Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ulmcau.z |
|- Z = ( ZZ>= ` M ) |
2 |
|
ulmcau.m |
|- ( ph -> M e. ZZ ) |
3 |
|
ulmcau.s |
|- ( ph -> S e. V ) |
4 |
|
ulmcau.f |
|- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) ) |
5 |
|
eldmg |
|- ( F e. dom ( ~~>u ` S ) -> ( F e. dom ( ~~>u ` S ) <-> E. g F ( ~~>u ` S ) g ) ) |
6 |
5
|
ibi |
|- ( F e. dom ( ~~>u ` S ) -> E. g F ( ~~>u ` S ) g ) |
7 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) -> M e. ZZ ) |
8 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) ) |
9 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` z ) ) |
10 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ z e. S ) -> ( g ` z ) = ( g ` z ) ) |
11 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) -> F ( ~~>u ` S ) g ) |
12 |
|
rphalfcl |
|- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR+ ) |
13 |
12
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) -> ( x / 2 ) e. RR+ ) |
14 |
1 7 8 9 10 11 13
|
ulmi |
|- ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) |
15 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> j e. Z ) |
16 |
15 1
|
eleqtrdi |
|- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) ) |
17 |
|
eluzelz |
|- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ ) |
18 |
|
uzid |
|- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) ) |
19 |
|
fveq2 |
|- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) ) |
20 |
19
|
fveq1d |
|- ( k = j -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` j ) ` z ) ) |
21 |
20
|
fvoveq1d |
|- ( k = j -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) ) |
22 |
21
|
breq1d |
|- ( k = j -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) |
23 |
22
|
ralbidv |
|- ( k = j -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) |
24 |
23
|
rspcv |
|- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) |
25 |
16 17 18 24
|
4syl |
|- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) |
26 |
|
r19.26 |
|- ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) |
27 |
8
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) ) |
28 |
27
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) ) |
29 |
|
elmapi |
|- ( ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` j ) : S --> CC ) |
30 |
28 29
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) : S --> CC ) |
31 |
30
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` j ) ` z ) e. CC ) |
32 |
|
ulmcl |
|- ( F ( ~~>u ` S ) g -> g : S --> CC ) |
33 |
32
|
ad4antlr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> g : S --> CC ) |
34 |
33
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( g ` z ) e. CC ) |
35 |
31 34
|
abssubd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( g ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) ) |
36 |
35
|
breq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( g ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) |
37 |
36
|
biimpd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( abs ` ( ( g ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) |
38 |
1
|
uztrn2 |
|- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z ) |
39 |
|
ffvelrn |
|- ( ( F : Z --> ( CC ^m S ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) ) |
40 |
8 38 39
|
syl2an |
|- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) ) |
41 |
40
|
anassrs |
|- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) ) |
42 |
|
elmapi |
|- ( ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` k ) : S --> CC ) |
43 |
41 42
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC ) |
44 |
43
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC ) |
45 |
|
rpre |
|- ( x e. RR+ -> x e. RR ) |
46 |
45
|
ad4antlr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> x e. RR ) |
47 |
|
abs3lem |
|- ( ( ( ( ( F ` k ) ` z ) e. CC /\ ( ( F ` j ) ` z ) e. CC ) /\ ( ( g ` z ) e. CC /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( g ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) |
48 |
44 31 34 46 47
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( g ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) |
49 |
37 48
|
sylan2d |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) |
50 |
49
|
ancomsd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) |
51 |
50
|
ralimdva |
|- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) |
52 |
26 51
|
syl5bir |
|- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) |
53 |
52
|
expdimp |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) |
54 |
53
|
an32s |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) |
55 |
54
|
ralimdva |
|- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) |
56 |
55
|
ex |
|- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) ) |
57 |
56
|
com23 |
|- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) ) |
58 |
25 57
|
mpdd |
|- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) |
59 |
58
|
reximdva |
|- ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( g ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) |
60 |
14 59
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) |
61 |
60
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ F ( ~~>u ` S ) g ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) |
62 |
61
|
ex |
|- ( ph -> ( F ( ~~>u ` S ) g -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) |
63 |
62
|
exlimdv |
|- ( ph -> ( E. g F ( ~~>u ` S ) g -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) |
64 |
6 63
|
syl5 |
|- ( ph -> ( F e. dom ( ~~>u ` S ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) |
65 |
|
ulmrel |
|- Rel ( ~~>u ` S ) |
66 |
1 2 3 4
|
ulmcaulem |
|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) ) |
67 |
66
|
biimpa |
|- ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) |
68 |
|
rphalfcl |
|- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) e. RR+ ) |
69 |
|
breq2 |
|- ( x = ( r / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) |
70 |
69
|
ralbidv |
|- ( x = ( r / 2 ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) |
71 |
70
|
2ralbidv |
|- ( x = ( r / 2 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) |
72 |
71
|
rexbidv |
|- ( x = ( r / 2 ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) |
73 |
|
ralcom |
|- ( A. w e. S A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` q ) A. w e. S ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) ) |
74 |
|
fveq2 |
|- ( q = k -> ( ZZ>= ` q ) = ( ZZ>= ` k ) ) |
75 |
|
fveq2 |
|- ( w = z -> ( ( F ` q ) ` w ) = ( ( F ` q ) ` z ) ) |
76 |
|
fveq2 |
|- ( w = z -> ( ( F ` m ) ` w ) = ( ( F ` m ) ` z ) ) |
77 |
75 76
|
oveq12d |
|- ( w = z -> ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) = ( ( ( F ` q ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) |
78 |
77
|
fveq2d |
|- ( w = z -> ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) ) |
79 |
78
|
breq1d |
|- ( w = z -> ( ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) |
80 |
79
|
cbvralvw |
|- ( A. w e. S ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) |
81 |
|
fveq2 |
|- ( q = k -> ( F ` q ) = ( F ` k ) ) |
82 |
81
|
fveq1d |
|- ( q = k -> ( ( F ` q ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` z ) ) |
83 |
82
|
fvoveq1d |
|- ( q = k -> ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) ) |
84 |
83
|
breq1d |
|- ( q = k -> ( ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) |
85 |
84
|
ralbidv |
|- ( q = k -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) |
86 |
80 85
|
syl5bb |
|- ( q = k -> ( A. w e. S ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) |
87 |
74 86
|
raleqbidv |
|- ( q = k -> ( A. m e. ( ZZ>= ` q ) A. w e. S ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) |
88 |
73 87
|
syl5bb |
|- ( q = k -> ( A. w e. S A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) |
89 |
88
|
cbvralvw |
|- ( A. q e. ( ZZ>= ` p ) A. w e. S A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` p ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) |
90 |
|
fveq2 |
|- ( p = j -> ( ZZ>= ` p ) = ( ZZ>= ` j ) ) |
91 |
90
|
raleqdv |
|- ( p = j -> ( A. k e. ( ZZ>= ` p ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) |
92 |
89 91
|
syl5bb |
|- ( p = j -> ( A. q e. ( ZZ>= ` p ) A. w e. S A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) |
93 |
92
|
cbvrexvw |
|- ( E. p e. Z A. q e. ( ZZ>= ` p ) A. w e. S A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( r / 2 ) ) |
94 |
72 93
|
bitr4di |
|- ( x = ( r / 2 ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> E. p e. Z A. q e. ( ZZ>= ` p ) A. w e. S A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) |
95 |
94
|
rspccva |
|- ( ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x /\ ( r / 2 ) e. RR+ ) -> E. p e. Z A. q e. ( ZZ>= ` p ) A. w e. S A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) ) |
96 |
67 68 95
|
syl2an |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) -> E. p e. Z A. q e. ( ZZ>= ` p ) A. w e. S A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) ) |
97 |
1
|
uztrn2 |
|- ( ( p e. Z /\ q e. ( ZZ>= ` p ) ) -> q e. Z ) |
98 |
|
eqid |
|- ( ZZ>= ` q ) = ( ZZ>= ` q ) |
99 |
|
eluzelz |
|- ( q e. ( ZZ>= ` M ) -> q e. ZZ ) |
100 |
99 1
|
eleq2s |
|- ( q e. Z -> q e. ZZ ) |
101 |
100
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) -> q e. ZZ ) |
102 |
68
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) -> ( r / 2 ) e. RR+ ) |
103 |
102
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) -> ( r / 2 ) e. RR+ ) |
104 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) -> q e. Z ) |
105 |
1
|
uztrn2 |
|- ( ( q e. Z /\ m e. ( ZZ>= ` q ) ) -> m e. Z ) |
106 |
104 105
|
sylan |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) /\ m e. ( ZZ>= ` q ) ) -> m e. Z ) |
107 |
|
fveq2 |
|- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) ) |
108 |
107
|
fveq1d |
|- ( n = m -> ( ( F ` n ) ` w ) = ( ( F ` m ) ` w ) ) |
109 |
|
eqid |
|- ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) = ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) |
110 |
|
fvex |
|- ( ( F ` m ) ` w ) e. _V |
111 |
108 109 110
|
fvmpt |
|- ( m e. Z -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ` m ) = ( ( F ` m ) ` w ) ) |
112 |
106 111
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) /\ m e. ( ZZ>= ` q ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ` m ) = ( ( F ` m ) ` w ) ) |
113 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) ) |
114 |
113
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. ( CC ^m S ) ) |
115 |
|
elmapi |
|- ( ( F ` n ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` n ) : S --> CC ) |
116 |
114 115
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) : S --> CC ) |
117 |
116
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ n e. Z ) /\ y e. S ) -> ( ( F ` n ) ` y ) e. CC ) |
118 |
117
|
an32s |
|- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ y e. S ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` n ) ` y ) e. CC ) |
119 |
118
|
fmpttd |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ y e. S ) -> ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) : Z --> CC ) |
120 |
119
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ y e. S ) /\ q e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` q ) e. CC ) |
121 |
|
fveq2 |
|- ( z = y -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` y ) ) |
122 |
|
fveq2 |
|- ( z = y -> ( ( F ` j ) ` z ) = ( ( F ` j ) ` y ) ) |
123 |
121 122
|
oveq12d |
|- ( z = y -> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) = ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) |
124 |
123
|
fveq2d |
|- ( z = y -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) ) |
125 |
124
|
breq1d |
|- ( z = y -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < x ) ) |
126 |
125
|
rspcv |
|- ( y e. S -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < x ) ) |
127 |
126
|
ralimdv |
|- ( y e. S -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < x ) ) |
128 |
127
|
reximdv |
|- ( y e. S -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < x ) ) |
129 |
128
|
ralimdv |
|- ( y e. S -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < x ) ) |
130 |
129
|
impcom |
|- ( ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x /\ y e. S ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < x ) |
131 |
130
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ y e. S ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < x ) |
132 |
|
fveq2 |
|- ( q = k -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` q ) = ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) ) |
133 |
132
|
fvoveq1d |
|- ( q = k -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` q ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) ) ) = ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) ) ) ) |
134 |
133
|
breq1d |
|- ( q = k -> ( ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` q ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) ) ) < r <-> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) ) ) < r ) ) |
135 |
134
|
cbvralvw |
|- ( A. q e. ( ZZ>= ` p ) ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` q ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) ) ) < r <-> A. k e. ( ZZ>= ` p ) ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) ) ) < r ) |
136 |
|
fveq2 |
|- ( p = j -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) = ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` j ) ) |
137 |
136
|
oveq2d |
|- ( p = j -> ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) ) = ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` j ) ) ) |
138 |
137
|
fveq2d |
|- ( p = j -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) ) ) = ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` j ) ) ) ) |
139 |
138
|
breq1d |
|- ( p = j -> ( ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) ) ) < r <-> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` j ) ) ) < r ) ) |
140 |
90 139
|
raleqbidv |
|- ( p = j -> ( A. k e. ( ZZ>= ` p ) ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) ) ) < r <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` j ) ) ) < r ) ) |
141 |
135 140
|
syl5bb |
|- ( p = j -> ( A. q e. ( ZZ>= ` p ) ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` q ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) ) ) < r <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` j ) ) ) < r ) ) |
