ulmcaulem

Description: Lemma for ulmcau and ulmcau2 : show the equivalence of the four- and five-quantifier forms of the Cauchy convergence condition. Compare cau3 . (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	ulmcau.z	\|- Z = ( ZZ>= ` M )
	ulmcau.m	\|- ( ph -> M e. ZZ )
	ulmcau.s	\|- ( ph -> S e. V )
	ulmcau.f	\|- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
Assertion	ulmcaulem	\|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmcau.z	\|- Z = ( ZZ>= ` M )
2		ulmcau.m	\|- ( ph -> M e. ZZ )
3		ulmcau.s	\|- ( ph -> S e. V )
4		ulmcau.f	\|- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
5		breq2	\|- ( x = w -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w ) )
6	5	ralbidv	\|- ( x = w -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w ) )
7	6	rexralbidv	\|- ( x = w -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w ) )
8	7	cbvralvw	\|- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w )
9		rphalfcl	\|- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR+ )
10		breq2	\|- ( w = ( x / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
11	10	ralbidv	\|- ( w = ( x / 2 ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
12	11	rexralbidv	\|- ( w = ( x / 2 ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
13	12	rspcv	\|- ( ( x / 2 ) e. RR+ -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
14	9 13	syl	\|- ( x e. RR+ -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
15	14	adantl	\|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
16		fveq2	\|- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
17	16	fveq1d	\|- ( k = m -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
18	17	fvoveq1d	\|- ( k = m -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) )
19	18	breq1d	\|- ( k = m -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
20	19	ralbidv	\|- ( k = m -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
21	20	cbvralvw	\|- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) )
22	21	biimpi	\|- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) )
23		uzss	\|- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) )
24	23	ad2antlr	\|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) )
25		ssralv	\|- ( ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
26	24 25	syl	\|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
27		r19.26	\|- ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
28	4	adantr	\|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
29	28	ad3antrrr	\|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
30	1	uztrn2	\|- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
31	30	adantll	\|- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
32	1	uztrn2	\|- ( ( k e. Z /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> m e. Z )
33	31 32	sylan	\|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> m e. Z )
34	29 33	ffvelrnd	\|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` m ) e. ( CC ^m S ) )
35		elmapi	\|- ( ( F ` m ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` m ) : S --> CC )
36	34 35	syl	\|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` m ) : S --> CC )
37	36	ffvelrnda	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` m ) ` z ) e. CC )
38	28	ffvelrnda	\|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
39	38	ad2antrr	\|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
40		elmapi	\|- ( ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
41	39 40	syl	\|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
42	41	ffvelrnda	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` j ) ` z ) e. CC )
43	37 42	abssubd	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) )
44	43	breq1d	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
45	44	biimpd	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
46		ffvelrn	\|- ( ( F : Z --> ( CC ^m S ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
47	28 30 46	syl2an	\|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
48	47	anassrs	\|- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
49	48	adantr	\|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
50		elmapi	\|- ( ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
51	49 50	syl	\|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
52	51	ffvelrnda	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
53		rpre	\|- ( x e. RR+ -> x e. RR )
54	53	ad2antlr	\|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> x e. RR )
55	54	ad3antrrr	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> x e. RR )
56		abs3lem	\|- ( ( ( ( ( F ` k ) ` z ) e. CC /\ ( ( F ` m ) ` z ) e. CC ) /\ ( ( ( F ` j ) ` z ) e. CC /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
57	52 37 42 55 56	syl22anc	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
58	45 57	sylan2d	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
59	58	ralimdva	\|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
60	27 59	syl5bir	\|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
61	60	expdimp	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
62	61	an32s	\|- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
63	62	ralimdva	\|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
64	26 63	syld	\|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
65	64	impancom	\|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
66	65	an32s	\|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
67	66	ralimdva	\|- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
68	67	ex	\|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) ) )
69	68	com23	\|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) ) )
70	22 69	mpdi	\|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
71	70	reximdva	\|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
72	15 71	syld	\|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
73	72	ralrimdva	\|- ( ph -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
74	8 73	syl5bi	\|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
75		eluzelz	\|- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
76	75 1	eleq2s	\|- ( j e. Z -> j e. ZZ )
77		uzid	\|- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
78	76 77	syl	\|- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
79	78	adantl	\|- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
80		fveq2	\|- ( k = j -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` j ) )
81		fveq2	\|- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
82	81	fveq1d	\|- ( k = j -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` j ) ` z ) )
83	82	fvoveq1d	\|- ( k = j -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) )
84	83	breq1d	\|- ( k = j -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
85	84	ralbidv	\|- ( k = j -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
86	80 85	raleqbidv	\|- ( k = j -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
87	86	rspcv	\|- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
88	79 87	syl	\|- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
89		fveq2	\|- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
90	89	fveq1d	\|- ( m = k -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
91	90	oveq2d	\|- ( m = k -> ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) = ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) )
92	91	fveq2d	\|- ( m = k -> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) )
93	92	breq1d	\|- ( m = k -> ( ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x ) )
94	93	ralbidv	\|- ( m = k -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x ) )
95	94	cbvralvw	\|- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x )
96	4	ffvelrnda	\|- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
97	96	adantr	\|- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
98	97 40	syl	\|- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
99	98	ffvelrnda	\|- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` j ) ` z ) e. CC )
100	4 30 46	syl2an	\|- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
101	100	anassrs	\|- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
102	101 50	syl	\|- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
103	102	ffvelrnda	\|- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
104	99 103	abssubd	\|- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) )
105	104	breq1d	\|- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
106	105	ralbidva	\|- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
107	106	ralbidva	\|- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
108	95 107	syl5bb	\|- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
109	88 108	sylibd	\|- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
110	109	reximdva	\|- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
111	110	ralimdv	\|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
112	74 111	impbid	\|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )

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Theorem ulmcaulem

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