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Theorem cdlemi

Description: Lemma I of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 19-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemi.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemi.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemi.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemi.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemi.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemi.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemi.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemi.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemi.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
cdlemi.s 
|- S = ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
Assertion cdlemi 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) = S )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemi.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemi.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemi.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemi.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemi.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemi.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemi.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemi.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
9 cdlemi.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
10 cdlemi.s 
 |-  S = ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
11 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> K e. HL )
12 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> W e. H )
13 simp2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> U e. E )
14 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> G e. T )
15 simp2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemi1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( R ` G ) ) )
17 11 12 13 14 15 16 syl221anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( R ` G ) ) )
18 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> F e. T )
19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemi2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
20 11 12 13 18 14 15 19 syl231anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
21 11 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> K e. Lat )
22 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
23 6 7 9 tendocl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ G e. T ) -> ( U ` G ) e. T )
24 22 13 14 23 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( U ` G ) e. T )
25 simp2rl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> P e. A )
26 1 5 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. B )
27 25 26 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> P e. B )
28 1 6 7 ltrncl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U ` G ) e. T /\ P e. B ) -> ( ( U ` G ) ` P ) e. B )
29 22 24 27 28 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) e. B )
30 1 6 7 8 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) e. B )
31 22 14 30 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` G ) e. B )
32 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ ( R ` G ) e. B ) -> ( P .\/ ( R ` G ) ) e. B )
33 21 27 31 32 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( P .\/ ( R ` G ) ) e. B )
34 6 7 9 tendocl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ F e. T ) -> ( U ` F ) e. T )
35 22 13 18 34 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( U ` F ) e. T )
36 1 6 7 ltrncl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U ` F ) e. T /\ P e. B ) -> ( ( U ` F ) ` P ) e. B )
37 22 35 27 36 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( U ` F ) ` P ) e. B )
38 6 7 ltrncnv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )
39 22 18 38 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> `' F e. T )
40 6 7 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' F e. T ) -> ( G o. `' F ) e. T )
41 22 14 39 40 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( G o. `' F ) e. T )
42 1 6 7 8 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B )
43 22 41 42 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B )
44 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( U ` F ) ` P ) e. B /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B ) -> ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) e. B )
45 21 37 43 44 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) e. B )
46 1 2 4 latlem12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( ( U ` G ) ` P ) e. B /\ ( P .\/ ( R ` G ) ) e. B /\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) e. B ) ) -> ( ( ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( R ` G ) ) /\ ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) <-> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) ) )
47 21 29 33 45 46 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( R ` G ) ) /\ ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) <-> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) ) )
48 17 20 47 mpbi2and 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) )
49 hlatl 
 |-  ( K e. HL -> K e. AtLat )
50 11 49 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> K e. AtLat )
51 2 5 6 7 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U ` G ) e. T /\ P e. A ) -> ( ( U ` G ) ` P ) e. A )
52 22 24 25 51 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) e. A )
53 2 5 6 7 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U ` F ) e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( U ` F ) ` P ) e. A /\ -. ( ( U ` F ) ` P ) .<_ W ) )
54 22 35 15 53 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( ( U ` F ) ` P ) e. A /\ -. ( ( U ` F ) ` P ) .<_ W ) )
55 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemi1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` F ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) )
56 11 12 13 18 15 55 syl221anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( U ` F ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) )
57 15 54 56 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( ( ( U ` F ) ` P ) e. A /\ -. ( ( U ` F ) ` P ) .<_ W ) /\ ( ( U ` F ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) ) )
58 eqid 
 |-  ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) = ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
59 1 2 3 4 5 6 7 8 58 cdlemh 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( ( ( U ` F ) ` P ) e. A /\ -. ( ( U ` F ) ` P ) .<_ W ) /\ ( ( U ` F ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) e. A /\ -. ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) .<_ W ) )
60 59 simpld 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( ( ( U ` F ) ` P ) e. A /\ -. ( ( U ` F ) ` P ) .<_ W ) /\ ( ( U ` F ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( R ` F ) ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) e. A )
61 57 60 syld3an2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) e. A )
62 2 5 atcmp 
 |-  ( ( K e. AtLat /\ ( ( U ` G ) ` P ) e. A /\ ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) e. A ) -> ( ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) <-> ( ( U ` G ) ` P ) = ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) ) )
63 50 52 61 62 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) <-> ( ( U ` G ) ` P ) = ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) ) )
64 48 63 mpbid 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) = ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) )
65 64 10 eqtr4di 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( U e. E /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) = S )