Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
2 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
3 |
|
nndivre |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 2 / 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
4 |
1 2 3
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 2 / 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
5 |
4
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 2 / 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
6 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
7 |
|
picn |
⊢ π ∈ ℂ |
8 |
6 7
|
mulcli |
⊢ ( i · π ) ∈ ℂ |
9 |
8
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( i · π ) ∈ ℂ ) |
10 |
5 9
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) ∈ ℂ ) |
11 |
|
efexp |
⊢ ( ( ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( exp ‘ ( 𝐾 · ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) ) ) = ( ( exp ‘ ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) ) ↑ 𝐾 ) ) |
12 |
10 11
|
sylancom |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( exp ‘ ( 𝐾 · ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) ) ) = ( ( exp ‘ ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) ) ↑ 𝐾 ) ) |
13 |
|
zcn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ ) |
14 |
13
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 𝐾 ∈ ℂ ) |
15 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
16 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
17 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
18 |
17
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 2 ∈ ℂ ) |
19 |
|
nnne0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0 ) |
20 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 𝑁 ≠ 0 ) |
21 |
14 16 18 20
|
div32d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · 2 ) = ( 𝐾 · ( 2 / 𝑁 ) ) ) |
22 |
21
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · 2 ) · ( i · π ) ) = ( ( 𝐾 · ( 2 / 𝑁 ) ) · ( i · π ) ) ) |
23 |
14 16 20
|
divcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 / 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
24 |
23 18 9
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · 2 ) · ( i · π ) ) = ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) ) |
25 |
14 5 9
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · ( 2 / 𝑁 ) ) · ( i · π ) ) = ( 𝐾 · ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) ) ) |
26 |
22 24 25
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) = ( 𝐾 · ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) ) ) |
27 |
26
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( exp ‘ ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) ) = ( exp ‘ ( 𝐾 · ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) ) ) ) |
28 |
|
neg1cn |
⊢ - 1 ∈ ℂ |
29 |
28
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → - 1 ∈ ℂ ) |
30 |
|
neg1ne0 |
⊢ - 1 ≠ 0 |
31 |
30
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → - 1 ≠ 0 ) |
32 |
29 31 5
|
cxpefd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) = ( exp ‘ ( ( 2 / 𝑁 ) · ( log ‘ - 1 ) ) ) ) |
33 |
|
logm1 |
⊢ ( log ‘ - 1 ) = ( i · π ) |
34 |
33
|
oveq2i |
⊢ ( ( 2 / 𝑁 ) · ( log ‘ - 1 ) ) = ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) |
35 |
34
|
fveq2i |
⊢ ( exp ‘ ( ( 2 / 𝑁 ) · ( log ‘ - 1 ) ) ) = ( exp ‘ ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) ) |
36 |
32 35
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) = ( exp ‘ ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) ) ) |
37 |
36
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) = ( ( exp ‘ ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) ) ↑ 𝐾 ) ) |
38 |
12 27 37
|
3eqtr4rd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) = ( exp ‘ ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) ) ) |
39 |
38
|
eqeq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) = 1 ↔ ( exp ‘ ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) ) = 1 ) ) |
40 |
17 8
|
mulcli |
⊢ ( 2 · ( i · π ) ) ∈ ℂ |
41 |
|
mulcl |
⊢ ( ( ( 𝐾 / 𝑁 ) ∈ ℂ ∧ ( 2 · ( i · π ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) ∈ ℂ ) |
42 |
23 40 41
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) ∈ ℂ ) |
43 |
|
efeq1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) ∈ ℂ → ( ( exp ‘ ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) ) = 1 ↔ ( ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) / ( i · ( 2 · π ) ) ) ∈ ℤ ) ) |
44 |
42 43
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( exp ‘ ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) ) = 1 ↔ ( ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) / ( i · ( 2 · π ) ) ) ∈ ℤ ) ) |
45 |
6 17 7
|
mul12i |
⊢ ( i · ( 2 · π ) ) = ( 2 · ( i · π ) ) |
46 |
45
|
oveq2i |
⊢ ( ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) / ( i · ( 2 · π ) ) ) = ( ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) / ( 2 · ( i · π ) ) ) |
47 |
40
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 2 · ( i · π ) ) ∈ ℂ ) |
48 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
49 |
|
ine0 |
⊢ i ≠ 0 |
50 |
|
pire |
⊢ π ∈ ℝ |
51 |
|
pipos |
⊢ 0 < π |
52 |
50 51
|
gt0ne0ii |
⊢ π ≠ 0 |
53 |
6 7 49 52
|
mulne0i |
⊢ ( i · π ) ≠ 0 |
54 |
17 8 48 53
|
mulne0i |
⊢ ( 2 · ( i · π ) ) ≠ 0 |
55 |
54
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 2 · ( i · π ) ) ≠ 0 ) |
56 |
23 47 55
|
divcan4d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) / ( 2 · ( i · π ) ) ) = ( 𝐾 / 𝑁 ) ) |
57 |
46 56
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) / ( i · ( 2 · π ) ) ) = ( 𝐾 / 𝑁 ) ) |
58 |
57
|
eleq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) / ( i · ( 2 · π ) ) ) ∈ ℤ ↔ ( 𝐾 / 𝑁 ) ∈ ℤ ) ) |
59 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ ) |
60 |
59
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
61 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
62 |
|
dvdsval2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∥ 𝐾 ↔ ( 𝐾 / 𝑁 ) ∈ ℤ ) ) |
63 |
60 20 61 62
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∥ 𝐾 ↔ ( 𝐾 / 𝑁 ) ∈ ℤ ) ) |
64 |
58 63
|
bitr4d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( 𝐾 / 𝑁 ) · ( 2 · ( i · π ) ) ) / ( i · ( 2 · π ) ) ) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∥ 𝐾 ) ) |
65 |
39 44 64
|
3bitrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) = 1 ↔ 𝑁 ∥ 𝐾 ) ) |