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Theorem ulmcaulem

Description: Lemma for ulmcau and ulmcau2 : show the equivalence of the four- and five-quantifier forms of the Cauchy convergence condition. Compare cau3 . (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015)

Ref Expression
Hypotheses ulmcau.z 𝑍 = ( ℤ𝑀 )
ulmcau.m ( 𝜑𝑀 ∈ ℤ )
ulmcau.s ( 𝜑𝑆𝑉 )
ulmcau.f ( 𝜑𝐹 : 𝑍 ⟶ ( ℂ ↑m 𝑆 ) )
Assertion ulmcaulem ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ulmcau.z 𝑍 = ( ℤ𝑀 )
2 ulmcau.m ( 𝜑𝑀 ∈ ℤ )
3 ulmcau.s ( 𝜑𝑆𝑉 )
4 ulmcau.f ( 𝜑𝐹 : 𝑍 ⟶ ( ℂ ↑m 𝑆 ) )
5 breq2 ( 𝑥 = 𝑤 → ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ↔ ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑤 ) )
6 5 ralbidv ( 𝑥 = 𝑤 → ( ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑤 ) )
7 6 rexralbidv ( 𝑥 = 𝑤 → ( ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑤 ) )
8 7 cbvralvw ( ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∀ 𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑤 )
9 rphalfcl ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( 𝑥 / 2 ) ∈ ℝ+ )
10 breq2 ( 𝑤 = ( 𝑥 / 2 ) → ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑤 ↔ ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
11 10 ralbidv ( 𝑤 = ( 𝑥 / 2 ) → ( ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑤 ↔ ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
12 11 rexralbidv ( 𝑤 = ( 𝑥 / 2 ) → ( ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑤 ↔ ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
13 12 rspcv ( ( 𝑥 / 2 ) ∈ ℝ+ → ( ∀ 𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑤 → ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
14 9 13 syl ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( ∀ 𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑤 → ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
15 14 adantl ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑤 → ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
16 fveq2 ( 𝑘 = 𝑚 → ( 𝐹𝑘 ) = ( 𝐹𝑚 ) )
17 16 fveq1d ( 𝑘 = 𝑚 → ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) )
18 17 fvoveq1d ( 𝑘 = 𝑚 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) )
19 18 breq1d ( 𝑘 = 𝑚 → ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
20 19 ralbidv ( 𝑘 = 𝑚 → ( ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ↔ ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
21 20 cbvralvw ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) )
22 21 biimpi ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) )
23 uzss ( 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) → ( ℤ𝑘 ) ⊆ ( ℤ𝑗 ) )
24 23 ad2antlr ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( ℤ𝑘 ) ⊆ ( ℤ𝑗 ) )
25 ssralv ( ( ℤ𝑘 ) ⊆ ( ℤ𝑗 ) → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
26 24 25 syl ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
27 r19.26 ( ∀ 𝑧𝑆 ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ↔ ( ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ∧ ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
28 4 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) → 𝐹 : 𝑍 ⟶ ( ℂ ↑m 𝑆 ) )
29 28 ad3antrrr ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) → 𝐹 : 𝑍 ⟶ ( ℂ ↑m 𝑆 ) )
30 1 uztrn2 ( ( 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) → 𝑘𝑍 )
31 30 adantll ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) → 𝑘𝑍 )
32 1 uztrn2 ( ( 𝑘𝑍𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) → 𝑚𝑍 )
33 31 32 sylan ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) → 𝑚𝑍 )
34 29 33 ffvelrnd ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) → ( 𝐹𝑚 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑆 ) )
35 elmapi ( ( 𝐹𝑚 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑆 ) → ( 𝐹𝑚 ) : 𝑆 ⟶ ℂ )
36 34 35 syl ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) → ( 𝐹𝑚 ) : 𝑆 ⟶ ℂ )
37 36 ffvelrnda ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) ∧ 𝑧𝑆 ) → ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
38 28 ffvelrnda ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) → ( 𝐹𝑗 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑆 ) )
39 38 ad2antrr ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) → ( 𝐹𝑗 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑆 ) )
40 elmapi ( ( 𝐹𝑗 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑆 ) → ( 𝐹𝑗 ) : 𝑆 ⟶ ℂ )
41 39 40 syl ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) → ( 𝐹𝑗 ) : 𝑆 ⟶ ℂ )
42 41 ffvelrnda ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) ∧ 𝑧𝑆 ) → ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
43 37 42 abssubd ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) ∧ 𝑧𝑆 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) )
44 43 breq1d ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) ∧ 𝑧𝑆 ) → ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
45 44 biimpd ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) ∧ 𝑧𝑆 ) → ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) )
46 ffvelrn ( ( 𝐹 : 𝑍 ⟶ ( ℂ ↑m 𝑆 ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑆 ) )
47 28 30 46 syl2an ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ) → ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑆 ) )
48 47 anassrs ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) → ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑆 ) )
49 48 adantr ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) → ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑆 ) )
50 elmapi ( ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑆 ) → ( 𝐹𝑘 ) : 𝑆 ⟶ ℂ )
51 49 50 syl ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) → ( 𝐹𝑘 ) : 𝑆 ⟶ ℂ )
52 51 ffvelrnda ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) ∧ 𝑧𝑆 ) → ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
53 rpre ( 𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ )
54 53 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
55 54 ad3antrrr ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) ∧ 𝑧𝑆 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
