Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dfac12.1 |
|- ( ph -> A e. On ) |
2 |
|
dfac12.3 |
|- ( ph -> F : ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) -1-1-> On ) |
3 |
|
dfac12.4 |
|- G = recs ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) ) |
4 |
|
dfac12.5 |
|- ( ph -> C e. On ) |
5 |
|
dfac12.h |
|- H = ( `' OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) ) |
6 |
|
dfac12.6 |
|- ( ph -> C C_ A ) |
7 |
|
dfac12.8 |
|- ( ph -> A. z e. C ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On ) |
8 |
3
|
tfr1 |
|- G Fn On |
9 |
|
fnfun |
|- ( G Fn On -> Fun G ) |
10 |
8 9
|
ax-mp |
|- Fun G |
11 |
|
funimaexg |
|- ( ( Fun G /\ C e. On ) -> ( G " C ) e. _V ) |
12 |
10 4 11
|
sylancr |
|- ( ph -> ( G " C ) e. _V ) |
13 |
|
uniexg |
|- ( ( G " C ) e. _V -> U. ( G " C ) e. _V ) |
14 |
|
rnexg |
|- ( U. ( G " C ) e. _V -> ran U. ( G " C ) e. _V ) |
15 |
12 13 14
|
3syl |
|- ( ph -> ran U. ( G " C ) e. _V ) |
16 |
|
f1f |
|- ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On -> ( G ` z ) : ( R1 ` z ) --> On ) |
17 |
|
fssxp |
|- ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) --> On -> ( G ` z ) C_ ( ( R1 ` z ) X. On ) ) |
18 |
|
ssv |
|- ( R1 ` z ) C_ _V |
19 |
|
xpss1 |
|- ( ( R1 ` z ) C_ _V -> ( ( R1 ` z ) X. On ) C_ ( _V X. On ) ) |
20 |
18 19
|
ax-mp |
|- ( ( R1 ` z ) X. On ) C_ ( _V X. On ) |
21 |
|
sstr |
|- ( ( ( G ` z ) C_ ( ( R1 ` z ) X. On ) /\ ( ( R1 ` z ) X. On ) C_ ( _V X. On ) ) -> ( G ` z ) C_ ( _V X. On ) ) |
22 |
20 21
|
mpan2 |
|- ( ( G ` z ) C_ ( ( R1 ` z ) X. On ) -> ( G ` z ) C_ ( _V X. On ) ) |
23 |
|
fvex |
|- ( G ` z ) e. _V |
24 |
23
|
elpw |
|- ( ( G ` z ) e. ~P ( _V X. On ) <-> ( G ` z ) C_ ( _V X. On ) ) |
25 |
22 24
|
sylibr |
|- ( ( G ` z ) C_ ( ( R1 ` z ) X. On ) -> ( G ` z ) e. ~P ( _V X. On ) ) |
26 |
16 17 25
|
3syl |
|- ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On -> ( G ` z ) e. ~P ( _V X. On ) ) |
27 |
26
|
ralimi |
|- ( A. z e. C ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On -> A. z e. C ( G ` z ) e. ~P ( _V X. On ) ) |
28 |
7 27
|
syl |
|- ( ph -> A. z e. C ( G ` z ) e. ~P ( _V X. On ) ) |
29 |
|
onss |
|- ( C e. On -> C C_ On ) |
30 |
4 29
|
syl |
|- ( ph -> C C_ On ) |
31 |
8
|
fndmi |
|- dom G = On |
32 |
30 31
|
sseqtrrdi |
|- ( ph -> C C_ dom G ) |
33 |
|
funimass4 |
|- ( ( Fun G /\ C C_ dom G ) -> ( ( G " C ) C_ ~P ( _V X. On ) <-> A. z e. C ( G ` z ) e. ~P ( _V X. On ) ) ) |
34 |
10 32 33
|
sylancr |
|- ( ph -> ( ( G " C ) C_ ~P ( _V X. On ) <-> A. z e. C ( G ` z ) e. ~P ( _V X. On ) ) ) |
35 |
28 34
|
mpbird |
|- ( ph -> ( G " C ) C_ ~P ( _V X. On ) ) |
36 |
|
sspwuni |
|- ( ( G " C ) C_ ~P ( _V X. On ) <-> U. ( G " C ) C_ ( _V X. On ) ) |
37 |
35 36
|
sylib |
|- ( ph -> U. ( G " C ) C_ ( _V X. On ) ) |
38 |
|
rnss |
|- ( U. ( G " C ) C_ ( _V X. On ) -> ran U. ( G " C ) C_ ran ( _V X. On ) ) |
39 |
37 38
|
syl |
|- ( ph -> ran U. ( G " C ) C_ ran ( _V X. On ) ) |
40 |
|
rnxpss |
|- ran ( _V X. On ) C_ On |
41 |
39 40
|
sstrdi |
|- ( ph -> ran U. ( G " C ) C_ On ) |
42 |
|
ssonuni |
|- ( ran U. ( G " C ) e. _V -> ( ran U. ( G " C ) C_ On -> U. ran U. ( G " C ) e. On ) ) |
43 |
15 41 42
|
sylc |
|- ( ph -> U. ran U. ( G " C ) e. On ) |
44 |
|
suceloni |
|- ( U. ran U. ( G " C ) e. On -> suc U. ran U. ( G " C ) e. On ) |
45 |
43 44
|
syl |
|- ( ph -> suc U. ran U. ( G " C ) e. On ) |
46 |
45
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> suc U. ran U. ( G " C ) e. On ) |
47 |
|
rankon |
|- ( rank ` y ) e. On |
48 |
|
omcl |
|- ( ( suc U. ran U. ( G " C ) e. On /\ ( rank ` y ) e. On ) -> ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) e. On ) |
49 |
46 47 48
|
sylancl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) e. On ) |
50 |
|
fveq2 |
|- ( z = suc ( rank ` y ) -> ( G ` z ) = ( G ` suc ( rank ` y ) ) ) |
51 |
|
f1eq1 |
|- ( ( G ` z ) = ( G ` suc ( rank ` y ) ) -> ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On ) ) |
52 |
50 51
|
syl |
|- ( z = suc ( rank ` y ) -> ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On ) ) |
53 |
|
fveq2 |
|- ( z = suc ( rank ` y ) -> ( R1 ` z ) = ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) ) |
54 |
|
f1eq2 |
|- ( ( R1 ` z ) = ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On ) ) |
