Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑁 → ( 5 < 𝑚 ↔ 5 < 𝑁 ) ) |
2 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑁 → ( 𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOddW ) ) |
3 |
1 2
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑁 → ( ( 5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ ( 5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ) ) ) |
4 |
3
|
rspcv |
⊢ ( 𝑁 ∈ Odd → ( ∀ 𝑚 ∈ Odd ( 5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ( 5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ) ) ) |
5 |
4
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 6 ) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ( ∀ 𝑚 ∈ Odd ( 5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ( 5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ) ) ) |
6 |
|
eluz2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 6 ) ↔ ( 6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁 ) ) |
7 |
|
5lt6 |
⊢ 5 < 6 |
8 |
|
5re |
⊢ 5 ∈ ℝ |
9 |
8
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 5 ∈ ℝ ) |
10 |
|
6re |
⊢ 6 ∈ ℝ |
11 |
10
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 6 ∈ ℝ ) |
12 |
|
zre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
13 |
|
ltletr |
⊢ ( ( 5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( ( 5 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁 ) → 5 < 𝑁 ) ) |
14 |
9 11 12 13
|
syl3anc |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 5 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁 ) → 5 < 𝑁 ) ) |
15 |
7 14
|
mpani |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 6 ≤ 𝑁 → 5 < 𝑁 ) ) |
16 |
15
|
imp |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁 ) → 5 < 𝑁 ) |
17 |
16
|
3adant1 |
⊢ ( ( 6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁 ) → 5 < 𝑁 ) |
18 |
6 17
|
sylbi |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 6 ) → 5 < 𝑁 ) |
19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 6 ) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → 5 < 𝑁 ) |
20 |
|
pm2.27 |
⊢ ( 5 < 𝑁 → ( ( 5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ) ) |
21 |
19 20
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 6 ) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ( ( 5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ) ) |
22 |
|
isgbow |
⊢ ( 𝑁 ∈ GoldbachOddW ↔ ( 𝑁 ∈ Odd ∧ ∃ 𝑝 ∈ ℙ ∃ 𝑞 ∈ ℙ ∃ 𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ( ( 𝑝 + 𝑞 ) + 𝑟 ) ) ) |
23 |
|
1ex |
⊢ 1 ∈ V |
24 |
|
2ex |
⊢ 2 ∈ V |
25 |
|
3ex |
⊢ 3 ∈ V |
26 |
|
vex |
⊢ 𝑝 ∈ V |
27 |
|
vex |
⊢ 𝑞 ∈ V |
28 |
|
vex |
⊢ 𝑟 ∈ V |
29 |
|
1ne2 |
⊢ 1 ≠ 2 |
30 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
31 |
|
1lt3 |
⊢ 1 < 3 |
32 |
30 31
|
ltneii |
⊢ 1 ≠ 3 |
33 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
34 |
|
2lt3 |
⊢ 2 < 3 |
35 |
33 34
|
ltneii |
⊢ 2 ≠ 3 |
36 |
23 24 25 26 27 28 29 32 35
|
ftp |
⊢ { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } : { 1 , 2 , 3 } ⟶ { 𝑝 , 𝑞 , 𝑟 } |
37 |
36
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } : { 1 , 2 , 3 } ⟶ { 𝑝 , 𝑞 , 𝑟 } ) |
38 |
|
1p2e3 |
⊢ ( 1 + 2 ) = 3 |
39 |
38
|
eqcomi |
⊢ 3 = ( 1 + 2 ) |
40 |
39
|
oveq2i |
⊢ ( 1 ... 3 ) = ( 1 ... ( 1 + 2 ) ) |
41 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
42 |
|
fztp |
⊢ ( 1 ∈ ℤ → ( 1 ... ( 1 + 2 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) , ( 1 + 2 ) } ) |
43 |
41 42
|
ax-mp |
⊢ ( 1 ... ( 1 + 2 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) , ( 1 + 2 ) } |
44 |
|
eqid |
⊢ 1 = 1 |
45 |
|
id |
⊢ ( 1 = 1 → 1 = 1 ) |
46 |
|
1p1e2 |
⊢ ( 1 + 1 ) = 2 |
47 |
46
|
a1i |
⊢ ( 1 = 1 → ( 1 + 1 ) = 2 ) |
48 |
38
|
a1i |
⊢ ( 1 = 1 → ( 1 + 2 ) = 3 ) |
49 |
45 47 48
|
tpeq123d |
⊢ ( 1 = 1 → { 1 , ( 1 + 1 ) , ( 1 + 2 ) } = { 1 , 2 , 3 } ) |
50 |
44 49
|
ax-mp |
⊢ { 1 , ( 1 + 1 ) , ( 1 + 2 ) } = { 1 , 2 , 3 } |
51 |
40 43 50
|
3eqtri |
⊢ ( 1 ... 3 ) = { 1 , 2 , 3 } |
52 |
51
|
feq2i |
⊢ ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } : ( 1 ... 3 ) ⟶ { 𝑝 , 𝑞 , 𝑟 } ↔ { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } : { 1 , 2 , 3 } ⟶ { 𝑝 , 𝑞 , 𝑟 } ) |
