| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
wemapso.t |
⊢ 𝑇 = { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( 𝑥 ‘ 𝑧 ) 𝑆 ( 𝑦 ‘ 𝑧 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( 𝑤 𝑅 𝑧 → ( 𝑥 ‘ 𝑤 ) = ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) ) ) } |
| 2 |
|
wemapso2.u |
⊢ 𝑈 = { 𝑥 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍 } |
| 3 |
2
|
ssrab3 |
⊢ 𝑈 ⊆ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) |
| 4 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → 𝑅 Or 𝐴 ) |
| 5 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → 𝑆 Or 𝐵 ) |
| 6 |
|
simprll |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑎 ∈ 𝑈 ) |
| 7 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( 𝑥 finSupp 𝑍 ↔ 𝑎 finSupp 𝑍 ) ) |
| 8 |
7 2
|
elrab2 |
⊢ ( 𝑎 ∈ 𝑈 ↔ ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ 𝑎 finSupp 𝑍 ) ) |
| 9 |
8
|
simprbi |
⊢ ( 𝑎 ∈ 𝑈 → 𝑎 finSupp 𝑍 ) |
| 10 |
6 9
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑎 finSupp 𝑍 ) |
| 11 |
|
simprlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑏 ∈ 𝑈 ) |
| 12 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( 𝑥 finSupp 𝑍 ↔ 𝑏 finSupp 𝑍 ) ) |
| 13 |
12 2
|
elrab2 |
⊢ ( 𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ( 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ∧ 𝑏 finSupp 𝑍 ) ) |
| 14 |
13
|
simprbi |
⊢ ( 𝑏 ∈ 𝑈 → 𝑏 finSupp 𝑍 ) |
| 15 |
11 14
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑏 finSupp 𝑍 ) |
| 16 |
10 15
|
fsuppunfi |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ∈ Fin ) |
| 17 |
3 6
|
sselid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ) |
| 18 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) → 𝑎 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
| 19 |
17 18
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑎 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
| 20 |
19
|
ffnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑎 Fn 𝐴 ) |
| 21 |
3 11
|
sselid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) ) |
| 22 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐴 ) → 𝑏 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
| 23 |
21 22
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑏 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
| 24 |
23
|
ffnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑏 Fn 𝐴 ) |
| 25 |
|
fndmdif |
⊢ ( ( 𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴 ) → dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) = { 𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) } ) |
| 26 |
20 24 25
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) = { 𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) } ) |
| 27 |
|
neneor |
⊢ ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ∨ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) |
| 28 |
|
elun |
⊢ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ↔ ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∨ 𝑐 ∈ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) |
| 29 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝑐 ∈ 𝐴 ) |
| 30 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝑎 Fn 𝐴 ) |
| 31 |
|
elex |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V ) |
| 32 |
31
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) → 𝐴 ∈ V ) |
| 33 |
32
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → 𝐴 ∈ V ) |
| 34 |
33
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝐴 ∈ V ) |
| 35 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → 𝑍 ∈ 𝑊 ) |
| 36 |
35
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝑍 ∈ 𝑊 ) |
| 37 |
|
elsuppfn |
⊢ ( ( 𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) ) |
| 38 |
30 34 36 37
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) ) |
| 39 |
29 38
|
mpbirand |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) |
| 40 |
24
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝑏 Fn 𝐴 ) |
| 41 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
| 42 |
41
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
| 43 |
|
elsuppfn |
⊢ ( ( 𝑏 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) ) |
| 44 |
40 42 36 43
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) ) |
| 45 |
29 44
|
mpbirand |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) |
| 46 |
39 45
|
orbi12d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∨ 𝑐 ∈ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ↔ ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ∨ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) ) |
| 47 |
28 46
|
bitrid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑐 ∈ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ↔ ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ∨ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) ) |
| 48 |
27 47
|
syl5ibr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) ) |
| 49 |
48
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ∀ 𝑐 ∈ 𝐴 ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) ) |
| 50 |
|
rabss |
⊢ ( { 𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) } ⊆ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ↔ ∀ 𝑐 ∈ 𝐴 ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) ) |
| 51 |
49 50
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → { 𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ≠ ( 𝑏 ‘ 𝑐 ) } ⊆ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) |
| 52 |
26 51
|
eqsstrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ⊆ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) |
| 53 |
16 52
|
ssfid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ∈ Fin ) |
| 54 |
|
suppssdm |
⊢ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ⊆ dom 𝑎 |
| 55 |
54 19
|
fssdm |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ( 𝑎 supp 𝑍 ) ⊆ 𝐴 ) |
| 56 |
|
suppssdm |
⊢ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ⊆ dom 𝑏 |
| 57 |
56 23
|
fssdm |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ( 𝑏 supp 𝑍 ) ⊆ 𝐴 ) |
| 58 |
55 57
|
unssd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ⊆ 𝐴 ) |
| 59 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑅 Or 𝐴 ) |
| 60 |
|
soss |
⊢ ( ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ⊆ 𝐴 → ( 𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) ) |
| 61 |
58 59 60
|
sylc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑅 Or ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) |
| 62 |
|
wofi |
⊢ ( ( 𝑅 Or ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ∧ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ∈ Fin ) → 𝑅 We ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) |
| 63 |
61 16 62
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑅 We ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) |
| 64 |
|
wefr |
⊢ ( 𝑅 We ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) → 𝑅 Fr ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) |
| 65 |
63 64
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑅 Fr ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) |
| 66 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑎 ≠ 𝑏 ) |
| 67 |
|
fndmdifeq0 |
⊢ ( ( 𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴 ) → ( dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏 ) ) |
| 68 |
20 24 67
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ( dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏 ) ) |
| 69 |
68
|
necon3bid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ( dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ≠ ∅ ↔ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) |
| 70 |
66 69
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ≠ ∅ ) |
| 71 |
|
fri |
⊢ ( ( ( dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) ∧ ( dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ⊆ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ∧ dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ≠ ∅ ) ) → ∃ 𝑐 ∈ dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ∀ 𝑑 ∈ dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ¬ 𝑑 𝑅 𝑐 ) |
| 72 |
53 65 52 70 71
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ∀ 𝑑 ∈ dom ( 𝑎 ∖ 𝑏 ) ¬ 𝑑 𝑅 𝑐 ) |
| 73 |
1 3 4 5 72
|
wemapsolem |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → 𝑇 Or 𝑈 ) |