Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumless Unicode version

Theorem isumless 13657
 Description: A finite sum of nonnegative numbers is less or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumless.1
isumless.2
isumless.3
isumless.4
isumless.5
isumless.6
isumless.7
isumless.8
Assertion
Ref Expression
isumless
Distinct variable groups:   ,   ,   ,M   ,   ,

Proof of Theorem isumless
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumless.4 . . 3
21sselda 3503 . . . . 5
3 isumless.6 . . . . . 6
43recnd 9643 . . . . 5
52, 4syldan 470 . . . 4
65ralrimiva 2871 . . 3
7 isumless.1 . . . . . 6
87eqimssi 3557 . . . . 5
98orci 390 . . . 4
109a1i 11 . . 3
11 sumss2 13548 . . 3
121, 6, 10, 11syl21anc 1227 . 2
13 isumless.2 . . 3
14 eleq1 2529 . . . . . . 7
15 fveq2 5871 . . . . . . 7
1614, 15ifbieq1d 3964 . . . . . 6
17 eqid 2457 . . . . . 6
18 fvex 5881 . . . . . . 7
19 c0ex 9611 . . . . . . 7
2018, 19ifex 4010 . . . . . 6
2116, 17, 20fvmpt 5956 . . . . 5
2221adantl 466 . . . 4
23 isumless.5 . . . . 5
2423ifeq1d 3959 . . . 4
2522, 24eqtrd 2498 . . 3
26 0re 9617 . . . 4
27 ifcl 3983 . . . 4
283, 26, 27sylancl 662 . . 3
29 isumless.7 . . . 4
30 leid 9701 . . . . 5
31 breq1 4455 . . . . . 6
32 breq1 4455 . . . . . 6
3331, 32ifboth 3977 . . . . 5
3430, 33sylan 471 . . . 4
353, 29, 34syl2anc 661 . . 3
36 isumless.3 . . . 4
377, 13, 36, 1, 25, 5fsumcvg3 13551 . . 3
38 isumless.8 . . 3
397, 13, 25, 28, 23, 3, 35, 37, 38isumle 13656 . 2
4012, 39eqbrtrd 4472 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  cfv 5593   cfn 7536   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cle 9650   cz 10889   cuz 11110  seqcseq 12107   cli 13307  sum_`csu 13508 This theorem is referenced by:  isumltss  13660  climcnds  13663  harmonic  13670  mertenslem1  13693  prmreclem5  14438  ovoliunlem1  21913  ovoliun2  21917  esumpcvgval  28084  eulerpartlems  28299  geomcau  30252 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509
 Copyright terms: Public domain W3C validator