Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) |
2 |
|
retopon |
⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ ( TopOn ‘ ℝ ) |
3 |
2
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ ( TopOn ‘ ℝ ) ) |
4 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝐴 ⊆ ℝ ) |
5 |
|
iooretop |
⊢ ( -∞ (,) 𝑧 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) |
6 |
5
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( -∞ (,) 𝑧 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ) |
7 |
|
iooretop |
⊢ ( 𝑧 (,) +∞ ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) |
8 |
7
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 (,) +∞ ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ) |
9 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐴 ) |
10 |
4 9
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
11 |
10
|
mnfltd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → -∞ < 𝑋 ) |
12 |
|
eldifn |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴 ) |
13 |
12
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴 ) |
14 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑋 = 𝑧 → ( 𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) |
15 |
9 14
|
syl5ibcom |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝑋 = 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) |
16 |
13 15
|
mtod |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ¬ 𝑋 = 𝑧 ) |
17 |
|
eldifi |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) |
18 |
17
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) |
19 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐴 ) |
20 |
4 19
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝑌 ∈ ℝ ) |
21 |
|
elicc2 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌 ) ) ) |
22 |
10 20 21
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌 ) ) ) |
23 |
18 22
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌 ) ) |
24 |
23
|
simp2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝑋 ≤ 𝑧 ) |
25 |
23
|
simp1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝑧 ∈ ℝ ) |
26 |
10 25
|
leloed |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝑧 ↔ ( 𝑋 < 𝑧 ∨ 𝑋 = 𝑧 ) ) ) |
27 |
24 26
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝑋 < 𝑧 ∨ 𝑋 = 𝑧 ) ) |
28 |
27
|
ord |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( ¬ 𝑋 < 𝑧 → 𝑋 = 𝑧 ) ) |
29 |
16 28
|
mt3d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝑋 < 𝑧 ) |
30 |
|
mnfxr |
⊢ -∞ ∈ ℝ* |
31 |
25
|
rexrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝑧 ∈ ℝ* ) |
32 |
|
elioo2 |
⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ) → ( 𝑋 ∈ ( -∞ (,) 𝑧 ) ↔ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝑧 ) ) ) |
33 |
30 31 32
|
sylancr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝑋 ∈ ( -∞ (,) 𝑧 ) ↔ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝑧 ) ) ) |
34 |
10 11 29 33
|
mpbir3and |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝑋 ∈ ( -∞ (,) 𝑧 ) ) |
35 |
|
inelcm |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ( -∞ (,) 𝑧 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ) → ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∩ 𝐴 ) ≠ ∅ ) |
36 |
34 9 35
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∩ 𝐴 ) ≠ ∅ ) |
37 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) |
38 |
19 37
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 = 𝑌 → 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) |
39 |
13 38
|
mtod |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ¬ 𝑧 = 𝑌 ) |
40 |
23
|
simp3d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝑧 ≤ 𝑌 ) |
41 |
25 20
|
leloed |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 ≤ 𝑌 ↔ ( 𝑧 < 𝑌 ∨ 𝑧 = 𝑌 ) ) ) |
42 |
40 41
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 < 𝑌 ∨ 𝑧 = 𝑌 ) ) |
43 |
42
|
ord |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( ¬ 𝑧 < 𝑌 → 𝑧 = 𝑌 ) ) |
44 |
39 43
|
mt3d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝑧 < 𝑌 ) |
45 |
20
|
ltpnfd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝑌 < +∞ ) |
46 |
|
pnfxr |
⊢ +∞ ∈ ℝ* |
47 |
|
elioo2 |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) → ( 𝑌 ∈ ( 𝑧 (,) +∞ ) ↔ ( 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑌 ∧ 𝑌 < +∞ ) ) ) |
48 |
31 46 47
|
sylancl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝑌 ∈ ( 𝑧 (,) +∞ ) ↔ ( 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑌 ∧ 𝑌 < +∞ ) ) ) |
49 |
20 44 45 48
|
mpbir3and |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝑌 ∈ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) |
50 |
|
inelcm |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ ( 𝑧 (,) +∞ ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑧 (,) +∞ ) ∩ 𝐴 ) ≠ ∅ ) |
51 |
49 19 50
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑧 (,) +∞ ) ∩ 𝐴 ) ≠ ∅ ) |
52 |
|
inss1 |
