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Theorem cdlemg2fv2

Description: Value of a translation in terms of an associated atom. TODO: FIX COMMENT. TODO: Is this useful elsewhere e.g. around cdlemeg46fjv that use more complex proofs? TODO: Use ltrnj to vastly simplify. (Contributed by NM, 23-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg2inv.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg2inv.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg2j.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg2j.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg2j.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg2j.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg2j.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
Assertion cdlemg2fv2 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( F ` ( R .\/ U ) ) = ( ( F ` R ) .\/ U ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg2inv.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 cdlemg2inv.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3 cdlemg2j.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
4 cdlemg2j.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
5 cdlemg2j.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemg2j.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
7 cdlemg2j.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9 simp23 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
10 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> K e. HL )
11 10 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> K e. Lat )
12 simp23l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> R e. A )
13 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
14 13 5 atbase 
 |-  ( R e. A -> R e. ( Base ` K ) )
15 12 14 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> R e. ( Base ` K ) )
16 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> W e. H )
17 simp21l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> P e. A )
18 simp22l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> Q e. A )
19 3 4 6 5 1 7 13 cdleme0aa 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> U e. ( Base ` K ) )
20 10 16 17 18 19 syl211anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> U e. ( Base ` K ) )
21 13 4 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ R e. ( Base ` K ) /\ U e. ( Base ` K ) ) -> ( R .\/ U ) e. ( Base ` K ) )
22 11 15 20 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( R .\/ U ) e. ( Base ` K ) )
23 simp23r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> -. R .<_ W )
24 13 3 4 latlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ R e. ( Base ` K ) /\ U e. ( Base ` K ) ) -> R .<_ ( R .\/ U ) )
25 11 15 20 24 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> R .<_ ( R .\/ U ) )
26 13 1 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
27 16 26 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> W e. ( Base ` K ) )
28 13 3 lattr 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( R e. ( Base ` K ) /\ ( R .\/ U ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( R .<_ ( R .\/ U ) /\ ( R .\/ U ) .<_ W ) -> R .<_ W ) )
29 11 15 22 27 28 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( R .<_ ( R .\/ U ) /\ ( R .\/ U ) .<_ W ) -> R .<_ W ) )
30 25 29 mpand 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( R .\/ U ) .<_ W -> R .<_ W ) )
31 23 30 mtod 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> -. ( R .\/ U ) .<_ W )
32 22 31 jca 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( R .\/ U ) e. ( Base ` K ) /\ -. ( R .\/ U ) .<_ W ) )
33 simp3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> F e. T )
34 eqid 
 |-  ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
35 3 6 34 5 1 lhpmat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( R ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
36 8 9 35 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( R ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
37 36 oveq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( R ./\ W ) .\/ U ) = ( ( 0. ` K ) .\/ U ) )
38 13 4 5 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
39 10 17 18 38 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
40 13 3 6 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W )
41 11 39 27 40 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W )
42 7 41 eqbrtrid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> U .<_ W )
43 13 3 4 6 5 atmod4i2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( R e. A /\ U e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) /\ U .<_ W ) -> ( ( R ./\ W ) .\/ U ) = ( ( R .\/ U ) ./\ W ) )
44 10 12 20 27 42 43 syl131anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( R ./\ W ) .\/ U ) = ( ( R .\/ U ) ./\ W ) )
45 hlol 
 |-  ( K e. HL -> K e. OL )
46 10 45 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> K e. OL )
47 13 4 34 olj02 
 |-  ( ( K e. OL /\ U e. ( Base ` K ) ) -> ( ( 0. ` K ) .\/ U ) = U )
48 46 20 47 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( 0. ` K ) .\/ U ) = U )
49 37 44 48 3eqtr3d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( R .\/ U ) ./\ W ) = U )
50 49 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( R .\/ ( ( R .\/ U ) ./\ W ) ) = ( R .\/ U ) )
51 1 2 3 4 5 6 13 cdlemg2fv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( ( R .\/ U ) e. ( Base ` K ) /\ -. ( R .\/ U ) .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ ( R .\/ ( ( R .\/ U ) ./\ W ) ) = ( R .\/ U ) ) ) -> ( F ` ( R .\/ U ) ) = ( ( F ` R ) .\/ ( ( R .\/ U ) ./\ W ) ) )
52 8 9 32 33 50 51 syl122anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( F ` ( R .\/ U ) ) = ( ( F ` R ) .\/ ( ( R .\/ U ) ./\ W ) ) )
53 49 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( F ` R ) .\/ ( ( R .\/ U ) ./\ W ) ) = ( ( F ` R ) .\/ U ) )
54 52 53 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( F ` ( R .\/ U ) ) = ( ( F ` R ) .\/ U ) )