55 |
53 54
|
syl |
|- ( z = suc ( rank ` y ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On ) ) |
56 |
52 55
|
bitrd |
|- ( z = suc ( rank ` y ) -> ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On ) ) |
57 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> A. z e. C ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On ) |
58 |
|
rankr1ai |
|- ( y e. ( R1 ` C ) -> ( rank ` y ) e. C ) |
59 |
58
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( rank ` y ) e. C ) |
60 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> C = U. C ) |
61 |
59 60
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( rank ` y ) e. U. C ) |
62 |
|
eloni |
|- ( C e. On -> Ord C ) |
63 |
4 62
|
syl |
|- ( ph -> Ord C ) |
64 |
63
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> Ord C ) |
65 |
|
ordsucuniel |
|- ( Ord C -> ( ( rank ` y ) e. U. C <-> suc ( rank ` y ) e. C ) ) |
66 |
64 65
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( rank ` y ) e. U. C <-> suc ( rank ` y ) e. C ) ) |
67 |
61 66
|
mpbid |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> suc ( rank ` y ) e. C ) |
68 |
56 57 67
|
rspcdva |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On ) |
69 |
|
f1f |
|- ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) --> On ) |
70 |
68 69
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) --> On ) |
71 |
|
r1elwf |
|- ( y e. ( R1 ` C ) -> y e. U. ( R1 " On ) ) |
72 |
71
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> y e. U. ( R1 " On ) ) |
73 |
|
rankidb |
|- ( y e. U. ( R1 " On ) -> y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) ) |
74 |
72 73
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) ) |
75 |
70 74
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. On ) |
76 |
|
oacl |
|- ( ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) e. On /\ ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. On ) -> ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) e. On ) |
77 |
49 75 76
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) e. On ) |
78 |
|
f1f |
|- ( F : ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) -1-1-> On -> F : ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) --> On ) |
79 |
2 78
|
syl |
|- ( ph -> F : ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) --> On ) |
80 |
79
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> F : ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) --> On ) |
81 |
|
imassrn |
|- ( H " y ) C_ ran H |
82 |
|
fvex |
|- ( G ` U. C ) e. _V |
83 |
82
|
rnex |
|- ran ( G ` U. C ) e. _V |
84 |
|
fveq2 |
|- ( z = U. C -> ( G ` z ) = ( G ` U. C ) ) |
85 |
|
f1eq1 |
|- ( ( G ` z ) = ( G ` U. C ) -> ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` U. C ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On ) ) |
86 |
84 85
|
syl |
|- ( z = U. C -> ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` U. C ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On ) ) |
87 |
|
fveq2 |
|- ( z = U. C -> ( R1 ` z ) = ( R1 ` U. C ) ) |
88 |
|
f1eq2 |
|- ( ( R1 ` z ) = ( R1 ` U. C ) -> ( ( G ` U. C ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> On ) ) |
89 |
87 88
|
syl |
|- ( z = U. C -> ( ( G ` U. C ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> On ) ) |
90 |
86 89
|
bitrd |
|- ( z = U. C -> ( ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On <-> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> On ) ) |
91 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> A. z e. C ( G ` z ) : ( R1 ` z ) -1-1-> On ) |
92 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> C e. On ) |
93 |
|
onuni |
|- ( C e. On -> U. C e. On ) |
94 |
|
sucidg |
|- ( U. C e. On -> U. C e. suc U. C ) |
95 |
92 93 94
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> U. C e. suc U. C ) |
96 |
63
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> Ord C ) |
97 |
|
orduniorsuc |
|- ( Ord C -> ( C = U. C \/ C = suc U. C ) ) |
98 |
96 97
|
syl |
|- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> ( C = U. C \/ C = suc U. C ) ) |
99 |
98
|
orcanai |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> C = suc U. C ) |
100 |
95 99
|
eleqtrrd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> U. C e. C ) |
101 |
90 91 100
|
