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Theorem wemapso2lem

Description: Lemma for wemapso2 . (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015) (Revised by AV, 1-Jul-2019)

Ref Expression
Hypotheses wemapso.t 𝑇 = { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ∃ 𝑧𝐴 ( ( 𝑥𝑧 ) 𝑆 ( 𝑦𝑧 ) ∧ ∀ 𝑤𝐴 ( 𝑤 𝑅 𝑧 → ( 𝑥𝑤 ) = ( 𝑦𝑤 ) ) ) }
wemapso2.u 𝑈 = { 𝑥 ∈ ( 𝐵m 𝐴 ) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍 }
Assertion wemapso2lem ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) → 𝑇 Or 𝑈 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 wemapso.t 𝑇 = { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ∃ 𝑧𝐴 ( ( 𝑥𝑧 ) 𝑆 ( 𝑦𝑧 ) ∧ ∀ 𝑤𝐴 ( 𝑤 𝑅 𝑧 → ( 𝑥𝑤 ) = ( 𝑦𝑤 ) ) ) }
2 wemapso2.u 𝑈 = { 𝑥 ∈ ( 𝐵m 𝐴 ) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍 }
3 2 ssrab3 𝑈 ⊆ ( 𝐵m 𝐴 )
4 simpl2 ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) → 𝑅 Or 𝐴 )
5 simpl3 ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) → 𝑆 Or 𝐵 )
6 simprll ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → 𝑎𝑈 )
7 breq1 ( 𝑥 = 𝑎 → ( 𝑥 finSupp 𝑍𝑎 finSupp 𝑍 ) )
8 7 2 elrab2 ( 𝑎𝑈 ↔ ( 𝑎 ∈ ( 𝐵m 𝐴 ) ∧ 𝑎 finSupp 𝑍 ) )
9 8 simprbi ( 𝑎𝑈𝑎 finSupp 𝑍 )
10 6 9 syl ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → 𝑎 finSupp 𝑍 )
11 simprlr ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → 𝑏𝑈 )
12 breq1 ( 𝑥 = 𝑏 → ( 𝑥 finSupp 𝑍𝑏 finSupp 𝑍 ) )
13 12 2 elrab2 ( 𝑏𝑈 ↔ ( 𝑏 ∈ ( 𝐵m 𝐴 ) ∧ 𝑏 finSupp 𝑍 ) )
14 13 simprbi ( 𝑏𝑈𝑏 finSupp 𝑍 )
15 11 14 syl ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → 𝑏 finSupp 𝑍 )
16 10 15 fsuppunfi ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ∈ Fin )
17 3 6 sselid ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐵m 𝐴 ) )
18 elmapi ( 𝑎 ∈ ( 𝐵m 𝐴 ) → 𝑎 : 𝐴𝐵 )
19 17 18 syl ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → 𝑎 : 𝐴𝐵 )
20 19 ffnd ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → 𝑎 Fn 𝐴 )
21 3 11 sselid ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐵m 𝐴 ) )
22 elmapi ( 𝑏 ∈ ( 𝐵m 𝐴 ) → 𝑏 : 𝐴𝐵 )
23 21 22 syl ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → 𝑏 : 𝐴𝐵 )
24 23 ffnd ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → 𝑏 Fn 𝐴 )
25 fndmdif ( ( 𝑎 Fn 𝐴𝑏 Fn 𝐴 ) → dom ( 𝑎𝑏 ) = { 𝑐𝐴 ∣ ( 𝑎𝑐 ) ≠ ( 𝑏𝑐 ) } )
26 20 24 25 syl2anc ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → dom ( 𝑎𝑏 ) = { 𝑐𝐴 ∣ ( 𝑎𝑐 ) ≠ ( 𝑏𝑐 ) } )
27 neneor ( ( 𝑎𝑐 ) ≠ ( 𝑏𝑐 ) → ( ( 𝑎𝑐 ) ≠ 𝑍 ∨ ( 𝑏𝑐 ) ≠ 𝑍 ) )
28 elun ( 𝑐 ∈ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ↔ ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∨ 𝑐 ∈ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) )
29 simpr ( ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) ∧ 𝑐𝐴 ) → 𝑐𝐴 )
30 20 adantr ( ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) ∧ 𝑐𝐴 ) → 𝑎 Fn 𝐴 )
31 elex ( 𝐴𝑉𝐴 ∈ V )
32 31 3ad2ant1 ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) → 𝐴 ∈ V )
33 32 adantr ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) → 𝐴 ∈ V )
34 33 ad2antrr ( ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) ∧ 𝑐𝐴 ) → 𝐴 ∈ V )
35 simpr ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) → 𝑍𝑊 )
36 35 ad2antrr ( ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) ∧ 𝑐𝐴 ) → 𝑍𝑊 )
37 elsuppfn ( ( 𝑎 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 𝑍𝑊 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑐𝐴 ∧ ( 𝑎𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) )
38 30 34 36 37 syl3anc ( ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) ∧ 𝑐𝐴 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑐𝐴 ∧ ( 𝑎𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) )
39 29 38 mpbirand ( ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) ∧ 𝑐𝐴 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑎𝑐 ) ≠ 𝑍 ) )
40 24 adantr ( ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) ∧ 𝑐𝐴 ) → 𝑏 Fn 𝐴 )
41 simpll1 ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → 𝐴𝑉 )
42 41 adantr ( ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) ∧ 𝑐𝐴 ) → 𝐴𝑉 )
43 elsuppfn ( ( 𝑏 Fn 𝐴𝐴𝑉𝑍𝑊 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑐𝐴 ∧ ( 𝑏𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) )
44 40 42 36 43 syl3anc ( ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) ∧ 𝑐𝐴 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑐𝐴 ∧ ( 𝑏𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) )
45 29 44 mpbirand ( ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) ∧ 𝑐𝐴 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑏𝑐 ) ≠ 𝑍 ) )
46 39 45 orbi12d ( ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) ∧ 𝑐𝐴 ) → ( ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∨ 𝑐 ∈ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ↔ ( ( 𝑎𝑐 ) ≠ 𝑍 ∨ ( 𝑏𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) )
47 28 46 syl5bb ( ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) ∧ 𝑐𝐴 ) → ( 𝑐 ∈ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ↔ ( ( 𝑎𝑐 ) ≠ 𝑍 ∨ ( 𝑏𝑐 ) ≠ 𝑍 ) ) )
48 27 47 syl5ibr ( ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) ∧ 𝑐𝐴 ) → ( ( 𝑎𝑐 ) ≠ ( 𝑏𝑐 ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) )
49 48 ralrimiva ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → ∀ 𝑐𝐴 ( ( 𝑎𝑐 ) ≠ ( 𝑏𝑐 ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) )
50 rabss ( { 𝑐𝐴 ∣ ( 𝑎𝑐 ) ≠ ( 𝑏𝑐 ) } ⊆ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ↔ ∀ 𝑐𝐴 ( ( 𝑎𝑐 ) ≠ ( 𝑏𝑐 ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) )
51 49 50 sylibr ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → { 𝑐𝐴 ∣ ( 𝑎𝑐 ) ≠ ( 𝑏𝑐 ) } ⊆ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) )
52 26 51 eqsstrd ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → dom ( 𝑎𝑏 ) ⊆ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) )
53 16 52 ssfid ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → dom ( 𝑎𝑏 ) ∈ Fin )
54 suppssdm ( 𝑎 supp 𝑍 ) ⊆ dom 𝑎
55 54 19 fssdm ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → ( 𝑎 supp 𝑍 ) ⊆ 𝐴 )
56 suppssdm ( 𝑏 supp 𝑍 ) ⊆ dom 𝑏
57 56 23 fssdm ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → ( 𝑏 supp 𝑍 ) ⊆ 𝐴 )
58 55 57 unssd ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ⊆ 𝐴 )
59 4 adantr ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → 𝑅 Or 𝐴 )
60 soss ( ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ⊆ 𝐴 → ( 𝑅 Or 𝐴𝑅 Or ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) )
61 58 59 60 sylc ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → 𝑅 Or ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) )
62 wofi ( ( 𝑅 Or ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ∧ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ∈ Fin ) → 𝑅 We ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) )
63 61 16 62 syl2anc ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → 𝑅 We ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) )
64 wefr ( 𝑅 We ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) → 𝑅 Fr ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) )
65 63 64 syl ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → 𝑅 Fr ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) )
66 simprr ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → 𝑎𝑏 )
67 fndmdifeq0 ( ( 𝑎 Fn 𝐴𝑏 Fn 𝐴 ) → ( dom ( 𝑎𝑏 ) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏 ) )
68 20 24 67 syl2anc ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → ( dom ( 𝑎𝑏 ) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏 ) )
69 68 necon3bid ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → ( dom ( 𝑎𝑏 ) ≠ ∅ ↔ 𝑎𝑏 ) )
70 66 69 mpbird ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → dom ( 𝑎𝑏 ) ≠ ∅ )
71 fri ( ( ( dom ( 𝑎𝑏 ) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ) ∧ ( dom ( 𝑎𝑏 ) ⊆ ( ( 𝑎 supp 𝑍 ) ∪ ( 𝑏 supp 𝑍 ) ) ∧ dom ( 𝑎𝑏 ) ≠ ∅ ) ) → ∃ 𝑐 ∈ dom ( 𝑎𝑏 ) ∀ 𝑑 ∈ dom ( 𝑎𝑏 ) ¬ 𝑑 𝑅 𝑐 )
72 53 65 52 70 71 syl22anc ( ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) ∧ ( ( 𝑎𝑈𝑏𝑈 ) ∧ 𝑎𝑏 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ dom ( 𝑎𝑏 ) ∀ 𝑑 ∈ dom ( 𝑎𝑏 ) ¬ 𝑑 𝑅 𝑐 )
73 1 3 4 5 72 wemapsolem ( ( ( 𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵 ) ∧ 𝑍𝑊 ) → 𝑇 Or 𝑈 )