Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemi.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
cdlemi.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
cdlemi.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
cdlemi.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
cdlemi.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
cdlemi.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
7 |
|
cdlemi.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
8 |
|
cdlemi.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
9 |
|
cdlemi.e |
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W ) |
10 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. HL ) |
11 |
10
|
hllatd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. Lat ) |
12 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
13 |
|
simp2l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> U e. E ) |
14 |
|
simp2r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T ) |
15 |
6 7 9
|
tendocl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ G e. T ) -> ( U ` G ) e. T ) |
16 |
12 13 14 15
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` G ) e. T ) |
17 |
|
simp3l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A ) |
18 |
1 5
|
atbase |
|- ( P e. A -> P e. B ) |
19 |
17 18
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. B ) |
20 |
1 6 7
|
ltrncl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U ` G ) e. T /\ P e. B ) -> ( ( U ` G ) ` P ) e. B ) |
21 |
12 16 19 20
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) e. B ) |
22 |
1 6 7 8
|
trlcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U ` G ) e. T ) -> ( R ` ( U ` G ) ) e. B ) |
23 |
12 16 22
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( U ` G ) ) e. B ) |
24 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ ( R ` ( U ` G ) ) e. B ) -> ( P .\/ ( R ` ( U ` G ) ) ) e. B ) |
25 |
11 19 23 24
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( R ` ( U ` G ) ) ) e. B ) |
26 |
1 6 7 8
|
trlcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) e. B ) |
27 |
12 14 26
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` G ) e. B ) |
28 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ ( R ` G ) e. B ) -> ( P .\/ ( R ` G ) ) e. B ) |
29 |
11 19 27 28
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( R ` G ) ) e. B ) |
30 |
1 2 3
|
latlej2 |
|- ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ ( ( U ` G ) ` P ) e. B ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ) |
31 |
11 19 21 30
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ) |
32 |
2 3 4 5 6 7 8
|
trlval2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U ` G ) e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( U ` G ) ) = ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ W ) ) |
33 |
16 32
|
syld3an2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( U ` G ) ) = ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ W ) ) |
34 |
33
|
oveq2d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( R ` ( U ` G ) ) ) = ( P .\/ ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ W ) ) ) |
35 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ ( ( U ` G ) ` P ) e. B ) -> ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) e. B ) |
36 |
11 19 21 35
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) e. B ) |
37 |
|
simp1r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. H ) |
38 |
1 6
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. B ) |
39 |
37 38
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. B ) |
40 |
1 2 3
|
latlej1 |
|- ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ ( ( U ` G ) ` P ) e. B ) -> P .<_ ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ) |
41 |
11 19 21 40
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P .<_ ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ) |
42 |
1 2 3 4 5
|
atmod3i1 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) e. B /\ W e. B ) /\ P .<_ ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ W ) ) = ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ ( P .\/ W ) ) ) |
43 |
10 17 36 39 41 42
|
syl131anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ W ) ) = ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ ( P .\/ W ) ) ) |
44 |
|
eqid |
|- ( 1. ` K ) = ( 1. ` K ) |
45 |
2 3 44 5 6
|
lhpjat2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ W ) = ( 1. ` K ) ) |
46 |
45
|
3adant2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ W ) = ( 1. ` K ) ) |
47 |
46
|
oveq2d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ ( P .\/ W ) ) = ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ ( 1. ` K ) ) ) |
48 |
|
hlol |
|- ( K e. HL -> K e. OL ) |
49 |
10 48
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. OL ) |
50 |
1 4 44
|
olm11 |
|- ( ( K e. OL /\ ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) e. B ) -> ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ ( 1. ` K ) ) = ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ) |
51 |
49 36 50
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ ( 1. ` K ) ) = ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ) |
52 |
47 51
|
eqtrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ ( P .\/ W ) ) = ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ) |
53 |
34 43 52
|
3eqtrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( R ` ( U ` G ) ) ) = ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ) |
54 |
31 53
|
breqtrrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( R ` ( U ` G ) ) ) ) |
55 |
2 6 7 8 9
|
tendotp |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ G e. T ) -> ( R ` ( U ` G ) ) .<_ ( R ` G ) ) |
56 |
12 13 14 55
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( U ` G ) ) .<_ ( R ` G ) ) |
57 |
1 2 3
|
latjlej2 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( ( R ` ( U ` G ) ) e. B /\ ( R ` G ) e. B /\ P e. B ) ) -> ( ( R ` ( U ` G ) ) .<_ ( R ` G ) -> ( P .\/ ( R ` ( U ` G ) ) ) .<_ ( P .\/ ( R ` G ) ) ) ) |
58 |
11 23 27 19 57
|
syl13anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( R ` ( U ` G ) ) .<_ ( R ` G ) -> ( P .\/ ( R ` ( U ` G ) ) ) .<_ ( P .\/ ( R ` G ) ) ) ) |
59 |
56 58
|
mpd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( R ` ( U ` G ) ) ) .<_ ( P .\/ ( R ` G ) ) ) |
60 |
1 2 11 21 25 29 54 59
|
lattrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( R ` G ) ) ) |