Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dprd2d2.1 |
|- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> S e. ( SubGrp ` G ) ) |
2 |
|
dprd2d2.2 |
|- ( ( ph /\ i e. I ) -> G dom DProd ( j e. J |-> S ) ) |
3 |
|
dprd2d2.3 |
|- ( ph -> G dom DProd ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> S ) ) ) ) |
4 |
|
relxp |
|- Rel ( { i } X. J ) |
5 |
4
|
rgenw |
|- A. i e. I Rel ( { i } X. J ) |
6 |
|
reliun |
|- ( Rel U_ i e. I ( { i } X. J ) <-> A. i e. I Rel ( { i } X. J ) ) |
7 |
5 6
|
mpbir |
|- Rel U_ i e. I ( { i } X. J ) |
8 |
7
|
a1i |
|- ( ph -> Rel U_ i e. I ( { i } X. J ) ) |
9 |
1
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. i e. I A. j e. J S e. ( SubGrp ` G ) ) |
10 |
|
eqid |
|- ( i e. I , j e. J |-> S ) = ( i e. I , j e. J |-> S ) |
11 |
10
|
fmpox |
|- ( A. i e. I A. j e. J S e. ( SubGrp ` G ) <-> ( i e. I , j e. J |-> S ) : U_ i e. I ( { i } X. J ) --> ( SubGrp ` G ) ) |
12 |
9 11
|
sylib |
|- ( ph -> ( i e. I , j e. J |-> S ) : U_ i e. I ( { i } X. J ) --> ( SubGrp ` G ) ) |
13 |
|
dmiun |
|- dom U_ i e. I ( { i } X. J ) = U_ i e. I dom ( { i } X. J ) |
14 |
|
dmxpss |
|- dom ( { i } X. J ) C_ { i } |
15 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ i e. I ) -> i e. I ) |
16 |
15
|
snssd |
|- ( ( ph /\ i e. I ) -> { i } C_ I ) |
17 |
14 16
|
sstrid |
|- ( ( ph /\ i e. I ) -> dom ( { i } X. J ) C_ I ) |
18 |
17
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. i e. I dom ( { i } X. J ) C_ I ) |
19 |
|
iunss |
|- ( U_ i e. I dom ( { i } X. J ) C_ I <-> A. i e. I dom ( { i } X. J ) C_ I ) |
20 |
18 19
|
sylibr |
|- ( ph -> U_ i e. I dom ( { i } X. J ) C_ I ) |
21 |
13 20
|
eqsstrid |
|- ( ph -> dom U_ i e. I ( { i } X. J ) C_ I ) |
22 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> i e. I ) |
23 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> j e. J ) |
24 |
10
|
ovmpt4g |
|- ( ( i e. I /\ j e. J /\ S e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) = S ) |
25 |
22 23 1 24
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) = S ) |
26 |
25
|
anassrs |
|- ( ( ( ph /\ i e. I ) /\ j e. J ) -> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) = S ) |
27 |
26
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) = ( j e. J |-> S ) ) |
28 |
2 27
|
breqtrrd |
|- ( ( ph /\ i e. I ) -> G dom DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) |
29 |
28
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. i e. I G dom DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) |
30 |
|
nfcv |
|- F/_ i G |
31 |
|
nfcv |
|- F/_ i dom DProd |
32 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ i [_ x / i ]_ J |
33 |
|
nfcv |
|- F/_ i x |
34 |
|
nfmpo1 |
|- F/_ i ( i e. I , j e. J |-> S ) |
35 |
|
nfcv |
|- F/_ i j |
36 |
33 34 35
|
nfov |
|- F/_ i ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) |
37 |
32 36
|
nfmpt |
|- F/_ i ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) |
38 |
30 31 37
|
nfbr |
|- F/ i G dom DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) |
39 |
|
csbeq1a |
|- ( i = x -> J = [_ x / i ]_ J ) |
40 |
|
oveq1 |
|- ( i = x -> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) = ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) |
41 |
39 40
|
mpteq12dv |
|- ( i = x -> ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) = ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) |
42 |
41
|
breq2d |
|- ( i = x -> ( G dom DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) <-> G dom DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) ) |
43 |
38 42
|
rspc |
|- ( x e. I -> ( A. i e. I G dom DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) -> G dom DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) ) |
44 |
29 43
|
mpan9 |
|- ( ( ph /\ x e. I ) -> G dom DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) |
45 |
|
nfcv |
|- F/_ y ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) |
46 |
|
nfcv |
|- F/_ j x |
47 |
|
nfmpo2 |
|- F/_ j ( i e. I , j e. J |-> S ) |
48 |
|
nfcv |
|- F/_ j y |
49 |
46 47 48
|
nfov |
|- F/_ j ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) |
50 |
|
oveq2 |
|- ( j = y -> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) = ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) |
51 |
45 49 50
|
cbvmpt |
|- ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) = ( y e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) |
52 |
|
nfv |
|- F/ i j = z |
53 |
32
|
nfcri |
|- F/ i j e. [_ x / i ]_ J |
54 |
52 53
|
nfan |
|- F/ i ( j = z /\ j e. [_ x / i ]_ J ) |
55 |
39
|
eleq2d |
|- ( i = x -> ( j e. J <-> j e. [_ x / i ]_ J ) ) |
56 |
55
|
anbi2d |
|- ( i = x -> ( ( j = z /\ j e. J ) <-> ( j = z /\ j e. [_ x / i ]_ J ) ) ) |
57 |
54 56
|
equsexv |
|- ( E. i ( i = x /\ ( j = z /\ j e. J ) ) <-> ( j = z /\ j e. [_ x / i ]_ J ) ) |
58 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ ( i = x /\ j = z ) ) -> i = x ) |
59 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ ( i = x /\ j = z ) ) -> x e. I ) |
60 |
58 59
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ ( i = x /\ j = z ) ) -> i e. I ) |
61 |
60
|
biantrurd |
|- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ ( i = x /\ j = z ) ) -> ( j e. J <-> ( i e. I /\ j e. J ) ) ) |
62 |
61
|
pm5.32da |
|- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( ( i = x /\ j = z ) /\ j e. J ) <-> ( ( i = x /\ j = z ) /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) ) ) |
63 |
|
anass |
|- ( ( ( i = x /\ j = z ) /\ j e. J ) <-> ( i = x /\ ( j = z /\ j e. J ) ) ) |
64 |
|
eqcom |
|- ( <. x , z >. = <. i , j >. <-> <. i , j >. = <. x , z >. ) |
65 |
|
vex |
|- i e. _V |
66 |
|
vex |
|- j e. _V |
67 |
65 66
|
opth |
|- ( <. i , j >. = <. x , z >. <-> ( i = x /\ j = z ) ) |
68 |
64 67
|
bitr2i |
|- ( ( i = x /\ j = z ) <-> <. x , z >. = <. i , j >. ) |
69 |
68
|
anbi1i |
|- ( ( ( i = x /\ j = z ) /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) <-> ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) ) |
70 |
62 63 69
|
3bitr3g |
|- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( i = x /\ ( j = z /\ j e. J ) ) <-> ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) ) ) |
71 |
70
|
exbidv |
|- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( E. i ( i = x /\ ( j = z /\ j e. J ) ) <-> E. i ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) ) ) |
72 |
57 71
|
bitr3id |
|- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( j = z /\ j e. [_ x / i ]_ J ) <-> E. i ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) ) ) |
73 |
72
|
exbidv |
|- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( E. j ( j = z /\ j e. [_ x / i ]_ J ) <-> E. j E. i ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) ) ) |
74 |
|
vex |
|- z e. _V |
75 |
|
eleq1w |
|- ( j = z -> ( j e. [_ x / i ]_ J <-> z e. [_ x / i ]_ J ) ) |
76 |
74 75
|
ceqsexv |
|- ( E. j ( j = z /\ j e. [_ x / i ]_ J ) <-> z e. [_ x / i ]_ J ) |
77 |
|
excom |
|- ( E. j E. i ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) <-> E. i E. j ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) ) |
78 |
73 76 77
|
3bitr3g |
|- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( z e. [_ x / i ]_ J <-> E. i E. j ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) ) ) |
79 |
|
elrelimasn |
|- ( Rel U_ i e. I ( { i } X. J ) -> ( z e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) <-> x U_ i e. I ( { i } X. J ) z ) ) |
80 |
7 79
|
ax-mp |
|- ( z e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) <-> x U_ i e. I ( { i } X. J ) z ) |
81 |
|
df-br |
|- ( x U_ i e. I ( { i } X. J ) z <-> <. x , z >. e. U_ i e. I ( { i } X. J ) ) |
82 |
|
eliunxp |
|- ( <. x , z >. e. U_ i e. I ( { i } X. J ) <-> E. i E. j ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) ) |
83 |
80 81 82
|
3bitri |
|- ( z e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) <-> E. i E. j ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) ) |
84 |
78 83
|
bitr4di |
|- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( z e. [_ x / i ]_ J <-> z e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) ) ) |
85 |
84
|
eqrdv |
|- ( ( ph /\ x e. I ) -> [_ x / i ]_ J = ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) ) |
86 |
85
|
mpteq1d |
|- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( y e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) = ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) |
87 |
51 86
|
syl5eq |
|- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) = ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) |
88 |
44 87
|
breqtrd |
|- ( ( ph /\ x e. I ) -> G dom DProd ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) |
89 |
27
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( G DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) = ( G DProd ( j e. J |-> S ) ) ) |
90 |
89
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) ) = ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> S ) ) ) ) |
91 |
3 90
|
breqtrrd |
|- ( ph -> G dom DProd ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) ) ) |
92 |
|
nfcv |
|- F/_ x ( G DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) |
93 |
|
nfcv |
|- F/_ i DProd |
94 |
30 93 37
|
nfov |
|- F/_ i ( G DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) |
95 |
41
|
oveq2d |
|- ( i = x -> ( G DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) = ( G DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) ) |
96 |
92 94 95
|
cbvmpt |
|- ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) ) = ( x e. I |-> ( G DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) ) |
97 |
87
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( G DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) = ( G DProd ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) ) |
98 |
97
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( x e. I |-> ( G DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) ) = ( x e. I |-> ( G DProd ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) ) ) |
99 |
96 98
|
syl5eq |
|- ( ph -> ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) ) = ( x e. I |-> ( G DProd ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) ) ) |
100 |
91 99
|
breqtrd |
|- ( ph -> G dom DProd ( x e. I |-> ( G DProd ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) ) ) |
101 |
|
eqid |
|- ( mrCls ` ( SubGrp ` G ) ) = ( mrCls ` ( SubGrp ` G ) ) |
102 |
8 12 21 88 100 101
|
dprd2da |
|- ( ph -> G dom DProd ( i e. I , j e. J |-> S ) ) |
103 |
8 12 21 88 100 101
|
dprd2db |
|- ( ph -> ( G DProd ( i e. I , j e. J |-> S ) ) = ( G DProd ( x e. I |-> ( G DProd ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) ) ) ) |
104 |
99 90
|
eqtr3d |
|- ( ph -> ( x e. I |-> ( G DProd ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) ) = ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> S ) ) ) ) |
105 |
104
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( G DProd ( x e. I |-> ( G DProd ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) ) ) = ( G DProd ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> S ) ) ) ) ) |
106 |
103 105
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( G DProd ( i e. I , j e. J |-> S ) ) = ( G DProd ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> S ) ) ) ) ) |
107 |
102 106
|
jca |
|- ( ph -> ( G dom DProd ( i e. I , j e. J |-> S ) /\ ( G DProd ( i e. I , j e. J |-> S ) ) = ( G DProd ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> S ) ) ) ) ) ) |