Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemi.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
cdlemi.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
cdlemi.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
cdlemi.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
cdlemi.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
6 |
|
cdlemi.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
7 |
|
cdlemi.t |
⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
8 |
|
cdlemi.r |
⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
9 |
|
cdlemi.e |
⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
10 |
|
simp1l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
11 |
10
|
hllatd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
12 |
|
simp1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
13 |
|
simp2l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐸 ) |
14 |
|
simp2r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 ) |
15 |
6 7 9
|
tendocl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) |
16 |
12 13 14 15
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) |
17 |
|
simp3l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
18 |
1 5
|
atbase |
⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
19 |
17 18
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
20 |
1 6 7
|
ltrncl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ) |
21 |
12 16 19 20
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ) |
22 |
1 6 7 8
|
trlcl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) |
23 |
12 16 22
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) |
24 |
1 3
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) ) ∈ 𝐵 ) |
25 |
11 19 23 24
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) ) ∈ 𝐵 ) |
26 |
1 6 7 8
|
trlcl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 ) |
27 |
12 14 26
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 ) |
28 |
1 3
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) |
29 |
11 19 27 28
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) |
30 |
1 2 3
|
latlej2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ) |
31 |
11 19 21 30
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ) |
32 |
2 3 4 5 6 7 8
|
trlval2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ∧ 𝑊 ) ) |
33 |
16 32
|
syld3an2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ∧ 𝑊 ) ) |
34 |
33
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) ) = ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ∧ 𝑊 ) ) ) |
35 |
1 3
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ∈ 𝐵 ) |
36 |
11 19 21 35
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ∈ 𝐵 ) |
37 |
|
simp1r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 ) |
38 |
1 6
|
lhpbase |
⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵 ) |
39 |
37 38
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 ) |
40 |
1 2 3
|
latlej1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ) → 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ) |
41 |
11 19 21 40
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ) |
42 |
1 2 3 4 5
|
atmod3i1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ∧ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑊 ) ) ) |
43 |
10 17 36 39 41 42
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ∧ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑊 ) ) ) |
44 |
|
eqid |
⊢ ( 1. ‘ 𝐾 ) = ( 1. ‘ 𝐾 ) |
45 |
2 3 44 5 6
|
lhpjat2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑊 ) = ( 1. ‘ 𝐾 ) ) |
46 |
45
|
3adant2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑊 ) = ( 1. ‘ 𝐾 ) ) |
47 |
46
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( 1. ‘ 𝐾 ) ) ) |
48 |
|
hlol |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL ) |
49 |
10 48
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ OL ) |
50 |
1 4 44
|
olm11 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( 1. ‘ 𝐾 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ) |
51 |
49 36 50
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( 1. ‘ 𝐾 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ) |
52 |
47 51
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ) |
53 |
34 43 52
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) ) = ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ) ) |
54 |
31 53
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
55 |
2 6 7 8 9
|
tendotp |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) |
56 |
12 13 14 55
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) |
57 |
1 2 3
|
latjlej2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
58 |
11 23 27 19 57
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
59 |
56 58
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) |
60 |
1 2 11 21 25 29 54 59
|
lattrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) |