Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
frgr3v.v |
|- V = ( Vtx ` G ) |
2 |
|
frgr3v.e |
|- E = ( Edg ` G ) |
3 |
1 2
|
isfrgr |
|- ( G e. FriendGraph <-> ( G e. USGraph /\ A. k e. V A. l e. ( V \ { k } ) E! x e. V { { x , k } , { x , l } } C_ E ) ) |
4 |
3
|
a1i |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( G e. FriendGraph <-> ( G e. USGraph /\ A. k e. V A. l e. ( V \ { k } ) E! x e. V { { x , k } , { x , l } } C_ E ) ) ) |
5 |
|
id |
|- ( V = { A , B , C } -> V = { A , B , C } ) |
6 |
|
difeq1 |
|- ( V = { A , B , C } -> ( V \ { k } ) = ( { A , B , C } \ { k } ) ) |
7 |
|
reueq1 |
|- ( V = { A , B , C } -> ( E! x e. V { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E ) ) |
8 |
6 7
|
raleqbidv |
|- ( V = { A , B , C } -> ( A. l e. ( V \ { k } ) E! x e. V { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E ) ) |
9 |
5 8
|
raleqbidv |
|- ( V = { A , B , C } -> ( A. k e. V A. l e. ( V \ { k } ) E! x e. V { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> A. k e. { A , B , C } A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E ) ) |
10 |
9
|
anbi2d |
|- ( V = { A , B , C } -> ( ( G e. USGraph /\ A. k e. V A. l e. ( V \ { k } ) E! x e. V { { x , k } , { x , l } } C_ E ) <-> ( G e. USGraph /\ A. k e. { A , B , C } A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E ) ) ) |
11 |
10
|
baibd |
|- ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( ( G e. USGraph /\ A. k e. V A. l e. ( V \ { k } ) E! x e. V { { x , k } , { x , l } } C_ E ) <-> A. k e. { A , B , C } A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E ) ) |
12 |
11
|
adantl |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( G e. USGraph /\ A. k e. V A. l e. ( V \ { k } ) E! x e. V { { x , k } , { x , l } } C_ E ) <-> A. k e. { A , B , C } A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E ) ) |
13 |
4 12
|
bitrd |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( G e. FriendGraph <-> A. k e. { A , B , C } A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E ) ) |
14 |
|
sneq |
|- ( k = A -> { k } = { A } ) |
15 |
14
|
difeq2d |
|- ( k = A -> ( { A , B , C } \ { k } ) = ( { A , B , C } \ { A } ) ) |
16 |
|
preq2 |
|- ( k = A -> { x , k } = { x , A } ) |
17 |
16
|
preq1d |
|- ( k = A -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , A } , { x , l } } ) |
18 |
17
|
sseq1d |
|- ( k = A -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> { { x , A } , { x , l } } C_ E ) ) |
19 |
18
|
reubidv |
|- ( k = A -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E ) ) |
20 |
15 19
|
raleqbidv |
|- ( k = A -> ( A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> A. l e. ( { A , B , C } \ { A } ) E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E ) ) |
21 |
|
sneq |
|- ( k = B -> { k } = { B } ) |
22 |
21
|
difeq2d |
|- ( k = B -> ( { A , B , C } \ { k } ) = ( { A , B , C } \ { B } ) ) |
23 |
|
preq2 |
|- ( k = B -> { x , k } = { x , B } ) |
24 |
23
|
preq1d |
|- ( k = B -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , B } , { x , l } } ) |
25 |
24
|
sseq1d |
|- ( k = B -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> { { x , B } , { x , l } } C_ E ) ) |
26 |
25
|
reubidv |
|- ( k = B -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E ) ) |
27 |
22 26
|
raleqbidv |
|- ( k = B -> ( A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> A. l e. ( { A , B , C } \ { B } ) E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E ) ) |
28 |
|
sneq |
|- ( k = C -> { k } = { C } ) |
29 |
28
|
difeq2d |
|- ( k = C -> ( { A , B , C } \ { k } ) = ( { A , B , C } \ { C } ) ) |
30 |
|
preq2 |
|- ( k = C -> { x , k } = { x , C } ) |
31 |
30
|
preq1d |
|- ( k = C -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , C } , { x , l } } ) |
32 |
31
|
sseq1d |
|- ( k = C -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> { { x , C } , { x , l } } C_ E ) ) |
33 |
32
|
reubidv |
|- ( k = C -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) ) |
34 |
29 33
|
raleqbidv |
|- ( k = C -> ( A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> A. l e. ( { A , B , C } \ { C } ) E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) ) |
35 |
20 27 34
|
raltpg |
|- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) -> ( A. k e. { A , B , C } A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> ( A. l e. ( { A , B , C } \ { A } ) E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. ( { A , B , C } \ { B } ) E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. ( { A , B , C } \ { C } ) E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) ) ) |
36 |
35
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( A. k e. { A , B , C } A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> ( A. l e. ( { A , B , C } \ { A } ) E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. ( { A , B , C } \ { B } ) E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. ( { A , B , C } \ { C } ) E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) ) ) |
37 |
|
tprot |
|- { A , B , C } = { B , C , A } |
38 |
37
|
a1i |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> { A , B , C } = { B , C , A } ) |
39 |
38
|
difeq1d |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { A , B , C } \ { A } ) = ( { B , C , A } \ { A } ) ) |
40 |
|
necom |
|- ( A =/= B <-> B =/= A ) |
41 |
40
|
biimpi |
|- ( A =/= B -> B =/= A ) |
42 |
|
necom |
|- ( A =/= C <-> C =/= A ) |
43 |
42
|
biimpi |
|- ( A =/= C -> C =/= A ) |
44 |
41 43
|
anim12i |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C ) -> ( B =/= A /\ C =/= A ) ) |
45 |
44
|
3adant3 |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( B =/= A /\ C =/= A ) ) |
46 |
|
diftpsn3 |
|- ( ( B =/= A /\ C =/= A ) -> ( { B , C , A } \ { A } ) = { B , C } ) |
47 |
45 46
|
syl |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { B , C , A } \ { A } ) = { B , C } ) |
48 |
39 47
|
eqtrd |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { A , B , C } \ { A } ) = { B , C } ) |
49 |
48
|
raleqdv |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( A. l e. ( { A , B , C } \ { A } ) E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E <-> A. l e. { B , C } E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E ) ) |
50 |
|
tprot |
|- { C , A , B } = { A , B , C } |
51 |
50
|
eqcomi |
|- { A , B , C } = { C , A , B } |
52 |
51
|
a1i |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> { A , B , C } = { C , A , B } ) |
53 |
52
|
difeq1d |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { A , B , C } \ { B } ) = ( { C , A , B } \ { B } ) ) |
54 |
|
id |
|- ( A =/= B -> A =/= B ) |
55 |
|
necom |
|- ( B =/= C <-> C =/= B ) |
56 |
55
|
biimpi |
|- ( B =/= C -> C =/= B ) |
57 |
54 56
|
anim12ci |
|- ( ( A =/= B /\ B =/= C ) -> ( C =/= B /\ A =/= B ) ) |
58 |
57
|
3adant2 |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( C =/= B /\ A =/= B ) ) |
59 |
|
diftpsn3 |
|- ( ( C =/= B /\ A =/= B ) -> ( { C , A , B } \ { B } ) = { C , A } ) |
60 |
58 59
|
syl |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { C , A , B } \ { B } ) = { C , A } ) |
61 |
53 60
|
eqtrd |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { A , B , C } \ { B } ) = { C , A } ) |
62 |
61
|
raleqdv |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( A. l e. ( { A , B , C } \ { B } ) E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E <-> A. l e. { C , A } E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E ) ) |
63 |
|
diftpsn3 |
|- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { A , B , C } \ { C } ) = { A , B } ) |
64 |
63
|
3adant1 |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { A , B , C } \ { C } ) = { A , B } ) |
65 |
64
|
raleqdv |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( A. l e. ( { A , B , C } \ { C } ) E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E <-> A. l e. { A , B } E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) ) |
66 |
49 62 65
|
3anbi123d |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( A. l e. ( { A , B , C } \ { A } ) E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. ( { A , B , C } \ { B } ) E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. ( { A , B , C } \ { C } ) E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) <-> ( A. l e. { B , C } E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. { C , A } E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. { A , B } E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) ) ) |
67 |
66
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( A. l e. ( { A , B , C } \ { A } ) E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. ( { A , B , C } \ { B } ) E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. ( { A , B , C } \ { C } ) E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) <-> ( A. l e. { B , C } E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. { C , A } E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. { A , B } E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) ) ) |
68 |
|
preq2 |
|- ( l = B -> { x , l } = { x , B } ) |
69 |
68
|
preq2d |
|- ( l = B -> { { x , A } , { x , l } } = { { x , A } , { x , B } } ) |
70 |
69
|
sseq1d |
|- ( l = B -> ( { { x , A } , { x , l } } C_ E <-> { { x , A } , { x , B } } C_ E ) ) |
71 |
70
|
reubidv |
|- ( l = B -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E ) ) |
72 |
|
preq2 |
|- ( l = C -> { x , l } = { x , C } ) |
73 |
72
|
preq2d |
|- ( l = C -> { { x , A } , { x , l } } = { { x , A } , { x , C } } ) |
74 |
73
|
sseq1d |
|- ( l = C -> ( { { x , A } , { x , l } } C_ E <-> { { x , A } , { x , C } } C_ E ) ) |
75 |
74
|
reubidv |
|- ( l = C -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) ) |
76 |
71 75
|
ralprg |
|- ( ( B e. Y /\ C e. Z ) -> ( A. l e. { B , C } E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E <-> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) ) ) |
77 |
76
|
3adant1 |
|- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) -> ( A. l e. { B , C } E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E <-> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) ) ) |
78 |
72
|
preq2d |
|- ( l = C -> { { x , B } , { x , l } } = { { x , B } , { x , C } } ) |
79 |
78
|
sseq1d |
|- ( l = C -> ( { { x , B } , { x , l } } C_ E <-> { { x , B } , { x , C } } C_ E ) ) |
80 |
79
|
reubidv |
|- ( l = C -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E ) ) |
81 |
|
preq2 |
|- ( l = A -> { x , l } = { x , A } ) |
82 |
81
|
preq2d |
|- ( l = A -> { { x , B } , { x , l } } = { { x , B } , { x , A } } ) |
83 |
82
|
sseq1d |
|- ( l = A -> ( { { x , B } , { x , l } } C_ E <-> { { x , B } , { x , A } } C_ E ) ) |
84 |
83
|
reubidv |
|- ( l = A -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) ) |
85 |
80 84
|
ralprg |
|- ( ( C e. Z /\ A e. X ) -> ( A. l e. { C , A } E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E <-> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) ) ) |
86 |
85
|
ancoms |
|- ( ( A e. X /\ C e. Z ) -> ( A. l e. { C , A } E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E <-> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) ) ) |
87 |
86
|
3adant2 |
|- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) -> ( A. l e. { C , A } E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E <-> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) ) ) |
88 |
81
|
preq2d |
|- ( l = A -> { { x , C } , { x , l } } = { { x , C } , { x , A } } ) |
89 |
88
|
sseq1d |
|- ( l = A -> ( { { x , C } , { x , l } } C_ E <-> { { x , C } , { x , A } } C_ E ) ) |
90 |
89
|
reubidv |
|- ( l = A -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E ) ) |
91 |
68
|
preq2d |
|- ( l = B -> { { x , C } , { x , l } } = { { x , C } , { x , B } } ) |
92 |
91
|
sseq1d |
|- ( l = B -> ( { { x , C } , { x , l } } C_ E <-> { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) |
93 |
92
|
reubidv |
|- ( l = B -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) |
94 |
90 93
|
ralprg |
|- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( A. l e. { A , B } E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E <-> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) ) |
95 |
94
|
3adant3 |
|- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) -> ( A. l e. { A , B } E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E <-> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) ) |
96 |
77 87 95
|
3anbi123d |
|- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) -> ( ( A. l e. { B , C } E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. { C , A } E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. { A , B } E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) <-> ( ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) ) ) |
97 |
96
