Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fourierdlem40.f |
|- ( ph -> F : RR --> RR ) |
2 |
|
fourierdlem40.a |
|- ( ph -> A e. ( -u _pi [,] _pi ) ) |
3 |
|
fourierdlem40.b |
|- ( ph -> B e. ( -u _pi [,] _pi ) ) |
4 |
|
fourierdlem40.x |
|- ( ph -> X e. RR ) |
5 |
|
fourierdlem40.nxelab |
|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) ) |
6 |
|
fourierdlem40.fcn |
|- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) ) |
7 |
|
fourierdlem40.y |
|- ( ph -> Y e. RR ) |
8 |
|
fourierdlem40.w |
|- ( ph -> W e. RR ) |
9 |
|
fourierdlem40.h |
|- H = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |
10 |
9
|
reseq1i |
|- ( H |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) |
11 |
10
|
a1i |
|- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) ) |
12 |
|
pire |
|- _pi e. RR |
13 |
12
|
renegcli |
|- -u _pi e. RR |
14 |
13
|
a1i |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u _pi e. RR ) |
15 |
12
|
a1i |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> _pi e. RR ) |
16 |
|
elioore |
|- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR ) |
17 |
16
|
adantl |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR ) |
18 |
13
|
a1i |
|- ( ph -> -u _pi e. RR ) |
19 |
12
|
a1i |
|- ( ph -> _pi e. RR ) |
20 |
18 19
|
iccssred |
|- ( ph -> ( -u _pi [,] _pi ) C_ RR ) |
21 |
20 2
|
sseldd |
|- ( ph -> A e. RR ) |
22 |
21
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR ) |
23 |
13 12
|
elicc2i |
|- ( A e. ( -u _pi [,] _pi ) <-> ( A e. RR /\ -u _pi <_ A /\ A <_ _pi ) ) |
24 |
23
|
simp2bi |
|- ( A e. ( -u _pi [,] _pi ) -> -u _pi <_ A ) |
25 |
2 24
|
syl |
|- ( ph -> -u _pi <_ A ) |
26 |
25
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u _pi <_ A ) |
27 |
22
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* ) |
28 |
20 3
|
sseldd |
|- ( ph -> B e. RR ) |
29 |
28
|
rexrd |
|- ( ph -> B e. RR* ) |
30 |
29
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* ) |
31 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) ) |
32 |
|
ioogtlb |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s ) |
33 |
27 30 31 32
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s ) |
34 |
14 22 17 26 33
|
lelttrd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u _pi < s ) |
35 |
14 17 34
|
ltled |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u _pi <_ s ) |
36 |
28
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR ) |
37 |
|
iooltub |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B ) |
38 |
27 30 31 37
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B ) |
39 |
13 12
|
elicc2i |
|- ( B e. ( -u _pi [,] _pi ) <-> ( B e. RR /\ -u _pi <_ B /\ B <_ _pi ) ) |
40 |
39
|
simp3bi |
|- ( B e. ( -u _pi [,] _pi ) -> B <_ _pi ) |
41 |
3 40
|
syl |
|- ( ph -> B <_ _pi ) |
42 |
41
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ _pi ) |
43 |
17 36 15 38 42
|
ltletrd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < _pi ) |
44 |
17 15 43
|
ltled |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s <_ _pi ) |
45 |
14 15 17 35 44
|
eliccd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) |
46 |
45
|
ex |
|- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) ) |
47 |
46
|
ssrdv |
|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) ) |
48 |
47
|
resmptd |
|- ( ph -> ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) ) |
49 |
|
eleq1 |
|- ( s = 0 -> ( s e. ( A (,) B ) <-> 0 e. ( A (,) B ) ) ) |
50 |
49
|
biimpac |
|- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) ) |
51 |
50
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) ) |
52 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) ) |
53 |
51 52
|
pm2.65da |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 ) |
54 |
53
|
iffalsed |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) |
55 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR ) |
56 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR ) |
57 |
56 17
|
readdcld |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR ) |
58 |
55 57
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR ) |
59 |
7 8
|
ifcld |
|- ( ph -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR ) |
60 |
59
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR ) |
61 |
58 60
|
resubcld |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. RR ) |
62 |
61
|
recnd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. CC ) |
63 |
17
|
recnd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC ) |
64 |
53
|
neqned |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 ) |
65 |
62 63 64
|
divrecd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) |
66 |
54 65
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) |
67 |
66
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) ) |
68 |
11 48 67
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) ) |
69 |
58
|
recnd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC ) |
70 |
60
|
recnd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC ) |
71 |
69 70
|
negsubd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) |
72 |
71
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) |
73 |
72
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) ) |
74 |
21 4
|
readdcld |
|- ( ph -> ( A + X ) e. RR ) |
75 |
74
|
rexrd |
|- ( ph -> ( A + X ) e. RR* ) |
76 |
75
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) e. RR* ) |
77 |
28 4
|
readdcld |
|- ( ph -> ( B + X ) e. RR ) |
78 |
77
|
rexrd |
|- ( ph -> ( B + X ) e. RR* ) |
79 |
78
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( B + X ) e. RR* ) |
80 |
21
|
recnd |
|- ( ph -> A e. CC ) |
81 |
4
|
recnd |
|- ( ph -> X e. CC ) |
82 |
80 81
|
addcomd |
|- ( ph -> ( A + X ) = ( X + A ) ) |
83 |
82
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) = ( X + A ) ) |
84 |
22 17 56 33
|
ltadd2dd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) ) |
85 |
83 84
|
eqbrtrd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) < ( X + s ) ) |
86 |
17 36 56 38
|
ltadd2dd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) ) |
87 |
28
|
recnd |
|- ( ph -> B e. CC ) |
88 |
81 87
|
addcomd |
|- ( ph -> ( X + B ) = ( B + X ) ) |
89 |
88
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) = ( B + X ) ) |
90 |
86 89
|
breqtrd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( B + X ) ) |
91 |
76 79 57 85 90
|
eliood |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) |
92 |
|
fvres |
|- ( ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) ) |
93 |
91 92
|
syl |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) ) |
94 |
93
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) |
95 |
94
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) ) |
96 |
|
ioosscn |
|- ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC |
97 |
96
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC ) |
98 |
|
ioosscn |
|- ( A (,) B ) C_ CC |
99 |
98
|
a1i |
|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC ) |
100 |
97 6 99 81 91
|
fourierdlem23 |
|- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
101 |
95 100
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
102 |
|
0red |
|- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR ) |
103 |
21
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR ) |
104 |
16
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR ) |
105 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ A ) |
106 |
33
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s ) |
107 |
102 103 104 105 106
|
lelttrd |
|- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 < s ) |
108 |
107
|
iftrued |
|- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = Y ) |
109 |
108
|
negeqd |
|- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u Y ) |
110 |
109
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) ) |
111 |
7
|
renegcld |
|- ( ph -> -u Y e. RR ) |
112 |
111
|
recnd |
|- ( ph -> -u Y e. CC ) |
113 |
|
ssid |
|- CC C_ CC |
114 |
113
|
a1i |
|- ( ph -> CC C_ CC ) |
115 |
99 112 114
|
constcncfg |
|- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
116 |
115
|
adantr |
|- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
117 |
110 116
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
118 |
21
|
rexrd |
|- ( ph -> A e. RR* ) |
119 |
118
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A e. RR* ) |
120 |
29
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR* ) |
121 |
|
0red |
|- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR ) |
122 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> -. 0 <_ A ) |
123 |
21
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A e. RR ) |
124 |
|
0red |
|- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> 0 e. RR ) |
125 |
123 124
|
ltnled |
|- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( A < 0 <-> -. 0 <_ A ) ) |
126 |
122 125
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A < 0 ) |
127 |
126
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A < 0 ) |
128 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> -. B <_ 0 ) |
129 |
|
0red |
|- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR ) |
130 |
28
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR ) |
131 |
129 130
|
ltnled |
|- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> ( 0 < B <-> -. B <_ 0 ) ) |
132 |
128 131
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B ) |
133 |
132
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B ) |
134 |
119 120 121 127 133
|
eliood |
|- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) ) |
135 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) ) |
136 |
134 135
|
condan |
|- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> B <_ 0 ) |
137 |
16
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR ) |
138 |
|
0red |
|- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR ) |
139 |
28
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR ) |
140 |
38
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B ) |
141 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ 0 ) |
142 |
137 139 138 140 141
|
ltletrd |
|- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < 0 ) |
143 |
137 138 142
|
ltnsymd |
|- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. 0 < s ) |
144 |
143
|
iffalsed |
|- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W ) |
145 |
144
|
negeqd |
|- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u W ) |
146 |
145
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) ) |
147 |
8
|
recnd |
|- ( ph -> W e. CC ) |
148 |
147
|
negcld |
|- ( ph -> -u W e. CC ) |
149 |
99 148 114
|
constcncfg |
|- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
150 |
149
|
adantr |
|- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
151 |
146 150
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
152 |
136 151
|
syldan |
|- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
153 |
117 152
|
pm2.61dan |
|- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
154 |
101 153
|
addcncf |
|- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
155 |
73 154
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
156 |
|
eqid |
|- ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) = ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) |
157 |
|
1cnd |
|- ( ph -> 1 e. CC ) |
158 |
156
|
cdivcncf |
|- ( 1 e. CC -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) ) |
159 |
157 158
|
syl |
|- ( ph -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) ) |
160 |
|
velsn |
|- ( s e. { 0 } <-> s = 0 ) |
161 |
53 160
|
sylnibr |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s e. { 0 } ) |
162 |
63 161
|
eldifd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) ) |
163 |
162
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) ) |
164 |
|
dfss3 |
|- ( ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) <-> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) ) |
165 |
163 164
|
sylibr |
|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) ) |
166 |
17 64
|
rereccld |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. RR ) |
167 |
166
|
recnd |
|- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. CC ) |
168 |
156 159 165 114 167
|
cncfmptssg |
|- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
169 |
155 168
|
mulcncf |
|- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
170 |
68 169
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |