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Theorem cdlemi2

Description: Part of proof of Lemma I of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 18-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemi.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemi.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemi.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemi.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemi.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemi.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemi.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemi.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemi.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
Assertion cdlemi2 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemi.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemi.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemi.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemi.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemi.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemi.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemi.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemi.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
9 cdlemi.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
10 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. HL )
11 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. H )
12 simp21 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> U e. E )
13 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
14 simp23 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
15 simp22 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F e. T )
16 6 7 ltrncnv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )
17 13 15 16 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> `' F e. T )
18 6 7 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' F e. T ) -> ( G o. `' F ) e. T )
19 13 14 17 18 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. `' F ) e. T )
20 6 7 9 tendovalco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ U e. E ) /\ ( ( G o. `' F ) e. T /\ F e. T ) ) -> ( U ` ( ( G o. `' F ) o. F ) ) = ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) )
21 10 11 12 19 15 20 syl32anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` ( ( G o. `' F ) o. F ) ) = ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) )
22 coass 
 |-  ( ( G o. `' F ) o. F ) = ( G o. ( `' F o. F ) )
23 1 6 7 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : B -1-1-onto-> B )
24 13 15 23 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )
25 f1ococnv1 
 |-  ( F : B -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` B ) )
26 24 25 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` B ) )
27 26 coeq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. ( `' F o. F ) ) = ( G o. ( _I |` B ) ) )
28 1 6 7 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> G : B -1-1-onto-> B )
29 13 14 28 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G : B -1-1-onto-> B )
30 f1of 
 |-  ( G : B -1-1-onto-> B -> G : B --> B )
31 fcoi1 
 |-  ( G : B --> B -> ( G o. ( _I |` B ) ) = G )
32 29 30 31 3syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. ( _I |` B ) ) = G )
33 27 32 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. ( `' F o. F ) ) = G )
34 22 33 eqtrid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G o. `' F ) o. F ) = G )
35 34 fveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` ( ( G o. `' F ) o. F ) ) = ( U ` G ) )
36 21 35 eqtr3d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) = ( U ` G ) )
37 36 fveq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) ` P ) = ( ( U ` G ) ` P ) )
38 6 7 9 tendocl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( U ` ( G o. `' F ) ) e. T )
39 13 12 19 38 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` ( G o. `' F ) ) e. T )
40 6 7 9 tendocl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ F e. T ) -> ( U ` F ) e. T )
41 13 12 15 40 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` F ) e. T )
42 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A )
43 2 5 6 7 ltrncoval 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( U ` ( G o. `' F ) ) e. T /\ ( U ` F ) e. T ) /\ P e. A ) -> ( ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) ` P ) = ( ( U ` ( G o. `' F ) ) ` ( ( U ` F ) ` P ) ) )
44 13 39 41 42 43 syl121anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) ` P ) = ( ( U ` ( G o. `' F ) ) ` ( ( U ` F ) ` P ) ) )
45 37 44 eqtr3d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) = ( ( U ` ( G o. `' F ) ) ` ( ( U ` F ) ` P ) ) )
46 2 5 6 7 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U ` F ) e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( U ` F ) ` P ) e. A /\ -. ( ( U ` F ) ` P ) .<_ W ) )
47 41 46 syld3an2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( U ` F ) ` P ) e. A /\ -. ( ( U ` F ) ` P ) .<_ W ) )
48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemi1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ ( G o. `' F ) e. T ) /\ ( ( ( U ` F ) ` P ) e. A /\ -. ( ( U ` F ) ` P ) .<_ W ) ) -> ( ( U ` ( G o. `' F ) ) ` ( ( U ` F ) ` P ) ) .<_ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
49 13 12 19 47 48 syl121anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` ( G o. `' F ) ) ` ( ( U ` F ) ` P ) ) .<_ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
50 45 49 eqbrtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )