
72 |
13 71
|
syl |
โข ( ๐ โ ( ๐ง โ ( LBasis โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ ( Base โ ๐ฟ ) โง ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ๐ง ) = ( Base โ ๐ฟ ) โง โ ๐ข โ ๐ง โ ๐ฃ โ ( ( Base โ ๐บ ) โ { ( 0g โ ๐บ ) } ) ยฌ ( ๐ฃ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ข ) โ ( ( LSpan โ ๐ฟ ) โ ( ๐ง โ { ๐ข } ) ) ) ) ) |
73 |
56 64 72
|
3bitr4d |
โข ( ๐ โ ( ๐ง โ ( LBasis โ ๐พ ) โ ๐ง โ ( LBasis โ ๐ฟ ) ) ) |
74 |
73
|
eqrdv |
โข ( ๐ โ ( LBasis โ ๐พ ) = ( LBasis โ ๐ฟ ) ) |