Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumclim3 Unicode version

Theorem isumclim3 13574
 Description: The sequence of partial finite sums of a converging infinite series converge to the infinite sum of the series. Note that must not occur in . (Contributed by NM, 9-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumclim3.1
isumclim3.2
isumclim3.3
isumclim3.4
isumclim3.5
Assertion
Ref Expression
isumclim3
Distinct variable groups:   ,   ,,M   ,,   ,,   ,

Proof of Theorem isumclim3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumclim3.3 . . 3
2 climdm 13377 . . 3
31, 2sylib 196 . 2
4 sumfc 13531 . . . 4
5 isumclim3.1 . . . . 5
6 isumclim3.2 . . . . 5
7 eqidd 2458 . . . . 5
8 isumclim3.4 . . . . . . 7
9 eqid 2457 . . . . . . 7
108, 9fmptd 6055 . . . . . 6
1110ffvelrnda 6031 . . . . 5
125, 6, 7, 11isum 13541 . . . 4
134, 12syl5eqr 2512 . . 3
14 seqex 12109 . . . . . . 7
1514a1i 11 . . . . . 6
16 isumclim3.5 . . . . . . 7
17 fzssuz 11753 . . . . . . . . . . . . . 14
1817, 5sseqtr4i 3536 . . . . . . . . . . . . 13
19 resmpt 5328 . . . . . . . . . . . . 13
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
2120fveq1i 5872 . . . . . . . . . . 11
22 fvres 5885 . . . . . . . . . . 11
2321, 22syl5reqr 2513 . . . . . . . . . 10
2423sumeq2i 13521 . . . . . . . . 9
25 sumfc 13531 . . . . . . . . 9
2624, 25eqtri 2486 . . . . . . . 8
27 eqidd 2458 . . . . . . . . 9
28 simpr 461 . . . . . . . . . 10
2928, 5syl6eleq 2555 . . . . . . . . 9
30 simpl 457 . . . . . . . . . 10
31 elfzuz 11713 . . . . . . . . . . 11
3231, 5syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . 10
3330, 32, 11syl2an 477 . . . . . . . . 9
3427, 29, 33fsumser 13552 . . . . . . . 8
3526, 34syl5eqr 2512 . . . . . . 7
3616, 35eqtr2d 2499 . . . . . 6
375, 15, 1, 6, 36climeq 13390 . . . . 5
3837iotabidv 5577 . . . 4
39 df-fv 5601 . . . 4
40 df-fv 5601 . . . 4
4138, 39, 403eqtr4g 2523 . . 3
4213, 41eqtrd 2498 . 2
433, 42breqtrrd 4478 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  |cres 5006  iotacio 5554  cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   caddc 9516   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   cli 13307  sum_csu 13508 This theorem is referenced by:  esumcvg  28092 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
 Copyright terms: Public domain W3C validator