53 |
37 52
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } : ( 1 ... 3 ) ⟶ { 𝑝 , 𝑞 , 𝑟 } ) |
54 |
|
df-3an |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) ↔ ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) ) |
55 |
26 27 28
|
tpss |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) ↔ { 𝑝 , 𝑞 , 𝑟 } ⊆ ℙ ) |
56 |
54 55
|
sylbb1 |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → { 𝑝 , 𝑞 , 𝑟 } ⊆ ℙ ) |
57 |
53 56
|
fssd |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } : ( 1 ... 3 ) ⟶ ℙ ) |
58 |
|
prmex |
⊢ ℙ ∈ V |
59 |
|
ovex |
⊢ ( 1 ... 3 ) ∈ V |
60 |
58 59
|
pm3.2i |
⊢ ( ℙ ∈ V ∧ ( 1 ... 3 ) ∈ V ) |
61 |
|
elmapg |
⊢ ( ( ℙ ∈ V ∧ ( 1 ... 3 ) ∈ V ) → ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ∈ ( ℙ ↑m ( 1 ... 3 ) ) ↔ { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } : ( 1 ... 3 ) ⟶ ℙ ) ) |
62 |
60 61
|
mp1i |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ∈ ( ℙ ↑m ( 1 ... 3 ) ) ↔ { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } : ( 1 ... 3 ) ⟶ ℙ ) ) |
63 |
57 62
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ∈ ( ℙ ↑m ( 1 ... 3 ) ) ) |
64 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑓 = { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } → ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) = ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 𝑘 ) ) |
65 |
64
|
sumeq2sdv |
⊢ ( 𝑓 = { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 𝑘 ) ) |
66 |
65
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑓 = { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } → ( ( ( 𝑝 + 𝑞 ) + 𝑟 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ↔ ( ( 𝑝 + 𝑞 ) + 𝑟 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 𝑘 ) ) ) |
67 |
66
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) ∧ 𝑓 = { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ) → ( ( ( 𝑝 + 𝑞 ) + 𝑟 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ↔ ( ( 𝑝 + 𝑞 ) + 𝑟 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 𝑘 ) ) ) |
68 |
51
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → ( 1 ... 3 ) = { 1 , 2 , 3 } ) |
69 |
68
|
sumeq1d |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ { 1 , 2 , 3 } ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 𝑘 ) ) |
70 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 𝑘 ) = ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 1 ) ) |
71 |
23 26
|
fvtp1 |
⊢ ( ( 1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3 ) → ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 1 ) = 𝑝 ) |
72 |
29 32 71
|
mp2an |
⊢ ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 1 ) = 𝑝 |
73 |
70 72
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 𝑘 ) = 𝑝 ) |
74 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 2 → ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 𝑘 ) = ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 2 ) ) |
75 |
24 27
|
fvtp2 |
⊢ ( ( 1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3 ) → ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 2 ) = 𝑞 ) |
76 |
29 35 75
|
mp2an |
⊢ ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 2 ) = 𝑞 |
77 |
74 76
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 = 2 → ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 𝑘 ) = 𝑞 ) |
78 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 3 → ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 𝑘 ) = ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 3 ) ) |
79 |
25 28
|
fvtp3 |
⊢ ( ( 1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3 ) → ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 3 ) = 𝑟 ) |
80 |
32 35 79
|
mp2an |
⊢ ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 3 ) = 𝑟 |
81 |
78 80
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 = 3 → ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 𝑘 ) = 𝑟 ) |
82 |
|
prmz |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ ) |
83 |
82
|
zcnd |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ ) |
84 |
|
prmz |
⊢ ( 𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ ) |
85 |
84
|
zcnd |
⊢ ( 𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ ) |
86 |
|
prmz |
⊢ ( 𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ ) |
87 |
86
|
zcnd |
⊢ ( 𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℂ ) |
88 |
83 85 87
|
3anim123i |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) ) |
89 |
88
|
3expa |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) ) |
90 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
91 |
|
3z |
⊢ 3 ∈ ℤ |
92 |
41 90 91
|
3pm3.2i |
⊢ ( 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ) |
93 |
92
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → ( 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ) ) |
94 |
29
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → 1 ≠ 2 ) |
95 |
32
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → 1 ≠ 3 ) |
96 |
35
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → 2 ≠ 3 ) |
97 |
73 77 81 89 93 94 95 96
|
sumtp |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → Σ 𝑘 ∈ { 1 , 2 , 3 } ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑝 + 𝑞 ) + 𝑟 ) ) |
98 |
69 97
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑝 + 𝑞 ) + 𝑟 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( { 〈 1 , 𝑝 〉 , 〈 2 , 𝑞 〉 , 〈 3 , 𝑟 〉 } ‘ 𝑘 ) ) |
99 |
63 67 98
|
rspcedvd |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → ∃ 𝑓 ∈ ( ℙ ↑m ( 1 ... 3 ) ) ( ( 𝑝 + 𝑞 ) + 𝑟 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ) |
100 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑁 = ( ( 𝑝 + 𝑞 ) + 𝑟 ) → ( 𝑁 = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ↔ ( ( 𝑝 + 𝑞 ) + 𝑟 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ) ) |
101 |
100
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑁 = ( ( 𝑝 + 𝑞 ) + 𝑟 ) → ( ∃ 𝑓 ∈ ( ℙ ↑m ( 1 ... 3 ) ) 𝑁 = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( ℙ ↑m ( 1 ... 3 ) ) ( ( 𝑝 + 𝑞 ) + 𝑟 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ) ) |
102 |
99 101
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ ) → ( 𝑁 = ( ( 𝑝 + 𝑞 ) + 𝑟 ) → ∃ 𝑓 ∈ ( ℙ ↑m ( 1 ... 3 ) ) 𝑁 = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ) ) |
103 |
102
|
rexlimdva |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ) → ( ∃ 𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ( ( 𝑝 + 𝑞 ) + 𝑟 ) → ∃ 𝑓 ∈ ( ℙ ↑m ( 1 ... 3 ) ) 𝑁 = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ) ) |
104 |
103
|
rexlimivv |
⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ ℙ ∃ 𝑞 ∈ ℙ ∃ 𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ( ( 𝑝 + 𝑞 ) + 𝑟 ) → ∃ 𝑓 ∈ ( ℙ ↑m ( 1 ... 3 ) ) 𝑁 = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ) |
105 |
104
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Odd ∧ ∃ 𝑝 ∈ ℙ ∃ 𝑞 ∈ ℙ ∃ 𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ( ( 𝑝 + 𝑞 ) + 𝑟 ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( ℙ ↑m ( 1 ... 3 ) ) 𝑁 = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ) |
106 |
22 105
|
sylbi |
⊢ ( 𝑁 ∈ GoldbachOddW → ∃ 𝑓 ∈ ( ℙ ↑m ( 1 ... 3 ) ) 𝑁 = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ) |
107 |
106
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 6 ) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ( 𝑁 ∈ GoldbachOddW → ∃ 𝑓 ∈ ( ℙ ↑m ( 1 ... 3 ) ) 𝑁 = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ) ) |
108 |
5 21 107
|
3syld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 6 ) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ( ∀ 𝑚 ∈ Odd ( 5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ∃ 𝑓 ∈ ( ℙ ↑m ( 1 ... 3 ) ) 𝑁 = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ) ) |
109 |
108
|
com12 |
⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ Odd ( 5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 6 ) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃ 𝑓 ∈ ( ℙ ↑m ( 1 ... 3 ) ) 𝑁 = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ) ) |