rspcdva |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> On ) |
102 |
|
f1f |
|- ( ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> On -> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) --> On ) |
103 |
|
frn |
|- ( ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) --> On -> ran ( G ` U. C ) C_ On ) |
104 |
101 102 103
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ran ( G ` U. C ) C_ On ) |
105 |
|
epweon |
|- _E We On |
106 |
|
wess |
|- ( ran ( G ` U. C ) C_ On -> ( _E We On -> _E We ran ( G ` U. C ) ) ) |
107 |
104 105 106
|
mpisyl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> _E We ran ( G ` U. C ) ) |
108 |
|
eqid |
|- OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) = OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) |
109 |
108
|
oiiso |
|- ( ( ran ( G ` U. C ) e. _V /\ _E We ran ( G ` U. C ) ) -> OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) Isom _E , _E ( dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) , ran ( G ` U. C ) ) ) |
110 |
83 107 109
|
sylancr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) Isom _E , _E ( dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) , ran ( G ` U. C ) ) ) |
111 |
|
isof1o |
|- ( OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) Isom _E , _E ( dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) , ran ( G ` U. C ) ) -> OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) : dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) -1-1-onto-> ran ( G ` U. C ) ) |
112 |
|
f1ocnv |
|- ( OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) : dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) -1-1-onto-> ran ( G ` U. C ) -> `' OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) : ran ( G ` U. C ) -1-1-onto-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ) |
113 |
|
f1of1 |
|- ( `' OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) : ran ( G ` U. C ) -1-1-onto-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) -> `' OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) : ran ( G ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ) |
114 |
110 111 112 113
|
4syl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> `' OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) : ran ( G ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ) |
115 |
|
f1f1orn |
|- ( ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> On -> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-onto-> ran ( G ` U. C ) ) |
116 |
|
f1of1 |
|- ( ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-onto-> ran ( G ` U. C ) -> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> ran ( G ` U. C ) ) |
117 |
101 115 116
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> ran ( G ` U. C ) ) |
118 |
|
f1co |
|- ( ( `' OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) : ran ( G ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) /\ ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> ran ( G ` U. C ) ) -> ( `' OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ) |
119 |
114 117 118
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( `' OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ) |
120 |
|
f1eq1 |
|- ( H = ( `' OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) ) -> ( H : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) <-> ( `' OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ) ) |
121 |
5 120
|
ax-mp |
|- ( H : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) <-> ( `' OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ) |
122 |
119 121
|
sylibr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> H : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ) |
123 |
|
f1f |
|- ( H : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) -> H : ( R1 ` U. C ) --> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ) |
124 |
|
frn |
|- ( H : ( R1 ` U. C ) --> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) -> ran H C_ dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ) |
125 |
122 123 124
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ran H C_ dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ) |
126 |
|
harcl |
|- ( har ` ( R1 ` A ) ) e. On |
127 |
126
|
onordi |
|- Ord ( har ` ( R1 ` A ) ) |