56 abs3lem ( ( ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ) → ( ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
57 52 37 42 55 56 syl22anc ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) ∧ 𝑧𝑆 ) → ( ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
58 45 57 sylan2d ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) ∧ 𝑧𝑆 ) → ( ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
59 58 ralimdva ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) → ( ∀ 𝑧𝑆 ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
60 27 59 syl5bir ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) → ( ( ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ∧ ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
61 60 expdimp ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) ∧ ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
62 61 an32s ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ) → ( ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
63 62 ralimdva ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
64 26 63 syld ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
65 64 impancom ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
66 65 an32s ( ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) → ( ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
67 66 ralimdva ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
68 67 ex ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
69 68 com23 ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
70 22 69 mpdi ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑗𝑍 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
71 70 reximdva ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑥 / 2 ) → ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
72 15 71 syld ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑤 → ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
73 72 ralrimdva ( 𝜑 → ( ∀ 𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑤 → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
74 8 73 syl5bi ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
75 eluzelz ( 𝑗 ∈ ( ℤ𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
76 75 1 eleq2s ( 𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ )
77 uzid ( 𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) )
78 76 77 syl ( 𝑗𝑍𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) )
79 78 adantl ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) → 𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) )
80 fveq2 ( 𝑘 = 𝑗 → ( ℤ𝑘 ) = ( ℤ𝑗 ) )
81 fveq2 ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐹𝑘 ) = ( 𝐹𝑗 ) )
82 81 fveq1d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) )
83 82 fvoveq1d ( 𝑘 = 𝑗 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) )
84 83 breq1d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ↔ ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
85 84 ralbidv ( 𝑘 = 𝑗 → ( ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
86 80 85 raleqbidv ( 𝑘 = 𝑗 → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
87 86 rspcv ( 𝑗 ∈ ( ℤ𝑗 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
88 79 87 syl ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
89 fveq2 ( 𝑚 = 𝑘 → ( 𝐹𝑚 ) = ( 𝐹𝑘 ) )
90 89 fveq1d ( 𝑚 = 𝑘 → ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) )
91 90 oveq2d ( 𝑚 = 𝑘 → ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ) )
92 91 fveq2d ( 𝑚 = 𝑘 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ) ) )
93 92 breq1d ( 𝑚 = 𝑘 → ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ↔ ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
94 93 ralbidv ( 𝑚 = 𝑘 → ( ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
95 94 cbvralvw ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 )
96 4 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) → ( 𝐹𝑗 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑆 ) )
97 96 adantr ( ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) → ( 𝐹𝑗 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑆 ) )
98 97 40 syl ( ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) → ( 𝐹𝑗 ) : 𝑆 ⟶ ℂ )
99 98 ffvelrnda ( ( ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑧𝑆 ) → ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
100 4 30 46 syl2an ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ) → ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑆 ) )
101 100 anassrs ( ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) → ( 𝐹𝑘 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑆 ) )
102 101 50 syl ( ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) → ( 𝐹𝑘 ) : 𝑆 ⟶ ℂ )
103 102 ffvelrnda ( ( ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑧𝑆 ) → ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
104 99 103 abssubd ( ( ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑧𝑆 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) )
105 104 breq1d ( ( ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) ∧ 𝑧𝑆 ) → ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ↔ ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
106 105 ralbidva ( ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ) → ( ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
107 106 ralbidva ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
108 95 107 syl5bb ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
109 88 108 sylibd ( ( 𝜑𝑗𝑍 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
110 109 reximdva ( 𝜑 → ( ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 → ∃ 𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
111 110 ralimdv ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )
112 74 111 impbid ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑗 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ ( ℤ𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ𝑘 ) ∀ 𝑧𝑆 ( abs ‘ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ‘ 𝑧 ) − ( ( 𝐹𝑚 ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑥 ) )