Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
opsrso.o |
⊢ 𝑂 = ( ( 𝐼 ordPwSer 𝑅 ) ‘ 𝑇 ) |
2 |
|
opsrso.i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉 ) |
3 |
|
opsrso.r |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Toset ) |
4 |
|
opsrso.t |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ⊆ ( 𝐼 × 𝐼 ) ) |
5 |
|
opsrso.w |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 We 𝐼 ) |
6 |
|
opsrtoslem.s |
⊢ 𝑆 = ( 𝐼 mPwSer 𝑅 ) |
7 |
|
opsrtoslem.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑆 ) |
8 |
|
opsrtoslem.q |
⊢ < = ( lt ‘ 𝑅 ) |
9 |
|
opsrtoslem.c |
⊢ 𝐶 = ( 𝑇 <bag 𝐼 ) |
10 |
|
opsrtoslem.d |
⊢ 𝐷 = { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } |
11 |
|
opsrtoslem.ps |
⊢ ( 𝜓 ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐷 ( ( 𝑥 ‘ 𝑧 ) < ( 𝑦 ‘ 𝑧 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝐷 ( 𝑤 𝐶 𝑧 → ( 𝑥 ‘ 𝑤 ) = ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) ) ) ) |
12 |
|
opsrtoslem.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝑂 ) |
13 |
2 2
|
xpexd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 × 𝐼 ) ∈ V ) |
14 |
13 4
|
ssexd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ V ) |
15 |
9 10 2 14 5
|
ltbwe |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 We 𝐷 ) |
16 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 ) |
17 |
|
eqid |
⊢ ( le ‘ 𝑅 ) = ( le ‘ 𝑅 ) |
18 |
16 17 8
|
tosso |
⊢ ( 𝑅 ∈ Toset → ( 𝑅 ∈ Toset ↔ ( < Or ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( I ↾ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ⊆ ( le ‘ 𝑅 ) ) ) ) |
19 |
18
|
ibi |
⊢ ( 𝑅 ∈ Toset → ( < Or ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( I ↾ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ⊆ ( le ‘ 𝑅 ) ) ) |
20 |
3 19
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( < Or ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( I ↾ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ⊆ ( le ‘ 𝑅 ) ) ) |
21 |
20
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → < Or ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
22 |
11
|
opabbii |
⊢ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑧 ∈ 𝐷 ( ( 𝑥 ‘ 𝑧 ) < ( 𝑦 ‘ 𝑧 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝐷 ( 𝑤 𝐶 𝑧 → ( 𝑥 ‘ 𝑤 ) = ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) ) ) } |
23 |
22
|
wemapso |
⊢ ( ( 𝐶 We 𝐷 ∧ < Or ( Base ‘ 𝑅 ) ) → { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } Or ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐷 ) ) |
24 |
15 21 23
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } Or ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐷 ) ) |
25 |
6 16 10 7 2
|
psrbas |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐷 ) ) |
26 |
|
soeq2 |
⊢ ( 𝐵 = ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐷 ) → ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } Or 𝐵 ↔ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } Or ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐷 ) ) ) |
27 |
25 26
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } Or 𝐵 ↔ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } Or ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐷 ) ) ) |
28 |
24 27
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } Or 𝐵 ) |
29 |
|
soinxp |
⊢ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } Or 𝐵 ↔ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) Or 𝐵 ) |
30 |
28 29
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) Or 𝐵 ) |
31 |
1
|
fvexi |
⊢ 𝑂 ∈ V |
32 |
|
eqid |
⊢ ( lt ‘ 𝑂 ) = ( lt ‘ 𝑂 ) |
33 |
12 32
|
pltfval |
⊢ ( 𝑂 ∈ V → ( lt ‘ 𝑂 ) = ( ≤ ∖ I ) ) |
34 |
31 33
|
ax-mp |
⊢ ( lt ‘ 𝑂 ) = ( ≤ ∖ I ) |
35 |
|
difundir |
⊢ ( ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∪ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∖ I ) = ( ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∖ I ) ∪ ( ( I ↾ 𝐵 ) ∖ I ) ) |
36 |
|
resss |
⊢ ( I ↾ 𝐵 ) ⊆ I |
37 |
|
ssdif0 |
⊢ ( ( I ↾ 𝐵 ) ⊆ I ↔ ( ( I ↾ 𝐵 ) ∖ I ) = ∅ ) |
38 |
36 37
|
mpbi |
⊢ ( ( I ↾ 𝐵 ) ∖ I ) = ∅ |
39 |
38
|
uneq2i |
⊢ ( ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∖ I ) ∪ ( ( I ↾ 𝐵 ) ∖ I ) ) = ( ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∖ I ) ∪ ∅ ) |
40 |
|
un0 |
⊢ ( ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∖ I ) ∪ ∅ ) = ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∖ I ) |
41 |
35 39 40
|
3eqtri |
⊢ ( ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∪ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∖ I ) = ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∖ I ) |
42 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
opsrtoslem1 |
⊢ ( 𝜑 → ≤ = ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∪ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) |
43 |
42
|
difeq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ≤ ∖ I ) = ( ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∪ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∖ I ) ) |
44 |
|
relinxp |
⊢ Rel ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) |
45 |
44
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → Rel ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ) |
46 |
|
df-br |
⊢ ( 𝑎 I 𝑏 ↔ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ I ) |
47 |
|
vex |
⊢ 𝑏 ∈ V |
48 |
47
|
ideq |
⊢ ( 𝑎 I 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏 ) |
49 |
46 48
|
bitr3i |
⊢ ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ I ↔ 𝑎 = 𝑏 ) |
50 |
|
brin |
⊢ ( 𝑎 ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑎 ↔ ( 𝑎 { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } 𝑎 ∧ 𝑎 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑎 ) ) |
51 |
50
|
simprbi |
⊢ ( 𝑎 ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑎 → 𝑎 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑎 ) |
52 |
|
brxp |
⊢ ( 𝑎 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑎 ↔ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ) |
53 |
52
|
simprbi |
⊢ ( 𝑎 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐵 ) |
54 |
51 53
|
syl |
⊢ ( 𝑎 ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐵 ) |
55 |
|
sonr |
⊢ ( ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) Or 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ¬ 𝑎 ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑎 ) |
56 |
55
|
ex |
⊢ ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) Or 𝐵 → ( 𝑎 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑎 ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑎 ) ) |
57 |
30 54 56
|
syl2im |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑎 ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑎 → ¬ 𝑎 ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑎 ) ) |
58 |
57
|
pm2.01d |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑎 ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑎 ) |
59 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑎 = 𝑏 → ( 𝑎 ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑎 ↔ 𝑎 ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑏 ) ) |
60 |
|
df-br |
⊢ ( 𝑎 ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑏 ↔ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ) |
61 |
59 60
|
bitrdi |
⊢ ( 𝑎 = 𝑏 → ( 𝑎 ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑎 ↔ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ) ) |
62 |
61
|
notbid |
⊢ ( 𝑎 = 𝑏 → ( ¬ 𝑎 ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑎 ↔ ¬ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ) ) |
63 |
58 62
|
syl5ibcom |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑎 = 𝑏 → ¬ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ) ) |
64 |
49 63
|
syl5bi |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ I → ¬ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ) ) |
65 |
64
|
con2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) → ¬ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ I ) ) |
66 |
|
opex |
⊢ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ V |
67 |
|
eldif |
⊢ ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( V ∖ I ) ↔ ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ V ∧ ¬ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ I ) ) |
68 |
66 67
|
mpbiran |
⊢ ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( V ∖ I ) ↔ ¬ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ I ) |
69 |
65 68
|
syl6ibr |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) → 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( V ∖ I ) ) ) |
70 |
45 69
|
relssdv |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ⊆ ( V ∖ I ) ) |
71 |
|
disj2 |
⊢ ( ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∩ I ) = ∅ ↔ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ⊆ ( V ∖ I ) ) |
72 |
70 71
|
sylibr |
⊢ ( 𝜑 → ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∩ I ) = ∅ ) |
73 |
|
disj3 |
⊢ ( ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∩ I ) = ∅ ↔ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) = ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∖ I ) ) |
74 |
72 73
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) = ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∖ I ) ) |
75 |
41 43 74
|
3eqtr4a |
⊢ ( 𝜑 → ( ≤ ∖ I ) = ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ) |
76 |
34 75
|
syl5eq |
⊢ ( 𝜑 → ( lt ‘ 𝑂 ) = ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ) |
77 |
|
soeq1 |
⊢ ( ( lt ‘ 𝑂 ) = ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) → ( ( lt ‘ 𝑂 ) Or 𝐵 ↔ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) Or 𝐵 ) ) |
78 |
76 77
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( lt ‘ 𝑂 ) Or 𝐵 ↔ ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) Or 𝐵 ) ) |
79 |
30 78
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( lt ‘ 𝑂 ) Or 𝐵 ) |
80 |
6 1 4
|
opsrbas |
⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ 𝑆 ) = ( Base ‘ 𝑂 ) ) |
81 |
7 80
|
syl5eq |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( Base ‘ 𝑂 ) ) |
82 |
|
soeq2 |
⊢ ( 𝐵 = ( Base ‘ 𝑂 ) → ( ( lt ‘ 𝑂 ) Or 𝐵 ↔ ( lt ‘ 𝑂 ) Or ( Base ‘ 𝑂 ) ) ) |
83 |
81 82
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( lt ‘ 𝑂 ) Or 𝐵 ↔ ( lt ‘ 𝑂 ) Or ( Base ‘ 𝑂 ) ) ) |
84 |
79 83
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( lt ‘ 𝑂 ) Or ( Base ‘ 𝑂 ) ) |
85 |
81
|
reseq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( I ↾ 𝐵 ) = ( I ↾ ( Base ‘ 𝑂 ) ) ) |
86 |
|
ssun2 |
⊢ ( I ↾ 𝐵 ) ⊆ ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∪ ( I ↾ 𝐵 ) ) |
87 |
85 86
|
eqsstrrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( I ↾ ( Base ‘ 𝑂 ) ) ⊆ ( ( { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) ∪ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) |
88 |
87 42
|
sseqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( I ↾ ( Base ‘ 𝑂 ) ) ⊆ ≤ ) |
89 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝑂 ) = ( Base ‘ 𝑂 ) |
90 |
89 12 32
|
tosso |
⊢ ( 𝑂 ∈ V → ( 𝑂 ∈ Toset ↔ ( ( lt ‘ 𝑂 ) Or ( Base ‘ 𝑂 ) ∧ ( I ↾ ( Base ‘ 𝑂 ) ) ⊆ ≤ ) ) ) |
91 |
31 90
|
ax-mp |
⊢ ( 𝑂 ∈ Toset ↔ ( ( lt ‘ 𝑂 ) Or ( Base ‘ 𝑂 ) ∧ ( I ↾ ( Base ‘ 𝑂 ) ) ⊆ ≤ ) ) |
92 |
84 88 91
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑂 ∈ Toset ) |