Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dfac12.1 |
|- ( ph -> A e. On ) |
2 |
|
dfac12.3 |
|- ( ph -> F : ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) -1-1-> On ) |
3 |
|
dfac12.4 |
|- G = recs ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) ) |
4 |
|
dfac12.5 |
|- ( ph -> C e. On ) |
5 |
|
dfac12.h |
|- H = ( `' OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) ) |
6 |
3
|
tfr2 |
|- ( C e. On -> ( G ` C ) = ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) ` ( G |` C ) ) ) |
7 |
4 6
|
syl |
|- ( ph -> ( G ` C ) = ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) ` ( G |` C ) ) ) |
8 |
3
|
tfr1 |
|- G Fn On |
9 |
|
fnfun |
|- ( G Fn On -> Fun G ) |
10 |
8 9
|
ax-mp |
|- Fun G |
11 |
|
resfunexg |
|- ( ( Fun G /\ C e. On ) -> ( G |` C ) e. _V ) |
12 |
10 4 11
|
sylancr |
|- ( ph -> ( G |` C ) e. _V ) |
13 |
|
dmeq |
|- ( x = ( G |` C ) -> dom x = dom ( G |` C ) ) |
14 |
13
|
fveq2d |
|- ( x = ( G |` C ) -> ( R1 ` dom x ) = ( R1 ` dom ( G |` C ) ) ) |
15 |
13
|
unieqd |
|- ( x = ( G |` C ) -> U. dom x = U. dom ( G |` C ) ) |
16 |
13 15
|
eqeq12d |
|- ( x = ( G |` C ) -> ( dom x = U. dom x <-> dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) ) ) |
17 |
|
rneq |
|- ( x = ( G |` C ) -> ran x = ran ( G |` C ) ) |
18 |
|
df-ima |
|- ( G " C ) = ran ( G |` C ) |
19 |
17 18
|
eqtr4di |
|- ( x = ( G |` C ) -> ran x = ( G " C ) ) |
20 |
19
|
unieqd |
|- ( x = ( G |` C ) -> U. ran x = U. ( G " C ) ) |
21 |
20
|
rneqd |
|- ( x = ( G |` C ) -> ran U. ran x = ran U. ( G " C ) ) |
22 |
21
|
unieqd |
|- ( x = ( G |` C ) -> U. ran U. ran x = U. ran U. ( G " C ) ) |
23 |
|
suceq |
|- ( U. ran U. ran x = U. ran U. ( G " C ) -> suc U. ran U. ran x = suc U. ran U. ( G " C ) ) |
24 |
22 23
|
syl |
|- ( x = ( G |` C ) -> suc U. ran U. ran x = suc U. ran U. ( G " C ) ) |
25 |
24
|
oveq1d |
|- ( x = ( G |` C ) -> ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) = ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) ) |
26 |
|
fveq1 |
|- ( x = ( G |` C ) -> ( x ` suc ( rank ` y ) ) = ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ) |
27 |
26
|
fveq1d |
|- ( x = ( G |` C ) -> ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) |
28 |
25 27
|
oveq12d |
|- ( x = ( G |` C ) -> ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) = ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) ) |
29 |
|
id |
|- ( x = ( G |` C ) -> x = ( G |` C ) ) |
30 |
29 15
|
fveq12d |
|- ( x = ( G |` C ) -> ( x ` U. dom x ) = ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) |
31 |
30
|
rneqd |
|- ( x = ( G |` C ) -> ran ( x ` U. dom x ) = ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) |
32 |
|
oieq2 |
|- ( ran ( x ` U. dom x ) = ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) -> OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) = OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) ) |
33 |
31 32
|
syl |
|- ( x = ( G |` C ) -> OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) = OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) ) |
34 |
33
|
cnveqd |
|- ( x = ( G |` C ) -> `' OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) = `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) ) |
35 |
34 30
|
coeq12d |
|- ( x = ( G |` C ) -> ( `' OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) = ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) ) |
36 |
35
|
imaeq1d |
|- ( x = ( G |` C ) -> ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) = ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) |
37 |
36
|
fveq2d |
|- ( x = ( G |` C ) -> ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) = ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) |
38 |
16 28 37
|
ifbieq12d |
|- ( x = ( G |` C ) -> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) = if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) |
39 |
14 38
|
mpteq12dv |
|- ( x = ( G |` C ) -> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) = ( y e. ( R1 ` dom ( G |` C ) ) |-> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) ) |
40 |
|
eqid |
|- ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) = ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) |
41 |
|
fvex |
|- ( R1 ` dom ( G |` C ) ) e. _V |
42 |
41
|
mptex |
|- ( y e. ( R1 ` dom ( G |` C ) ) |-> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) e. _V |
43 |
39 40 42
|
fvmpt |
|- ( ( G |` C ) e. _V -> ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) ` ( G |` C ) ) = ( y e. ( R1 ` dom ( G |` C ) ) |-> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) ) |
44 |
12 43
|
syl |
|- ( ph -> ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) ` ( G |` C ) ) = ( y e. ( R1 ` dom ( G |` C ) ) |-> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) ) |
45 |
|
onss |
|- ( C e. On -> C C_ On ) |
46 |
4 45
|
syl |
|- ( ph -> C C_ On ) |
47 |
|
fnssres |
|- ( ( G Fn On /\ C C_ On ) -> ( G |` C ) Fn C ) |
48 |
8 46 47
|
sylancr |
|- ( ph -> ( G |` C ) Fn C ) |
49 |
48
|
fndmd |
|- ( ph -> dom ( G |` C ) = C ) |
50 |
49
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( R1 ` dom ( G |` C ) ) = ( R1 ` C ) ) |
51 |
50
|
mpteq1d |
|- ( ph -> ( y e. ( R1 ` dom ( G |` C ) ) |-> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) = ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) ) |
52 |
49
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> dom ( G |` C ) = C ) |
53 |
52
|
unieqd |
|- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> U. dom ( G |` C ) = U. C ) |
54 |
52 53
|
eqeq12d |
|- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) <-> C = U. C ) ) |
55 |
54
|
ifbid |
|- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) |
56 |
|
rankr1ai |
|- ( y e. ( R1 ` C ) -> ( rank ` y ) e. C ) |
57 |
56
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( rank ` y ) e. C ) |
58 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> C = U. C ) |
59 |
57 58
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( rank ` y ) e. U. C ) |
60 |
|
eloni |
|- ( C e. On -> Ord C ) |
61 |
|
ordsucuniel |
|- ( Ord C -> ( ( rank ` y ) e. U. C <-> suc ( rank ` y ) e. C ) ) |
62 |
4 60 61
|
3syl |
|- ( ph -> ( ( rank ` y ) e. U. C <-> suc ( rank ` y ) e. C ) ) |
63 |
62
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( rank ` y ) e. U. C <-> suc ( rank ` y ) e. C ) ) |
64 |
59 63
|
mpbid |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> suc ( rank ` y ) e. C ) |
65 |
64
|
fvresd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) = ( G ` suc ( rank ` y ) ) ) |
66 |
65
|
fveq1d |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) |
67 |
66
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) = ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) ) |
68 |
67
|
ifeq1da |
|- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) |
69 |
53
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> U. dom ( G |` C ) = U. C ) |
70 |
69
|
fveq2d |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) = ( ( G |` C ) ` U. C ) ) |
71 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> C e. On ) |
72 |
|
uniexg |
|- ( C e. On -> U. C e. _V ) |
73 |
|
sucidg |
|- ( U. C e. _V -> U. C e. suc U. C ) |
74 |
71 72 73
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> U. C e. suc U. C ) |
75 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> C e. On ) |
76 |
|
orduniorsuc |
|- ( Ord C -> ( C = U. C \/ C = suc U. C ) ) |
77 |
75 60 76
|
3syl |
|- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> ( C = U. C \/ C = suc U. C ) ) |
78 |
77
|
orcanai |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> C = suc U. C ) |
79 |
74 78
|
eleqtrrd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> U. C e. C ) |
80 |
79
|
fvresd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( ( G |` C ) ` U. C ) = ( G ` U. C ) ) |
81 |
70 80
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) = ( G ` U. C ) ) |
82 |
81
|
rneqd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) = ran ( G ` U. C ) ) |
83 |
|
oieq2 |
|- ( ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) = ran ( G ` U. C ) -> OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) = OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ) |
84 |
82 83
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) = OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ) |
85 |
84
|
cnveqd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) = `' OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ) |
86 |
85 81
|
coeq12d |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) = ( `' OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) ) ) |
87 |
86 5
|
eqtr4di |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) = H ) |
88 |
87
|
imaeq1d |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) = ( H " y ) ) |
89 |
88
|
fveq2d |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) = ( F ` ( H " y ) ) ) |
90 |
89
|
ifeq2da |
|- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) |
91 |
55 68 90
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) |
92 |
91
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) = ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) ) |
93 |
51 92
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eqtrd |
|- ( ph -> ( y e. ( R1 ` dom ( G |` C ) ) |-> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) = ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) ) |
94 |
7 44 93
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3eqtrd |
|- ( ph -> ( G ` C ) = ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) ) |