Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
vex |
|- f e. _V |
2 |
|
eqeq1 |
|- ( x = f -> ( x = ( u |g v ) <-> f = ( u |g v ) ) ) |
3 |
2
|
rexbidv |
|- ( x = f -> ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) x = ( u |g v ) <-> E. v e. ( Fmla ` suc N ) f = ( u |g v ) ) ) |
4 |
|
eqeq1 |
|- ( x = f -> ( x = A.g i u <-> f = A.g i u ) ) |
5 |
4
|
rexbidv |
|- ( x = f -> ( E. i e. _om x = A.g i u <-> E. i e. _om f = A.g i u ) ) |
6 |
3 5
|
orbi12d |
|- ( x = f -> ( ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) x = ( u |g v ) \/ E. i e. _om x = A.g i u ) <-> ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) f = ( u |g v ) \/ E. i e. _om f = A.g i u ) ) ) |
7 |
6
|
rexbidv |
|- ( x = f -> ( E. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) x = ( u |g v ) \/ E. i e. _om x = A.g i u ) <-> E. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) f = ( u |g v ) \/ E. i e. _om f = A.g i u ) ) ) |
8 |
2
|
2rexbidv |
|- ( x = f -> ( E. u e. ( Fmla ` N ) E. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) x = ( u |g v ) <-> E. u e. ( Fmla ` N ) E. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) f = ( u |g v ) ) ) |
9 |
7 8
|
orbi12d |
|- ( x = f -> ( ( E. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) x = ( u |g v ) \/ E. i e. _om x = A.g i u ) \/ E. u e. ( Fmla ` N ) E. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) x = ( u |g v ) ) <-> ( E. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) f = ( u |g v ) \/ E. i e. _om f = A.g i u ) \/ E. u e. ( Fmla ` N ) E. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) f = ( u |g v ) ) ) ) |
10 |
1 9
|
elab |
|- ( f e. { x | ( E. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) x = ( u |g v ) \/ E. i e. _om x = A.g i u ) \/ E. u e. ( Fmla ` N ) E. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) x = ( u |g v ) ) } <-> ( E. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) f = ( u |g v ) \/ E. i e. _om f = A.g i u ) \/ E. u e. ( Fmla ` N ) E. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) f = ( u |g v ) ) ) |
11 |
|
gonar |
|- ( ( N e. _om /\ ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) ) -> ( u e. ( Fmla ` N ) /\ v e. ( Fmla ` N ) ) ) |
12 |
|
elndif |
|- ( u e. ( Fmla ` N ) -> -. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) |
13 |
12
|
adantr |
|- ( ( u e. ( Fmla ` N ) /\ v e. ( Fmla ` N ) ) -> -. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) |
14 |
13
|
intnanrd |
|- ( ( u e. ( Fmla ` N ) /\ v e. ( Fmla ` N ) ) -> -. ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ v e. ( Fmla ` suc N ) ) ) |
15 |
11 14
|
syl |
|- ( ( N e. _om /\ ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) ) -> -. ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ v e. ( Fmla ` suc N ) ) ) |
16 |
15
|
ex |
|- ( N e. _om -> ( ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) -> -. ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ v e. ( Fmla ` suc N ) ) ) ) |
17 |
16
|
con2d |
|- ( N e. _om -> ( ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ v e. ( Fmla ` suc N ) ) -> -. ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) ) ) |
18 |
17
|
impl |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) /\ v e. ( Fmla ` suc N ) ) -> -. ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) ) |
19 |
|
elneeldif |
|- ( ( a e. ( Fmla ` N ) /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> a =/= u ) |
20 |
19
|
necomd |
|- ( ( a e. ( Fmla ` N ) /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> u =/= a ) |
21 |
20
|
ancoms |
|- ( ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ a e. ( Fmla ` N ) ) -> u =/= a ) |
22 |
21
|
neneqd |
|- ( ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ a e. ( Fmla ` N ) ) -> -. u = a ) |
23 |
22
|
orcd |
|- ( ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ a e. ( Fmla ` N ) ) -> ( -. u = a \/ -. v = b ) ) |
24 |
|
ianor |
|- ( -. ( u = a /\ v = b ) <-> ( -. u = a \/ -. v = b ) ) |
25 |
|
vex |
|- u e. _V |
26 |
|
vex |
|- v e. _V |
27 |
25 26
|
opth |
|- ( <. u , v >. = <. a , b >. <-> ( u = a /\ v = b ) ) |
28 |
24 27
|
xchnxbir |
|- ( -. <. u , v >. = <. a , b >. <-> ( -. u = a \/ -. v = b ) ) |
29 |
23 28
|
sylibr |
|- ( ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ a e. ( Fmla ` N ) ) -> -. <. u , v >. = <. a , b >. ) |
30 |
29
|
olcd |
|- ( ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ a e. ( Fmla ` N ) ) -> ( -. 1o = 1o \/ -. <. u , v >. = <. a , b >. ) ) |
31 |
|
ianor |
|- ( -. ( 1o = 1o /\ <. u , v >. = <. a , b >. ) <-> ( -. 1o = 1o \/ -. <. u , v >. = <. a , b >. ) ) |
32 |
|
gonafv |
|- ( ( u e. _V /\ v e. _V ) -> ( u |g v ) = <. 1o , <. u , v >. >. ) |
33 |
32
|
el2v |
|- ( u |g v ) = <. 1o , <. u , v >. >. |
34 |
|
gonafv |
|- ( ( a e. _V /\ b e. _V ) -> ( a |g b ) = <. 1o , <. a , b >. >. ) |
35 |
34
|
el2v |
|- ( a |g b ) = <. 1o , <. a , b >. >. |
36 |
33 35
|
eqeq12i |
|- ( ( u |g v ) = ( a |g b ) <-> <. 1o , <. u , v >. >. = <. 1o , <. a , b >. >. ) |
37 |
|
1oex |
|- 1o e. _V |
38 |
|
opex |
|- <. u , v >. e. _V |
39 |
37 38
|
opth |
|- ( <. 1o , <. u , v >. >. = <. 1o , <. a , b >. >. <-> ( 1o = 1o /\ <. u , v >. = <. a , b >. ) ) |
40 |
36 39
|
bitri |
|- ( ( u |g v ) = ( a |g b ) <-> ( 1o = 1o /\ <. u , v >. = <. a , b >. ) ) |
41 |
31 40
|
xchnxbir |
|- ( -. ( u |g v ) = ( a |g b ) <-> ( -. 1o = 1o \/ -. <. u , v >. = <. a , b >. ) ) |
42 |
30 41
|
sylibr |
|- ( ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ a e. ( Fmla ` N ) ) -> -. ( u |g v ) = ( a |g b ) ) |
43 |
42
|
ralrimivw |
|- ( ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ a e. ( Fmla ` N ) ) -> A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) ) |
44 |
43
|
ralrimiva |
|- ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) -> A. a e. ( Fmla ` N ) A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) ) |
45 |
44
|
adantl |
|- ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> A. a e. ( Fmla ` N ) A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) ) |
46 |
45
|
adantr |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) /\ v e. ( Fmla ` suc N ) ) -> A. a e. ( Fmla ` N ) A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) ) |
47 |
|
gonanegoal |
|- ( u |g v ) =/= A.g j a |
48 |
47
|
neii |
|- -. ( u |g v ) = A.g j a |
49 |
48
|
a1i |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) /\ v e. ( Fmla ` suc N ) ) -> -. ( u |g v ) = A.g j a ) |
50 |
49
|
ralrimivw |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) /\ v e. ( Fmla ` suc N ) ) -> A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) |
51 |
50
|
ralrimivw |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) /\ v e. ( Fmla ` suc N ) ) -> A. a e. ( Fmla ` N ) A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) |
52 |
|
r19.26 |
|- ( A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) <-> ( A. a e. ( Fmla ` N ) A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) ) |
53 |
46 51 52
|
sylanbrc |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) /\ v e. ( Fmla ` suc N ) ) -> A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) ) |
54 |
18 53
|
jca |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) /\ v e. ( Fmla ` suc N ) ) -> ( -. ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) ) ) |
55 |
|
eleq1 |
|- ( f = ( u |g v ) -> ( f e. ( Fmla ` N ) <-> ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) ) ) |
56 |
55
|
notbid |
|- ( f = ( u |g v ) -> ( -. f e. ( Fmla ` N ) <-> -. ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) ) ) |
57 |
|
eqeq1 |
|- ( f = ( u |g v ) -> ( f = ( a |g b ) <-> ( u |g v ) = ( a |g b ) ) ) |
58 |
57
|
notbid |
|- ( f = ( u |g v ) -> ( -. f = ( a |g b ) <-> -. ( u |g v ) = ( a |g b ) ) ) |
59 |
58
|
ralbidv |
|- ( f = ( u |g v ) -> ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) <-> A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) ) ) |
60 |
|
eqeq1 |
|- ( f = ( u |g v ) -> ( f = A.g j a <-> ( u |g v ) = A.g j a ) ) |
61 |
60
|
notbid |
|- ( f = ( u |g v ) -> ( -. f = A.g j a <-> -. ( u |g v ) = A.g j a ) ) |
62 |
61
|
ralbidv |
|- ( f = ( u |g v ) -> ( A. j e. _om -. f = A.g j a <-> A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) ) |
63 |
59 62
|
anbi12d |
|- ( f = ( u |g v ) -> ( ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) <-> ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) ) ) |
64 |
63
|
ralbidv |
|- ( f = ( u |g v ) -> ( A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) <-> A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) ) ) |
65 |
56 64
|
anbi12d |
|- ( f = ( u |g v ) -> ( ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) <-> ( -. ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) ) ) ) |
66 |
54 65
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) /\ v e. ( Fmla ` suc N ) ) -> ( f = ( u |g v ) -> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) ) |
67 |
66
|
rexlimdva |
|- ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) f = ( u |g v ) -> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) ) |
68 |
|
goalr |
|- ( ( N e. _om /\ A.g i u e. ( Fmla ` N ) ) -> u e. ( Fmla ` N ) ) |
69 |
68 12
|
syl |
|- ( ( N e. _om /\ A.g i u e. ( Fmla ` N ) ) -> -. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) |
70 |
69
|
ex |
|- ( N e. _om -> ( A.g i u e. ( Fmla ` N ) -> -. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) ) |
71 |
70
|
con2d |
|- ( N e. _om -> ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) -> -. A.g i u e. ( Fmla ` N ) ) ) |
72 |
71
|
imp |
|- ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> -. A.g i u e. ( Fmla ` N ) ) |
73 |
72
|
adantr |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) /\ i e. _om ) -> -. A.g i u e. ( Fmla ` N ) ) |
74 |
|
gonanegoal |
|- ( a |g b ) =/= A.g i u |
75 |
74
|
nesymi |
|- -. A.g i u = ( a |g b ) |
76 |
75
|
a1i |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) /\ i e. _om ) -> -. A.g i u = ( a |g b ) ) |
77 |
76
|
ralrimivw |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) /\ i e. _om ) -> A. b e. ( Fmla ` N ) -. A.g i u = ( a |g b ) ) |
78 |
77
|
ralrimivw |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) /\ i e. _om ) -> A. a e. ( Fmla ` N ) A. b e. ( Fmla ` N ) -. A.g i u = ( a |g b ) ) |
79 |
22
|
olcd |
|- ( ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ a e. ( Fmla ` N ) ) -> ( -. i = j \/ -. u = a ) ) |
80 |
|
ianor |
|- ( -. ( i = j /\ u = a ) <-> ( -. i = j \/ -. u = a ) ) |
81 |
|
vex |
|- i e. _V |
82 |
81 25
|
opth |
|- ( <. i , u >. = <. j , a >. <-> ( i = j /\ u = a ) ) |
83 |
80 82
|
xchnxbir |
|- ( -. <. i , u >. = <. j , a >. <-> ( -. i = j \/ -. u = a ) ) |
84 |
79 83
|
sylibr |
|- ( ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ a e. ( Fmla ` N ) ) -> -. <. i , u >. = <. j , a >. ) |
85 |
84
|
olcd |
|- ( ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ a e. ( Fmla ` N ) ) -> ( -. 2o = 2o \/ -. <. i , u >. = <. j , a >. ) ) |
86 |
|
ianor |
|- ( -. ( 2o = 2o /\ <. i , u >. = <. j , a >. ) <-> ( -. 2o = 2o \/ -. <. i , u >. = <. j , a >. ) ) |
87 |
|
2oex |
|- 2o e. _V |
88 |
|
opex |
|- <. i , u >. e. _V |
89 |
87 88
|
opth |
|- ( <. 2o , <. i , u >. >. = <. 2o , <. j , a >. >. <-> ( 2o = 2o /\ <. i , u >. = <. j , a >. ) ) |
90 |
86 89
|
xchnxbir |
|- ( -. <. 2o , <. i , u >. >. = <. 2o , <. j , a >. >. <-> ( -. 2o = 2o \/ -. <. i , u >. = <. j , a >. ) ) |
91 |
|
df-goal |
|- A.g i u = <. 2o , <. i , u >. >. |
92 |
|
df-goal |
|- A.g j a = <. 2o , <. j , a >. >. |
93 |
91 92
|
eqeq12i |
|- ( A.g i u = A.g j a <-> <. 2o , <. i , u >. >. = <. 2o , <. j , a >. >. ) |
94 |
90 93
|
xchnxbir |
|- ( -. A.g i u = A.g j a <-> ( -. 2o = 2o \/ -. <. i , u >. = <. j , a >. ) ) |
95 |
85 94
|
sylibr |
|- ( ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ a e. ( Fmla ` N ) ) -> -. A.g i u = A.g j a ) |
96 |
95
|
ralrimivw |
|- ( ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ a e. ( Fmla ` N ) ) -> A. j e. _om -. A.g i u = A.g j a ) |
97 |
96
|
ralrimiva |
|- ( u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) -> A. a e. ( Fmla ` N ) A. j e. _om -. A.g i u = A.g j a ) |
98 |
97
|
adantl |
|- ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> A. a e. ( Fmla ` N ) A. j e. _om -. A.g i u = A.g j a ) |
99 |
98
|
adantr |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) /\ i e. _om ) -> A. a e. ( Fmla ` N ) A. j e. _om -. A.g i u = A.g j a ) |
100 |
|
r19.26 |
|- ( A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. A.g i u = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. A.g i u = A.g j a ) <-> ( A. a e. ( Fmla ` N ) A. b e. ( Fmla ` N ) -. A.g i u = ( a |g b ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) A. j e. _om -. A.g i u = A.g j a ) ) |
101 |
78 99 100
|
sylanbrc |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) /\ i e. _om ) -> A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. A.g i u = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. A.g i u = A.g j a ) ) |
102 |
73 101
|
jca |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) /\ i e. _om ) -> ( -. A.g i u e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. A.g i u = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. A.g i u = A.g j a ) ) ) |
103 |
|
eleq1 |
|- ( A.g i u = f -> ( A.g i u e. ( Fmla ` N ) <-> f e. ( Fmla ` N ) ) ) |
104 |
103
|
notbid |
|- ( A.g i u = f -> ( -. A.g i u e. ( Fmla ` N ) <-> -. f e. ( Fmla ` N ) ) ) |
105 |
|
eqeq1 |
|- ( A.g i u = f -> ( A.g i u = ( a |g b ) <-> f = ( a |g b ) ) ) |
106 |
105
|
notbid |
|- ( A.g i u = f -> ( -. A.g i u = ( a |g b ) <-> -. f = ( a |g b ) ) ) |
107 |
106
|
ralbidv |
|- ( A.g i u = f -> ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. A.g i u = ( a |g b ) <-> A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) ) ) |
108 |
|
eqeq1 |
|- ( A.g i u = f -> ( A.g i u = A.g j a <-> f = A.g j a ) ) |
109 |
108
|
notbid |
|- ( A.g i u = f -> ( -. A.g i u = A.g j a <-> -. f = A.g j a ) ) |
110 |
109
|
ralbidv |
|- ( A.g i u = f -> ( A. j e. _om -. A.g i u = A.g j a <-> A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) |
111 |
107 110
|
anbi12d |
|- ( A.g i u = f -> ( ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. A.g i u = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. A.g i u = A.g j a ) <-> ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) |
112 |
111
|
ralbidv |
|- ( A.g i u = f -> ( A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. A.g i u = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. A.g i u = A.g j a ) <-> A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) |
113 |
104 112
|
anbi12d |
|- ( A.g i u = f -> ( ( -. A.g i u e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. A.g i u = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. A.g i u = A.g j a ) ) <-> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) ) |
114 |
113
|
eqcoms |
|- ( f = A.g i u -> ( ( -. A.g i u e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. A.g i u = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. A.g i u = A.g j a ) ) <-> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) ) |
115 |
102 114
|
syl5ibcom |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) /\ i e. _om ) -> ( f = A.g i u -> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) ) |
116 |
115
|
rexlimdva |
|- ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> ( E. i e. _om f = A.g i u -> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) ) |
117 |
67 116
|
jaod |
|- ( ( N e. _om /\ u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> ( ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) f = ( u |g v ) \/ E. i e. _om f = A.g i u ) -> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) ) |
118 |
117
|
rexlimdva |
|- ( N e. _om -> ( E. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) f = ( u |g v ) \/ E. i e. _om f = A.g i u ) -> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) ) |
119 |
|
elndif |
|- ( v e. ( Fmla ` N ) -> -. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) |
120 |
119
|
adantl |
|- ( ( u e. ( Fmla ` N ) /\ v e. ( Fmla ` N ) ) -> -. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) |
121 |
120
|
intnand |
|- ( ( u e. ( Fmla ` N ) /\ v e. ( Fmla ` N ) ) -> -. ( u e. ( Fmla ` N ) /\ v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) ) |
122 |
11 121
|
syl |
|- ( ( N e. _om /\ ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) ) -> -. ( u e. ( Fmla ` N ) /\ v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) ) |
123 |
122
|
ex |
|- ( N e. _om -> ( ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) -> -. ( u e. ( Fmla ` N ) /\ v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) ) ) |
124 |
123
|
con2d |
|- ( N e. _om -> ( ( u e. ( Fmla ` N ) /\ v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> -. ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) ) ) |
125 |
124
|
impl |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( Fmla ` N ) ) /\ v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> -. ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) ) |
126 |
|
elneeldif |
|- ( ( b e. ( Fmla ` N ) /\ v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> b =/= v ) |
127 |
126
|
necomd |
|- ( ( b e. ( Fmla ` N ) /\ v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> v =/= b ) |
128 |
127
|
ancoms |
|- ( ( v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ b e. ( Fmla ` N ) ) -> v =/= b ) |
129 |
128
|
neneqd |
|- ( ( v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ b e. ( Fmla ` N ) ) -> -. v = b ) |
130 |
129
|
olcd |
|- ( ( v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ b e. ( Fmla ` N ) ) -> ( -. u = a \/ -. v = b ) ) |
131 |
130 28
|
sylibr |
|- ( ( v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ b e. ( Fmla ` N ) ) -> -. <. u , v >. = <. a , b >. ) |
132 |
131
|
intnand |
|- ( ( v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ b e. ( Fmla ` N ) ) -> -. ( 1o = 1o /\ <. u , v >. = <. a , b >. ) ) |
133 |
132 40
|
sylnibr |
|- ( ( v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) /\ b e. ( Fmla ` N ) ) -> -. ( u |g v ) = ( a |g b ) ) |
134 |
133
|
ralrimiva |
|- ( v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) -> A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) ) |
135 |
134
|
ralrimivw |
|- ( v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) -> A. a e. ( Fmla ` N ) A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) ) |
136 |
135
|
adantl |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( Fmla ` N ) ) /\ v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> A. a e. ( Fmla ` N ) A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) ) |
137 |
48
|
a1i |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( Fmla ` N ) ) /\ v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> -. ( u |g v ) = A.g j a ) |
138 |
137
|
ralrimivw |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( Fmla ` N ) ) /\ v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) |
139 |
138
|
ralrimivw |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( Fmla ` N ) ) /\ v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> A. a e. ( Fmla ` N ) A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) |
140 |
136 139 52
|
sylanbrc |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( Fmla ` N ) ) /\ v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) ) |
141 |
125 140
|
jca |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( Fmla ` N ) ) /\ v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> ( -. ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) ) ) |
142 |
|
eleq1 |
|- ( ( u |g v ) = f -> ( ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) <-> f e. ( Fmla ` N ) ) ) |
143 |
142
|
notbid |
|- ( ( u |g v ) = f -> ( -. ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) <-> -. f e. ( Fmla ` N ) ) ) |
144 |
|
eqeq1 |
|- ( ( u |g v ) = f -> ( ( u |g v ) = ( a |g b ) <-> f = ( a |g b ) ) ) |
145 |
144
|
notbid |
|- ( ( u |g v ) = f -> ( -. ( u |g v ) = ( a |g b ) <-> -. f = ( a |g b ) ) ) |
146 |
145
|
ralbidv |
|- ( ( u |g v ) = f -> ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) <-> A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) ) ) |
147 |
|
eqeq1 |
|- ( ( u |g v ) = f -> ( ( u |g v ) = A.g j a <-> f = A.g j a ) ) |
148 |
147
|
notbid |
|- ( ( u |g v ) = f -> ( -. ( u |g v ) = A.g j a <-> -. f = A.g j a ) ) |
149 |
148
|
ralbidv |
|- ( ( u |g v ) = f -> ( A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a <-> A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) |
150 |
146 149
|
anbi12d |
|- ( ( u |g v ) = f -> ( ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) <-> ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) |
151 |
150
|
ralbidv |
|- ( ( u |g v ) = f -> ( A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) <-> A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) |
152 |
143 151
|
anbi12d |
|- ( ( u |g v ) = f -> ( ( -. ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) ) <-> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) ) |
153 |
152
|
eqcoms |
|- ( f = ( u |g v ) -> ( ( -. ( u |g v ) e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. ( u |g v ) = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. ( u |g v ) = A.g j a ) ) <-> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) ) |
154 |
141 153
|
syl5ibcom |
|- ( ( ( N e. _om /\ u e. ( Fmla ` N ) ) /\ v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ) -> ( f = ( u |g v ) -> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) ) |
155 |
154
|
rexlimdva |
|- ( ( N e. _om /\ u e. ( Fmla ` N ) ) -> ( E. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) f = ( u |g v ) -> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) ) |
156 |
155
|
rexlimdva |
|- ( N e. _om -> ( E. u e. ( Fmla ` N ) E. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) f = ( u |g v ) -> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) ) |
157 |
118 156
|
jaod |
|- ( N e. _om -> ( ( E. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) f = ( u |g v ) \/ E. i e. _om f = A.g i u ) \/ E. u e. ( Fmla ` N ) E. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) f = ( u |g v ) ) -> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) ) |
158 |
|
isfmlasuc |
|- ( ( N e. _om /\ f e. _V ) -> ( f e. ( Fmla ` suc N ) <-> ( f e. ( Fmla ` N ) \/ E. a e. ( Fmla ` N ) ( E. b e. ( Fmla ` N ) f = ( a |g b ) \/ E. j e. _om f = A.g j a ) ) ) ) |
159 |
158
|
elvd |
|- ( N e. _om -> ( f e. ( Fmla ` suc N ) <-> ( f e. ( Fmla ` N ) \/ E. a e. ( Fmla ` N ) ( E. b e. ( Fmla ` N ) f = ( a |g b ) \/ E. j e. _om f = A.g j a ) ) ) ) |
160 |
159
|
notbid |
|- ( N e. _om -> ( -. f e. ( Fmla ` suc N ) <-> -. ( f e. ( Fmla ` N ) \/ E. a e. ( Fmla ` N ) ( E. b e. ( Fmla ` N ) f = ( a |g b ) \/ E. j e. _om f = A.g j a ) ) ) ) |
161 |
|
ioran |