128 |
108
|
oion |
|- ( ran ( G ` U. C ) e. _V -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) e. On ) |
129 |
83 128
|
mp1i |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) e. On ) |
130 |
108
|
oien |
|- ( ( ran ( G ` U. C ) e. _V /\ _E We ran ( G ` U. C ) ) -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ~~ ran ( G ` U. C ) ) |
131 |
83 107 130
|
sylancr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ~~ ran ( G ` U. C ) ) |
132 |
|
fvex |
|- ( R1 ` U. C ) e. _V |
133 |
132
|
f1oen |
|- ( ( G ` U. C ) : ( R1 ` U. C ) -1-1-onto-> ran ( G ` U. C ) -> ( R1 ` U. C ) ~~ ran ( G ` U. C ) ) |
134 |
|
ensym |
|- ( ( R1 ` U. C ) ~~ ran ( G ` U. C ) -> ran ( G ` U. C ) ~~ ( R1 ` U. C ) ) |
135 |
101 115 133 134
|
4syl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ran ( G ` U. C ) ~~ ( R1 ` U. C ) ) |
136 |
|
fvex |
|- ( R1 ` A ) e. _V |
137 |
1
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> A e. On ) |
138 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> C C_ A ) |
139 |
138 100
|
sseldd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> U. C e. A ) |
140 |
|
r1ord2 |
|- ( A e. On -> ( U. C e. A -> ( R1 ` U. C ) C_ ( R1 ` A ) ) ) |
141 |
137 139 140
|
sylc |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( R1 ` U. C ) C_ ( R1 ` A ) ) |
142 |
|
ssdomg |
|- ( ( R1 ` A ) e. _V -> ( ( R1 ` U. C ) C_ ( R1 ` A ) -> ( R1 ` U. C ) ~<_ ( R1 ` A ) ) ) |
143 |
136 141 142
|
mpsyl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( R1 ` U. C ) ~<_ ( R1 ` A ) ) |
144 |
|
endomtr |
|- ( ( ran ( G ` U. C ) ~~ ( R1 ` U. C ) /\ ( R1 ` U. C ) ~<_ ( R1 ` A ) ) -> ran ( G ` U. C ) ~<_ ( R1 ` A ) ) |
145 |
135 143 144
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ran ( G ` U. C ) ~<_ ( R1 ` A ) ) |
146 |
|
endomtr |
|- ( ( dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ~~ ran ( G ` U. C ) /\ ran ( G ` U. C ) ~<_ ( R1 ` A ) ) -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ~<_ ( R1 ` A ) ) |
147 |
131 145 146
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ~<_ ( R1 ` A ) ) |
148 |
|
elharval |
|- ( dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) e. ( har ` ( R1 ` A ) ) <-> ( dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) e. On /\ dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ~<_ ( R1 ` A ) ) ) |
149 |
129 147 148
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) e. ( har ` ( R1 ` A ) ) ) |
150 |
|
ordelss |
|- ( ( Ord ( har ` ( R1 ` A ) ) /\ dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) e. ( har ` ( R1 ` A ) ) ) -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) C_ ( har ` ( R1 ` A ) ) ) |
151 |
127 149 150
|
sylancr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) C_ ( har ` ( R1 ` A ) ) ) |
152 |
125 151
|
sstrd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ran H C_ ( har ` ( R1 ` A ) ) ) |
153 |
81 152
|
sstrid |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( H " y ) C_ ( har ` ( R1 ` A ) ) ) |
154 |
|
fvex |
|- ( har ` ( R1 ` A ) ) e. _V |
155 |
154
|
elpw2 |
|- ( ( H " y ) e. ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) <-> ( H " y ) C_ ( har ` ( R1 ` A ) ) ) |
156 |
153 155
|
sylibr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( H " y ) e. ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) ) |
157 |
80 156
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( F ` ( H " y ) ) e. On ) |
158 |
77 157
|
ifclda |
|- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) e. On ) |
159 |
158
|
ex |
|- ( ph -> ( y e. ( R1 ` C ) -> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) e. On ) ) |
160 |
|
iftrue |
|- ( C = U. C -> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) ) |
161 |
|
iftrue |
|- ( C = U. C -> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) = ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) ) |
162 |
160 161
|
eqeq12d |
|- ( C = U. C -> ( if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) <-> ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) = ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) ) ) |
163 |
162
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) <-> ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) = ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) ) ) |
164 |
45
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> suc U. ran U. ( G " C ) e. On ) |
165 |
|
nsuceq0 |
|- suc U. ran U. ( G " C ) =/= (/) |
166 |
165
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> suc U. ran U. ( G " C ) =/= (/) ) |
167 |
47
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( rank ` y ) e. On ) |
168 |
|
onsucuni |
|- ( ran U. ( G " C ) C_ On -> ran U. ( G " C ) C_ suc U. ran U. ( G " C ) ) |
169 |
41 168
|
syl |
|- ( ph -> ran U. ( G " C ) C_ suc U. ran U. ( G " C ) ) |
170 |
169
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ran U. ( G " C ) C_ suc U. ran U. ( G " C ) ) |
171 |
30
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> C C_ On ) |
172 |
|
fnfvima |
|- ( ( G Fn On /\ C C_ On /\ suc ( rank ` y ) e. C ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) e. ( G " C ) ) |
173 |
8 171 67 172
|
mp3an2i |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) e. ( G " C ) ) |
174 |
|
elssuni |
|- ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) e. ( G " C ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) C_ U. ( G " C ) ) |
175 |
|
rnss |
|- ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) C_ U. ( G " C ) -> ran ( G ` suc ( rank ` y ) ) C_ ran U. ( G " C ) ) |
176 |
173 174 175
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ran ( G ` suc ( rank ` y ) ) C_ ran U. ( G " C ) ) |
177 |
|
f1fn |
|- ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) Fn ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) ) |
178 |
68 177
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) Fn ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) ) |
179 |
|
fnfvelrn |
|- ( ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) Fn ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) /\ y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. ran ( G ` suc ( rank ` y ) ) ) |
180 |
178 74 179
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. ran ( G ` suc ( rank ` y ) ) ) |
181 |
176 180
|
sseldd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. ran U. ( G " C ) ) |
182 |
170 181
|
sseldd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. suc U. ran U. ( G " C ) ) |
183 |
182
|
adantlrr |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. suc U. ran U. ( G " C ) ) |
184 |
|
rankon |
|- ( rank ` z ) e. On |
185 |
184
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( rank ` z ) e. On ) |
186 |
|
eleq1w |
|- ( y = z -> ( y e. ( R1 ` C ) <-> z e. ( R1 ` C ) ) ) |
187 |
186
|
anbi2d |
|- ( y = z -> ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) <-> ( ph /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) ) |
188 |
187
|
anbi1d |
|- ( y = z -> ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) <-> ( ( ph /\ z e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) ) ) |
189 |
|
fveq2 |
|- ( y = z -> ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) |
190 |
|
suceq |
|- ( ( rank ` y ) = ( rank ` z ) -> suc ( rank ` y ) = suc ( rank ` z ) ) |
191 |
189 190
|
syl |
|- ( y = z -> suc ( rank ` y ) = suc ( rank ` z ) ) |
192 |
191
|
fveq2d |
|- ( y = z -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) = ( G ` suc ( rank ` z ) ) ) |
193 |
|
id |
|- ( y = z -> y = z ) |
194 |
192 193
|
fveq12d |
|- ( y = z -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) |
195 |
194
|
eleq1d |
|- ( y = z -> ( ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. suc U. ran U. ( G " C ) <-> ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) e. suc U. ran U. ( G " C ) ) ) |
196 |
188 195
|
imbi12d |
|- ( y = z -> ( ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. suc U. ran U. ( G " C ) ) <-> ( ( ( ph /\ z e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) e. suc U. ran U. ( G " C ) ) ) ) |
197 |
196 182
|
chvarvv |
|- ( ( ( ph /\ z e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) e. suc U. ran U. ( G " C ) ) |
198 |
197
|
adantlrl |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) e. suc U. ran U. ( G " C ) ) |
199 |
|
omopth2 |
|- ( ( ( suc U. ran U. ( G " C ) e. On /\ suc U. ran U. ( G " C ) =/= (/) ) /\ ( ( rank ` y ) e. On /\ ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) e. suc U. ran U. ( G " C ) ) /\ ( ( rank ` z ) e. On /\ ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) e. suc U. ran U. ( G " C ) ) ) -> ( ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) = ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) <-> ( ( rank ` y ) = ( rank ` z ) /\ ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) ) ) |
200 |
164 166 167 183 185 198 199
|
syl222anc |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) = ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) <-> ( ( rank ` y ) = ( rank ` z ) /\ ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) ) ) |
201 |
190
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> suc ( rank ` y ) = suc ( rank ` z ) ) |
202 |
201
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) = ( G ` suc ( rank ` z ) ) ) |
203 |
202
|
fveq1d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` z ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) |
204 |
203
|
eqeq2d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> ( ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` z ) <-> ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) ) |
205 |
68
|
adantlrr |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On ) |
206 |
205
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On ) |
207 |
74
|
adantlrr |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) ) |
208 |
207
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) ) |
209 |
|
r1elwf |
|- ( z e. ( R1 ` C ) -> z e. U. ( R1 " On ) ) |
210 |
|
rankidb |
|- ( z e. U. ( R1 " On ) -> z e. ( R1 ` suc ( rank ` z ) ) ) |
211 |
209 210
|
syl |
|- ( z e. ( R1 ` C ) -> z e. ( R1 ` suc ( rank ` z ) ) ) |
212 |
211
|
ad2antll |
|- ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) -> z e. ( R1 ` suc ( rank ` z ) ) ) |
213 |
212
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> z e. ( R1 ` suc ( rank ` z ) ) ) |
214 |
201
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) = ( R1 ` suc ( rank ` z ) ) ) |
215 |
213 214
|
eleqtrrd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> z e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) ) |
216 |
|
f1fveq |
|- ( ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) : ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -1-1-> On /\ ( y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) /\ z e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) ) ) -> ( ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` z ) <-> y = z ) ) |
217 |
206 208 215 216
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> ( ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` z ) <-> y = z ) ) |
218 |
204 217
|
bitr3d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> ( ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) <-> y = z ) ) |
219 |
218
|
biimpd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) /\ ( rank ` y ) = ( rank ` z ) ) -> ( ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) -> y = z ) ) |
220 |
219
|
expimpd |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( ( rank ` y ) = ( rank ` z ) /\ ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) -> y = z ) ) |
221 |
189 194
|
jca |
|- ( y = z -> ( ( rank ` y ) = ( rank ` z ) /\ ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) ) |
222 |
220 221
|
impbid1 |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( ( rank ` y ) = ( rank ` z ) /\ ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) <-> y = z ) ) |
223 |
163 200 222
|
3bitrd |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ C = U. C ) -> ( if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) <-> y = z ) ) |
224 |
|
iffalse |
|- ( -. C = U. C -> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = ( F ` ( H " y ) ) ) |
225 |
|
iffalse |
|- ( -. C = U. C -> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) = ( F ` ( H " z ) ) ) |
226 |
224 225
|
eqeq12d |
|- ( -. C = U. C -> ( if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) <-> ( F ` ( H " y ) ) = ( F ` ( H " z ) ) ) ) |
227 |
226
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) <-> ( F ` ( H " y ) ) = ( F ` ( H " z ) ) ) ) |
228 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> F : ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) -1-1-> On ) |
229 |
156
|