142 |
141
|
cbvrexvw |
|- ( E. p e. Z A. q e. ( ZZ>= ` p ) ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` q ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) ) ) < r <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` j ) ) ) < r ) |
143 |
|
fveq2 |
|- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) ) |
144 |
143
|
fveq1d |
|- ( n = k -> ( ( F ` n ) ` y ) = ( ( F ` k ) ` y ) ) |
145 |
|
eqid |
|- ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) = ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) |
146 |
|
fvex |
|- ( ( F ` k ) ` y ) e. _V |
147 |
144 145 146
|
fvmpt |
|- ( k e. Z -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) ` y ) ) |
148 |
38 147
|
syl |
|- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) ` y ) ) |
149 |
|
fveq2 |
|- ( n = j -> ( F ` n ) = ( F ` j ) ) |
150 |
149
|
fveq1d |
|- ( n = j -> ( ( F ` n ) ` y ) = ( ( F ` j ) ` y ) ) |
151 |
|
fvex |
|- ( ( F ` j ) ` y ) e. _V |
152 |
150 145 151
|
fvmpt |
|- ( j e. Z -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` j ) = ( ( F ` j ) ` y ) ) |
153 |
152
|
adantr |
|- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` j ) = ( ( F ` j ) ` y ) ) |
154 |
148 153
|
oveq12d |
|- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` j ) ) = ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) |
155 |
154
|
fveq2d |
|- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` j ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) ) |
156 |
155
|
breq1d |
|- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` j ) ) ) < r <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < r ) ) |
157 |
156
|
ralbidva |
|- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` j ) ) ) < r <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < r ) ) |
158 |
157
|
rexbiia |
|- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` j ) ) ) < r <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < r ) |
159 |
142 158
|
bitri |
|- ( E. p e. Z A. q e. ( ZZ>= ` p ) ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` q ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) ) ) < r <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < r ) |
160 |
|
breq2 |
|- ( r = x -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < r <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < x ) ) |
161 |
160
|
ralbidv |
|- ( r = x -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < r <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < x ) ) |
162 |
161
|
rexbidv |
|- ( r = x -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < r <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < x ) ) |
163 |
159 162
|
syl5bb |
|- ( r = x -> ( E. p e. Z A. q e. ( ZZ>= ` p ) ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` q ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) ) ) < r <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < x ) ) |
164 |
163
|
cbvralvw |
|- ( A. r e. RR+ E. p e. Z A. q e. ( ZZ>= ` p ) ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` q ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) ) ) < r <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` y ) - ( ( F ` j ) ` y ) ) ) < x ) |
165 |
131 164
|
sylibr |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ y e. S ) -> A. r e. RR+ E. p e. Z A. q e. ( ZZ>= ` p ) ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` q ) - ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ` p ) ) ) < r ) |
166 |
1
|
fvexi |
|- Z e. _V |
167 |
166
|
mptex |
|- ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) e. _V |
168 |
167
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ y e. S ) -> ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) e. _V ) |
169 |
1 120 165 168
|
caucvg |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ y e. S ) -> ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) e. dom ~~> ) |
170 |
169
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) -> A. y e. S ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) e. dom ~~> ) |
171 |
170
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) -> A. y e. S ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) e. dom ~~> ) |
172 |
|
fveq2 |
|- ( y = w -> ( ( F ` n ) ` y ) = ( ( F ` n ) ` w ) ) |
173 |
172
|
mpteq2dv |
|- ( y = w -> ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) = ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) |
174 |
173
|
eleq1d |
|- ( y = w -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) e. dom ~~> <-> ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) e. dom ~~> ) ) |
175 |
174
|
rspccva |
|- ( ( A. y e. S ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) e. dom ~~> /\ w e. S ) -> ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) e. dom ~~> ) |
