Theorem infdif 8610

Description: The cardinality of an infinite set does not change after subtracting a strictly smaller one. Example in [Enderton] p. 164. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdif

Proof of Theorem infdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 996	. . 3
2		difss 3630	. . 3
3		ssdomg 7581	. . 3
4	1, 2, 3	mpisyl 18	. 2
5		sdomdom 7563	. . . . . . . . 9
6	5	3ad2ant3 1019	. . . . . . . 8
7		numdom 8440	. . . . . . . 8
8	1, 6, 7	syl2anc 661	. . . . . . 7
9		unnum 8601	. . . . . . 7
10	1, 8, 9	syl2anc 661	. . . . . 6
11		ssun1 3666	. . . . . 6
12		ssdomg 7581	. . . . . 6
13	10, 11, 12	mpisyl 18	. . . . 5
14		undif1 3903	. . . . . 6
15		ssnum 8441	. . . . . . . 8
16	1, 2, 15	sylancl 662	. . . . . . 7
17		uncdadom 8572	. . . . . . 7
18	16, 8, 17	syl2anc 661	. . . . . 6
19	14, 18	syl5eqbrr 4486	. . . . 5
20		domtr 7588	. . . . 5
21	13, 19, 20	syl2anc 661	. . . 4
22		simp3 998	. . . . . . 7
23		sdomdom 7563	. . . . . . . . 9
24		cdadom1 8587	. . . . . . . . 9
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . 8
26		domtr 7588	. . . . . . . . . . 11
27	26	ex 434	. . . . . . . . . 10
28	21, 27	syl 16	. . . . . . . . 9
29		simp2 997	. . . . . . . . . . . 12
30		domtr 7588	. . . . . . . . . . . . 13
31	30	ex 434	. . . . . . . . . . . 12
32	29, 31	syl 16	. . . . . . . . . . 11
33		cdainf 8593	. . . . . . . . . . . . 13
34	33	biimpri 206	. . . . . . . . . . . 12
35		domrefg 7570	. . . . . . . . . . . . 13
36		infcdaabs 8607	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	3com23 1202	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	3expia 1198	. . . . . . . . . . . . 13
39	35, 38	mpdan 668	. . . . . . . . . . . 12
40	8, 34, 39	syl2im 38	. . . . . . . . . . 11
41	32, 40	syld 44	. . . . . . . . . 10
42		domen2 7680	. . . . . . . . . . 11
43	42	biimpcd 224	. . . . . . . . . 10
44	41, 43	sylcom 29	. . . . . . . . 9
45	28, 44	syld 44	. . . . . . . 8
46		domnsym 7663	. . . . . . . 8
47	25, 45, 46	syl56 34	. . . . . . 7
48	22, 47	mt2d 117	. . . . . 6
49		domtri2 8391	. . . . . . 7
50	8, 16, 49	syl2anc 661	. . . . . 6
51	48, 50	mpbird 232	. . . . 5
52		cdadom2 8588	. . . . 5
53	51, 52	syl 16	. . . 4
54		domtr 7588	. . . 4
55	21, 53, 54	syl2anc 661	. . 3
56		domtr 7588	. . . . . 6
57	29, 55, 56	syl2anc 661	. . . . 5
58		cdainf 8593	. . . . 5
59	57, 58	sylibr 212	. . . 4
60		domrefg 7570	. . . . 5
61	16, 60	syl 16	. . . 4
62		infcdaabs 8607	. . . 4
63	16, 59, 61, 62	syl3anc 1228	. . 3
64		domentr 7594	. . 3
65	55, 63, 64	syl2anc 661	. 2
66		sbth 7657	. 2
67	4, 65, 66	syl2anc 661	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\w3a 973  e.wcel 1818  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   class class class wbr 4452  domcdm 5004  (class class class)co 6296  com 6700  cen 7533  cdom 7534  csdm 7535  ccrd 8337  ccda 8568

This theorem is referenced by:  infdif2  8611  alephsuc3  8976  aleph1irr  13979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569