Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsup2 Unicode version

Theorem isumsup2 13658
 Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsup.1
isumsup.2
isumsup.3
isumsup.4
isumsup.5
isumsup.6
isumsup.7
Assertion
Ref Expression
isumsup2
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,M,,   ,,   ,,,   ,,

Proof of Theorem isumsup2
StepHypRef Expression
1 isumsup.1 . 2
2 isumsup.3 . 2
3 isumsup.4 . . . . 5
4 isumsup.5 . . . . 5
53, 4eqeltrd 2545 . . . 4
61, 2, 5serfre 12136 . . 3
7 isumsup.2 . . . 4
87feq1i 5728 . . 3
96, 8sylibr 212 . 2
10 simpr 461 . . . . 5
1110, 1syl6eleq 2555 . . . 4
12 eluzelz 11119 . . . . 5
13 uzid 11124 . . . . 5
14 peano2uz 11163 . . . . 5
1511, 12, 13, 144syl 21 . . . 4
16 simpl 457 . . . . 5
17 elfzuz 11713 . . . . . 6
1817, 1syl6eleqr 2556 . . . . 5
1916, 18, 5syl2an 477 . . . 4
201peano2uzs 11164 . . . . . . 7
2120adantl 466 . . . . . 6
22 elfzuz 11713 . . . . . 6
231uztrn2 11127 . . . . . 6
2421, 22, 23syl2an 477 . . . . 5
25 isumsup.6 . . . . . . 7
2625, 3breqtrrd 4478 . . . . . 6
2726adantlr 714 . . . . 5
2824, 27syldan 470 . . . 4
2911, 15, 19, 28sermono 12139 . . 3
307fveq1i 5872 . . 3
317fveq1i 5872 . . 3
3229, 30, 313brtr4g 4484 . 2
33 isumsup.7 . 2
341, 2, 9, 32, 33climsup 13492 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  rancrn 5005  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seq`cseq 12107   cli 13307 This theorem is referenced by:  isumsup  13659  ovoliunlem1  21913  ioombl1lem4  21971  uniioombllem2  21992  uniioombllem6  21997 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311
 Copyright terms: Public domain W3C validator