adantlrr |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( H " y ) e. ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) ) |
230 |
187
|
anbi1d |
|- ( y = z -> ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) <-> ( ( ph /\ z e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) ) ) |
231 |
|
imaeq2 |
|- ( y = z -> ( H " y ) = ( H " z ) ) |
232 |
231
|
eleq1d |
|- ( y = z -> ( ( H " y ) e. ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) <-> ( H " z ) e. ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) ) ) |
233 |
230 232
|
imbi12d |
|- ( y = z -> ( ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( H " y ) e. ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ z e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( H " z ) e. ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) ) ) ) |
234 |
233 156
|
chvarvv |
|- ( ( ( ph /\ z e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( H " z ) e. ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) ) |
235 |
234
|
adantlrl |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( H " z ) e. ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) ) |
236 |
|
f1fveq |
|- ( ( F : ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) -1-1-> On /\ ( ( H " y ) e. ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) /\ ( H " z ) e. ~P ( har ` ( R1 ` A ) ) ) ) -> ( ( F ` ( H " y ) ) = ( F ` ( H " z ) ) <-> ( H " y ) = ( H " z ) ) ) |
237 |
228 229 235 236
|
syl12anc |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( ( F ` ( H " y ) ) = ( F ` ( H " z ) ) <-> ( H " y ) = ( H " z ) ) ) |
238 |
122
|
adantlrr |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> H : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) ) |
239 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> y e. ( R1 ` C ) ) |
240 |
99
|
fveq2d |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( R1 ` C ) = ( R1 ` suc U. C ) ) |
241 |
|
r1suc |
|- ( U. C e. On -> ( R1 ` suc U. C ) = ~P ( R1 ` U. C ) ) |
242 |
92 93 241
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( R1 ` suc U. C ) = ~P ( R1 ` U. C ) ) |
243 |
240 242
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( R1 ` C ) = ~P ( R1 ` U. C ) ) |
244 |
243
|
adantlrr |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( R1 ` C ) = ~P ( R1 ` U. C ) ) |
245 |
239 244
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> y e. ~P ( R1 ` U. C ) ) |
246 |
245
|
elpwid |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> y C_ ( R1 ` U. C ) ) |
247 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> z e. ( R1 ` C ) ) |
248 |
247 244
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> z e. ~P ( R1 ` U. C ) ) |
249 |
248
|
elpwid |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> z C_ ( R1 ` U. C ) ) |
250 |
|
f1imaeq |
|- ( ( H : ( R1 ` U. C ) -1-1-> dom OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) /\ ( y C_ ( R1 ` U. C ) /\ z C_ ( R1 ` U. C ) ) ) -> ( ( H " y ) = ( H " z ) <-> y = z ) ) |
251 |
238 246 249 250
|
syl12anc |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( ( H " y ) = ( H " z ) <-> y = z ) ) |
252 |
227 237 251
|
3bitrd |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) <-> y = z ) ) |
253 |
223 252
|
pm2.61dan |
|- ( ( ph /\ ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) ) -> ( if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) <-> y = z ) ) |
254 |
253
|
ex |
|- ( ph -> ( ( y e. ( R1 ` C ) /\ z e. ( R1 ` C ) ) -> ( if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` z ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` z ) ) ` z ) ) , ( F ` ( H " z ) ) ) <-> y = z ) ) ) |
255 |
159 254
|
dom2lem |
|- ( ph -> ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) : ( R1 ` C ) -1-1-> On ) |
256 |
1 2 3 4 5
|
dfac12lem1 |
|- ( ph -> ( G ` C ) = ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) ) |
257 |
|
f1eq1 |
|- ( ( G ` C ) = ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) -> ( ( G ` C ) : ( R1 ` C ) -1-1-> On <-> ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) : ( R1 ` C ) -1-1-> On ) ) |
258 |
256 257
|
syl |
|- ( ph -> ( ( G ` C ) : ( R1 ` C ) -1-1-> On <-> ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) : ( R1 ` C ) -1-1-> On ) ) |
259 |
255 258
|
mpbird |
|- ( ph -> ( G ` C ) : ( R1 ` C ) -1-1-> On ) |