176 |
171 175
|
sylan |
|- ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) -> ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) e. dom ~~> ) |
177 |
|
climdm |
|- ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) e. dom ~~> <-> ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ~~> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) |
178 |
176 177
|
sylib |
|- ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) -> ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ~~> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) |
179 |
98 101 103 112 178
|
climi2 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) -> E. v e. ( ZZ>= ` q ) A. m e. ( ZZ>= ` v ) ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < ( r / 2 ) ) |
180 |
98
|
r19.29uz |
|- ( ( A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) /\ E. v e. ( ZZ>= ` q ) A. m e. ( ZZ>= ` v ) ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < ( r / 2 ) ) -> E. v e. ( ZZ>= ` q ) A. m e. ( ZZ>= ` v ) ( ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) |
181 |
98
|
r19.2uz |
|- ( E. v e. ( ZZ>= ` q ) A. m e. ( ZZ>= ` v ) ( ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < ( r / 2 ) ) -> E. m e. ( ZZ>= ` q ) ( ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) |
182 |
180 181
|
syl |
|- ( ( A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) /\ E. v e. ( ZZ>= ` q ) A. m e. ( ZZ>= ` v ) ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < ( r / 2 ) ) -> E. m e. ( ZZ>= ` q ) ( ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < ( r / 2 ) ) ) |
183 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) ) |
184 |
183
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) -> ( F ` q ) e. ( CC ^m S ) ) |
185 |
|
elmapi |
|- ( ( F ` q ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` q ) : S --> CC ) |
186 |
184 185
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) -> ( F ` q ) : S --> CC ) |
187 |
186
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) -> ( ( F ` q ) ` w ) e. CC ) |
188 |
187
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) /\ m e. ( ZZ>= ` q ) ) -> ( ( F ` q ) ` w ) e. CC ) |
189 |
|
climcl |
|- ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ~~> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) -> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) e. CC ) |
190 |
178 189
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) -> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) e. CC ) |
191 |
190
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) /\ m e. ( ZZ>= ` q ) ) -> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) e. CC ) |
192 |
4
|
ad5antr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) /\ m e. ( ZZ>= ` q ) ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) ) |
193 |
192 106
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) /\ m e. ( ZZ>= ` q ) ) -> ( F ` m ) e. ( CC ^m S ) ) |
194 |
|
elmapi |
|- ( ( F ` m ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` m ) : S --> CC ) |
195 |
193 194
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) /\ m e. ( ZZ>= ` q ) ) -> ( F ` m ) : S --> CC ) |
196 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) /\ m e. ( ZZ>= ` q ) ) -> w e. S ) |
197 |
195 196
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) /\ m e. ( ZZ>= ` q ) ) -> ( ( F ` m ) ` w ) e. CC ) |
198 |
|
rpre |
|- ( r e. RR+ -> r e. RR ) |
199 |
198
|
ad4antlr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) /\ m e. ( ZZ>= ` q ) ) -> r e. RR ) |
200 |
|
abs3lem |
|- ( ( ( ( ( F ` q ) ` w ) e. CC /\ ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) e. CC ) /\ ( ( ( F ` m ) ` w ) e. CC /\ r e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < ( r / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < r ) ) |
201 |
188 191 197 199 200
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) /\ m e. ( ZZ>= ` q ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < ( r / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < r ) ) |
202 |
201
|
rexlimdva |
|- ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) -> ( E. m e. ( ZZ>= ` q ) ( ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < ( r / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < r ) ) |
203 |
182 202
|
syl5 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) -> ( ( A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) /\ E. v e. ( ZZ>= ` q ) A. m e. ( ZZ>= ` v ) ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < ( r / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < r ) ) |
204 |
179 203
|
mpan2d |
|- ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) /\ w e. S ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) -> ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < r ) ) |