|- ( -. ( f e. ( Fmla ` N ) \/ E. a e. ( Fmla ` N ) ( E. b e. ( Fmla ` N ) f = ( a |g b ) \/ E. j e. _om f = A.g j a ) ) <-> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ -. E. a e. ( Fmla ` N ) ( E. b e. ( Fmla ` N ) f = ( a |g b ) \/ E. j e. _om f = A.g j a ) ) ) |
162 |
|
ralnex |
|- ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) <-> -. E. b e. ( Fmla ` N ) f = ( a |g b ) ) |
163 |
|
ralnex |
|- ( A. j e. _om -. f = A.g j a <-> -. E. j e. _om f = A.g j a ) |
164 |
162 163
|
anbi12i |
|- ( ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) <-> ( -. E. b e. ( Fmla ` N ) f = ( a |g b ) /\ -. E. j e. _om f = A.g j a ) ) |
165 |
|
ioran |
|- ( -. ( E. b e. ( Fmla ` N ) f = ( a |g b ) \/ E. j e. _om f = A.g j a ) <-> ( -. E. b e. ( Fmla ` N ) f = ( a |g b ) /\ -. E. j e. _om f = A.g j a ) ) |
166 |
164 165
|
bitr4i |
|- ( ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) <-> -. ( E. b e. ( Fmla ` N ) f = ( a |g b ) \/ E. j e. _om f = A.g j a ) ) |
167 |
166
|
ralbii |
|- ( A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) <-> A. a e. ( Fmla ` N ) -. ( E. b e. ( Fmla ` N ) f = ( a |g b ) \/ E. j e. _om f = A.g j a ) ) |
168 |
|
ralnex |
|- ( A. a e. ( Fmla ` N ) -. ( E. b e. ( Fmla ` N ) f = ( a |g b ) \/ E. j e. _om f = A.g j a ) <-> -. E. a e. ( Fmla ` N ) ( E. b e. ( Fmla ` N ) f = ( a |g b ) \/ E. j e. _om f = A.g j a ) ) |
169 |
167 168
|
bitr2i |
|- ( -. E. a e. ( Fmla ` N ) ( E. b e. ( Fmla ` N ) f = ( a |g b ) \/ E. j e. _om f = A.g j a ) <-> A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) |
170 |
169
|
anbi2i |
|- ( ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ -. E. a e. ( Fmla ` N ) ( E. b e. ( Fmla ` N ) f = ( a |g b ) \/ E. j e. _om f = A.g j a ) ) <-> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) |
171 |
161 170
|
bitri |
|- ( -. ( f e. ( Fmla ` N ) \/ E. a e. ( Fmla ` N ) ( E. b e. ( Fmla ` N ) f = ( a |g b ) \/ E. j e. _om f = A.g j a ) ) <-> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) |
172 |
160 171
|
syl6bb |
|- ( N e. _om -> ( -. f e. ( Fmla ` suc N ) <-> ( -. f e. ( Fmla ` N ) /\ A. a e. ( Fmla ` N ) ( A. b e. ( Fmla ` N ) -. f = ( a |g b ) /\ A. j e. _om -. f = A.g j a ) ) ) ) |
173 |
157 172
|
sylibrd |
|- ( N e. _om -> ( ( E. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) f = ( u |g v ) \/ E. i e. _om f = A.g i u ) \/ E. u e. ( Fmla ` N ) E. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) f = ( u |g v ) ) -> -. f e. ( Fmla ` suc N ) ) ) |
174 |
10 173
|
syl5bi |
|- ( N e. _om -> ( f e. { x | ( E. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) x = ( u |g v ) \/ E. i e. _om x = A.g i u ) \/ E. u e. ( Fmla ` N ) E. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) x = ( u |g v ) ) } -> -. f e. ( Fmla ` suc N ) ) ) |
175 |
174
|
ralrimiv |
|- ( N e. _om -> A. f e. { x | ( E. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) x = ( u |g v ) \/ E. i e. _om x = A.g i u ) \/ E. u e. ( Fmla ` N ) E. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) x = ( u |g v ) ) } -. f e. ( Fmla ` suc N ) ) |
176 |
|
disjr |
|- ( ( ( Fmla ` suc N ) i^i { x | ( E. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) x = ( u |g v ) \/ E. i e. _om x = A.g i u ) \/ E. u e. ( Fmla ` N ) E. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) x = ( u |g v ) ) } ) = (/) <-> A. f e. { x | ( E. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) x = ( u |g v ) \/ E. i e. _om x = A.g i u ) \/ E. u e. ( Fmla ` N ) E. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) x = ( u |g v ) ) } -. f e. ( Fmla ` suc N ) ) |
177 |
175 176
|
sylibr |
|- ( N e. _om -> ( ( Fmla ` suc N ) i^i { x | ( E. u e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) ( E. v e. ( Fmla ` suc N ) x = ( u |g v ) \/ E. i e. _om x = A.g i u ) \/ E. u e. ( Fmla ` N ) E. v e. ( ( Fmla ` suc N ) \ ( Fmla ` N ) ) x = ( u |g v ) ) } ) = (/) ) |