Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2ndctop |
|- ( J e. 2ndc -> J e. Top ) |
2 |
|
is2ndc |
|- ( J e. 2ndc <-> E. b e. TopBases ( b ~<_ _om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) |
3 |
|
ssrab2 |
|- { q e. b | x e. q } C_ b |
4 |
|
bastg |
|- ( b e. TopBases -> b C_ ( topGen ` b ) ) |
5 |
4
|
3ad2ant1 |
|- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ _om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> b C_ ( topGen ` b ) ) |
6 |
3 5
|
sstrid |
|- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ _om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } C_ ( topGen ` b ) ) |
7 |
|
fvex |
|- ( topGen ` b ) e. _V |
8 |
7
|
elpw2 |
|- ( { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) <-> { q e. b | x e. q } C_ ( topGen ` b ) ) |
9 |
6 8
|
sylibr |
|- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ _om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) ) |
10 |
|
vex |
|- b e. _V |
11 |
|
ssdomg |
|- ( b e. _V -> ( { q e. b | x e. q } C_ b -> { q e. b | x e. q } ~<_ b ) ) |
12 |
10 3 11
|
mp2 |
|- { q e. b | x e. q } ~<_ b |
13 |
|
simp2 |
|- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ _om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> b ~<_ _om ) |
14 |
|
domtr |
|- ( ( { q e. b | x e. q } ~<_ b /\ b ~<_ _om ) -> { q e. b | x e. q } ~<_ _om ) |
15 |
12 13 14
|
sylancr |
|- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ _om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } ~<_ _om ) |
16 |
|
eltg2b |
|- ( b e. TopBases -> ( o e. ( topGen ` b ) <-> A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) ) ) |
17 |
16
|
3ad2ant1 |
|- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ _om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( o e. ( topGen ` b ) <-> A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) ) ) |
18 |
|
elequ1 |
|- ( y = x -> ( y e. t <-> x e. t ) ) |
19 |
18
|
anbi1d |
|- ( y = x -> ( ( y e. t /\ t C_ o ) <-> ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) |
20 |
19
|
rexbidv |
|- ( y = x -> ( E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) <-> E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) |
21 |
20
|
rspccv |
|- ( A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) -> ( x e. o -> E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) |
22 |
|
id |
|- ( ( t e. b /\ x e. t ) -> ( t e. b /\ x e. t ) ) |
23 |
22
|
adantrr |
|- ( ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> ( t e. b /\ x e. t ) ) |
24 |
|
elequ2 |
|- ( q = t -> ( x e. q <-> x e. t ) ) |
25 |
24
|
elrab |
|- ( t e. { q e. b | x e. q } <-> ( t e. b /\ x e. t ) ) |
26 |
23 25
|
sylibr |
|- ( ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> t e. { q e. b | x e. q } ) |
27 |
|
simprr |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ _om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> ( x e. t /\ t C_ o ) ) |
28 |
|
elequ2 |
|- ( p = t -> ( x e. p <-> x e. t ) ) |
29 |
|
sseq1 |
|- ( p = t -> ( p C_ o <-> t C_ o ) ) |
30 |
28 29
|
anbi12d |
|- ( p = t -> ( ( x e. p /\ p C_ o ) <-> ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) |
31 |
30
|
rspcev |
|- ( ( t e. { q e. b | x e. q } /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) |
32 |
26 27 31
|
syl2an2 |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ _om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) |
33 |
32
|
rexlimdvaa |
|- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ _om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) |
34 |
21 33
|
syl9r |
|- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ _om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) -> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) |
35 |
17 34
|
sylbid |
|- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ _om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( o e. ( topGen ` b ) -> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) |
36 |
35
|
ralrimiv |
|- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ _om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) |
37 |
|
breq1 |
|- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( s ~<_ _om <-> { q e. b | x e. q } ~<_ _om ) ) |
38 |
|
rexeq |
|- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) <-> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) |
39 |
38
|
imbi2d |
|- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) |
40 |
39
|
ralbidv |
|- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) |
41 |
37 40
|
anbi12d |
|- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( ( s ~<_ _om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> ( { q e. b | x e. q } ~<_ _om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) |
42 |
41
|
rspcev |
|- ( ( { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) /\ ( { q e. b | x e. q } ~<_ _om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ _om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) |
43 |
9 15 36 42
|
syl12anc |
|- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ _om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ _om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) |
44 |
43
|
3expia |
|- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ _om ) -> ( x e. U. ( topGen ` b ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ _om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) |
45 |
|
unieq |
|- ( ( topGen ` b ) = J -> U. ( topGen ` b ) = U. J ) |
46 |
45
|
eleq2d |
|- ( ( topGen ` b ) = J -> ( x e. U. ( topGen ` b ) <-> x e. U. J ) ) |
47 |
|
pweq |
|- ( ( topGen ` b ) = J -> ~P ( topGen ` b ) = ~P J ) |
48 |
|
raleq |
|- ( ( topGen ` b ) = J -> ( A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) |
49 |
48
|
anbi2d |
|- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( s ~<_ _om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> ( s ~<_ _om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) |
50 |
47 49
|
rexeqbidv |
|- ( ( topGen ` b ) = J -> ( E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ _om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> E. s e. ~P J ( s ~<_ _om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) |
51 |
46 50
|
imbi12d |
|- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( x e. U. ( topGen ` b ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ _om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) <-> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ _om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) ) |
52 |
44 51
|
syl5ibcom |
|- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ _om ) -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ _om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) ) |
53 |
52
|
expimpd |
|- ( b e. TopBases -> ( ( b ~<_ _om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ _om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) ) |
54 |
53
|
rexlimiv |
|- ( E. b e. TopBases ( b ~<_ _om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ _om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) |
55 |
2 54
|
sylbi |
|- ( J e. 2ndc -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ _om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) |
56 |
55
|
ralrimiv |
|- ( J e. 2ndc -> A. x e. U. J E. s e. ~P J ( s ~<_ _om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) |
57 |
|
eqid |
|- U. J = U. J |
58 |
57
|
is1stc2 |
|- ( J e. 1stc <-> ( J e. Top /\ A. x e. U. J E. s e. ~P J ( s ~<_ _om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) |
59 |
1 56 58
|
sylanbrc |
|- ( J e. 2ndc -> J e. 1stc ) |