205 |
204
|
ralimdva |
|- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ q e. Z ) -> ( A. w e. S A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) -> A. w e. S ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < r ) ) |
206 |
97 205
|
sylan2 |
|- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ ( p e. Z /\ q e. ( ZZ>= ` p ) ) ) -> ( A. w e. S A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) -> A. w e. S ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < r ) ) |
207 |
206
|
anassrs |
|- ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ p e. Z ) /\ q e. ( ZZ>= ` p ) ) -> ( A. w e. S A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) -> A. w e. S ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < r ) ) |
208 |
207
|
ralimdva |
|- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) /\ p e. Z ) -> ( A. q e. ( ZZ>= ` p ) A. w e. S A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) -> A. q e. ( ZZ>= ` p ) A. w e. S ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < r ) ) |
209 |
208
|
reximdva |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) -> ( E. p e. Z A. q e. ( ZZ>= ` p ) A. w e. S A. m e. ( ZZ>= ` q ) ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ( F ` m ) ` w ) ) ) < ( r / 2 ) -> E. p e. Z A. q e. ( ZZ>= ` p ) A. w e. S ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < r ) ) |
210 |
96 209
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ r e. RR+ ) -> E. p e. Z A. q e. ( ZZ>= ` p ) A. w e. S ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < r ) |
211 |
210
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) -> A. r e. RR+ E. p e. Z A. q e. ( ZZ>= ` p ) A. w e. S ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < r ) |
212 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) -> M e. ZZ ) |
213 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ ( q e. Z /\ w e. S ) ) -> ( ( F ` q ) ` w ) = ( ( F ` q ) ` w ) ) |
214 |
173
|
fveq2d |
|- ( y = w -> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ) = ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) |
215 |
|
eqid |
|- ( y e. S |-> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ) ) = ( y e. S |-> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ) ) |
216 |
|
fvex |
|- ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) e. _V |
217 |
214 215 216
|
fvmpt |
|- ( w e. S -> ( ( y e. S |-> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ) ) ` w ) = ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) |
218 |
217
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ w e. S ) -> ( ( y e. S |-> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ) ) ` w ) = ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) |
219 |
|
climdm |
|- ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) e. dom ~~> <-> ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ~~> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ) ) |
220 |
169 219
|
sylib |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ y e. S ) -> ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ~~> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ) ) |
221 |
|
climcl |
|- ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ~~> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ) -> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ) e. CC ) |
222 |
220 221
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) /\ y e. S ) -> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ) e. CC ) |
223 |
222
|
fmpttd |
|- ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) -> ( y e. S |-> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ) ) : S --> CC ) |
224 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) -> S e. V ) |
225 |
1 212 113 213 218 223 224
|
ulm2 |
|- ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) -> ( F ( ~~>u ` S ) ( y e. S |-> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ) ) <-> A. r e. RR+ E. p e. Z A. q e. ( ZZ>= ` p ) A. w e. S ( abs ` ( ( ( F ` q ) ` w ) - ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` w ) ) ) ) ) < r ) ) |
226 |
211 225
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) -> F ( ~~>u ` S ) ( y e. S |-> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ) ) ) |
227 |
|
releldm |
|- ( ( Rel ( ~~>u ` S ) /\ F ( ~~>u ` S ) ( y e. S |-> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ) ) ) -> F e. dom ( ~~>u ` S ) ) |
228 |
65 226 227
|
sylancr |
|- ( ( ph /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) -> F e. dom ( ~~>u ` S ) ) |
229 |
228
|
ex |
|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x -> F e. dom ( ~~>u ` S ) ) ) |
230 |
64 229
|
impbid |
|- ( ph -> ( F e. dom ( ~~>u ` S ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) ) |