⊢ ( ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∩ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) ∩ 𝐴 ) ⊆ ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∩ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) |
53 |
31 30
|
jctil |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ) ) |
54 |
31 46
|
jctir |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) ) |
55 |
25
|
leidd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝑧 ≤ 𝑧 ) |
56 |
|
ioodisj |
⊢ ( ( ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) ) ∧ 𝑧 ≤ 𝑧 ) → ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∩ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) = ∅ ) |
57 |
53 54 55 56
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∩ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) = ∅ ) |
58 |
|
sseq0 |
⊢ ( ( ( ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∩ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) ∩ 𝐴 ) ⊆ ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∩ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) ∧ ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∩ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) = ∅ ) → ( ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∩ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) ∩ 𝐴 ) = ∅ ) |
59 |
52 57 58
|
sylancr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∩ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) ∩ 𝐴 ) = ∅ ) |
60 |
30
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → -∞ ∈ ℝ* ) |
61 |
46
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → +∞ ∈ ℝ* ) |
62 |
25
|
mnfltd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → -∞ < 𝑧 ) |
63 |
25
|
ltpnfd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝑧 < +∞ ) |
64 |
|
ioojoin |
⊢ ( ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) ∧ ( -∞ < 𝑧 ∧ 𝑧 < +∞ ) ) → ( ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∪ { 𝑧 } ) ∪ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) = ( -∞ (,) +∞ ) ) |
65 |
60 31 61 62 63 64
|
syl32anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∪ { 𝑧 } ) ∪ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) = ( -∞ (,) +∞ ) ) |
66 |
|
unass |
⊢ ( ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∪ { 𝑧 } ) ∪ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) = ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∪ ( { 𝑧 } ∪ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) ) |
67 |
|
un12 |
⊢ ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∪ ( { 𝑧 } ∪ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) ) = ( { 𝑧 } ∪ ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∪ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) ) |
68 |
66 67
|
eqtri |
⊢ ( ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∪ { 𝑧 } ) ∪ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) = ( { 𝑧 } ∪ ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∪ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) ) |
69 |
|
ioomax |
⊢ ( -∞ (,) +∞ ) = ℝ |
70 |
65 68 69
|
3eqtr3g |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( { 𝑧 } ∪ ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∪ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) ) = ℝ ) |
71 |
4 70
|
sseqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝐴 ⊆ ( { 𝑧 } ∪ ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∪ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) ) ) |
72 |
|
disjsn |
⊢ ( ( 𝐴 ∩ { 𝑧 } ) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴 ) |
73 |
13 72
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝐴 ∩ { 𝑧 } ) = ∅ ) |
74 |
|
disjssun |
⊢ ( ( 𝐴 ∩ { 𝑧 } ) = ∅ → ( 𝐴 ⊆ ( { 𝑧 } ∪ ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∪ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) ) ↔ 𝐴 ⊆ ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∪ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) ) ) |
75 |
73 74
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝐴 ⊆ ( { 𝑧 } ∪ ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∪ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) ) ↔ 𝐴 ⊆ ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∪ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) ) ) |
76 |
71 75
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → 𝐴 ⊆ ( ( -∞ (,) 𝑧 ) ∪ ( 𝑧 (,) +∞ ) ) ) |
77 |
3 4 6 8 36 51 59 76
|
nconnsubb |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) → ¬ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) |
78 |
77
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) → ¬ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ) |
79 |
1 78
|
mt2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) → ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) ) |
80 |
79
|
eq0rdv |
⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) = ∅ ) |
81 |
|
ssdif0 |
⊢ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ 𝐴 ↔ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∖ 𝐴 ) = ∅ ) |
82 |
80 81
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ 𝐴 ) |