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( A. l e. { B , C } E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. { C , A } E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. { A , B } E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) <-> ( ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) ) ) |
98 |
36 67 97
|
3bitrd |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( A. k e. { A , B , C } A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> ( ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) ) ) |
99 |
1 2
|
frgr3vlem2 |
|- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E <-> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) ) ) |
100 |
99
|
imp |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E <-> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) ) |
101 |
|
simpll1 |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> A e. X ) |
102 |
|
simpll3 |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> C e. Z ) |
103 |
|
simpll2 |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> B e. Y ) |
104 |
101 102 103
|
3jca |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( A e. X /\ C e. Z /\ B e. Y ) ) |
105 |
|
simplr2 |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> A =/= C ) |
106 |
|
simplr1 |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> A =/= B ) |
107 |
58
|
simpld |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> C =/= B ) |
108 |
107
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> C =/= B ) |
109 |
105 106 108
|
3jca |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( A =/= C /\ A =/= B /\ C =/= B ) ) |
110 |
|
tpcomb |
|- { A , B , C } = { A , C , B } |
111 |
5 110
|
eqtrdi |
|- ( V = { A , B , C } -> V = { A , C , B } ) |
112 |
111
|
anim1i |
|- ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( V = { A , C , B } /\ G e. USGraph ) ) |
113 |
112
|
adantl |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( V = { A , C , B } /\ G e. USGraph ) ) |
114 |
|
reueq1 |
|- ( { A , B , C } = { A , C , B } -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E <-> E! x e. { A , C , B } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) ) |
115 |
110 114
|
mp1i |
|- ( ( ( ( A e. X /\ C e. Z /\ B e. Y ) /\ ( A =/= C /\ A =/= B /\ C =/= B ) ) /\ ( V = { A , C , B } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E <-> E! x e. { A , C , B } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) ) |
116 |
1 2
|
frgr3vlem2 |
|- ( ( ( A e. X /\ C e. Z /\ B e. Y ) /\ ( A =/= C /\ A =/= B /\ C =/= B ) ) -> ( ( V = { A , C , B } /\ G e. USGraph ) -> ( E! x e. { A , C , B } { { x , A } , { x , C } } C_ E <-> ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) ) ) |
117 |
116
|
imp |
|- ( ( ( ( A e. X /\ C e. Z /\ B e. Y ) /\ ( A =/= C /\ A =/= B /\ C =/= B ) ) /\ ( V = { A , C , B } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , C , B } { { x , A } , { x , C } } C_ E <-> ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) ) |
118 |
115 117
|
bitrd |
|- ( ( ( ( A e. X /\ C e. Z /\ B e. Y ) /\ ( A =/= C /\ A =/= B /\ C =/= B ) ) /\ ( V = { A , C , B } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E <-> ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) ) |
119 |
104 109 113 118
|
syl21anc |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E <-> ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) ) |
120 |
100 119
|
anbi12d |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) <-> ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) ) ) |
121 |
103 102 101
|
3jca |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( B e. Y /\ C e. Z /\ A e. X ) ) |
122 |
|
simplr3 |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> B =/= C ) |
123 |
106
|
necomd |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> B =/= A ) |
124 |
105
|
necomd |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> C =/= A ) |
125 |
122 123 124
|
3jca |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( B =/= C /\ B =/= A /\ C =/= A ) ) |
126 |
37
|
eqeq2i |
|- ( V = { A , B , C } <-> V = { B , C , A } ) |
127 |
126
|
biimpi |
|- ( V = { A , B , C } -> V = { B , C , A } ) |
128 |
127
|
anim1i |
|- ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( V = { B , C , A } /\ G e. USGraph ) ) |
129 |
128
|
adantl |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( V = { B , C , A } /\ G e. USGraph ) ) |
130 |
|
reueq1 |
|- ( { A , B , C } = { B , C , A } -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E <-> E! x e. { B , C , A } { { x , B } , { x , C } } C_ E ) ) |
131 |
37 130
|
mp1i |
|- ( ( ( ( B e. Y /\ C e. Z /\ A e. X ) /\ ( B =/= C /\ B =/= A /\ C =/= A ) ) /\ ( V = { B , C , A } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E <-> E! x e. { B , C , A } { { x , B } , { x , C } } C_ E ) ) |
132 |
1 2
|
frgr3vlem2 |
|- ( ( ( B e. Y /\ C e. Z /\ A e. X ) /\ ( B =/= C /\ B =/= A /\ C =/= A ) ) -> ( ( V = { B , C , A } /\ G e. USGraph ) -> ( E! x e. { B , C , A } { { x , B } , { x , C } } C_ E <-> ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) ) ) ) |
133 |
132
|
imp |
|- ( ( ( ( B e. Y /\ C e. Z /\ A e. X ) /\ ( B =/= C /\ B =/= A /\ C =/= A ) ) /\ ( V = { B , C , A } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { B , C , A } { { x , B } , { x , C } } C_ E <-> ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) ) ) |
134 |
131 133
|
bitrd |
|- ( ( ( ( B e. Y /\ C e. Z /\ A e. X ) /\ ( B =/= C /\ B =/= A /\ C =/= A ) ) /\ ( V = { B , C , A } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E <-> ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) ) ) |
135 |
121 125 129 134
|
syl21anc |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E <-> ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) ) ) |
136 |
103 101 102
|
3jca |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( B e. Y /\ A e. X /\ C e. Z ) ) |
137 |
123 122 105
|
3jca |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( B =/= A /\ B =/= C /\ A =/= C ) ) |
138 |
|
tpcoma |
|- { A , B , C } = { B , A , C } |
139 |
138
|
eqeq2i |
|- ( V = { A , B , C } <-> V = { B , A , C } ) |
140 |
139
|
biimpi |
|- ( V = { A , B , C } -> V = { B , A , C } ) |
141 |
140
|
anim1i |
|- ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) ) |
142 |
141
|
adantl |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) ) |
143 |
|
reueq1 |
|- ( { A , B , C } = { B , A , C } -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E <-> E! x e. { B , A , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) ) |
144 |
138 143
|
mp1i |
|- ( ( ( ( B e. Y /\ A e. X /\ C e. Z ) /\ ( B =/= A /\ B =/= C /\ A =/= C ) ) /\ ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E <-> E! x e. { B , A , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) ) |
145 |
1 2
|
frgr3vlem2 |
|- ( ( ( B e. Y /\ A e. X /\ C e. Z ) /\ ( B =/= A /\ B =/= C /\ A =/= C ) ) -> ( ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) -> ( E! x e. { B , A , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E <-> ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) ) |
146 |
145
|
imp |
|- ( ( ( ( B e. Y /\ A e. X /\ C e. Z ) /\ ( B =/= A /\ B =/= C /\ A =/= C ) ) /\ ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { B , A , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E <-> ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) |
147 |
144 146
|
bitrd |
|- ( ( ( ( B e. Y /\ A e. X /\ C e. Z ) /\ ( B =/= A /\ B =/= C /\ A =/= C ) ) /\ ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E <-> ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) |
148 |
136 137 142 147
|
syl21anc |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E <-> ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) |
149 |
135 148
|
anbi12d |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) ) |
150 |
102 101 103
|
3jca |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( C e. Z /\ A e. X /\ B e. Y ) ) |
151 |
124 108 106
|
3jca |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( C =/= A /\ C =/= B /\ A =/= B ) ) |
152 |
51
|
eqeq2i |
|- ( V = { A , B , C } <-> V = { C , A , B } ) |
153 |
152
|
biimpi |
|- ( V = { A , B , C } -> V = { C , A , B } ) |
154 |
153
|
anim1i |
|- ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( V = { C , A , B } /\ G e. USGraph ) ) |
155 |
154
|
adantl |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( V = { C , A , B } /\ G e. USGraph ) ) |
156 |
|
reueq1 |
|- ( { A , B , C } = { C , A , B } -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E <-> E! x e. { C , A , B } { { x , C } , { x , A } } C_ E ) ) |
157 |
51 156
|
mp1i |
|- ( ( ( ( C e. Z /\ A e. X /\ B e. Y ) /\ ( C =/= A /\ C =/= B /\ A =/= B ) ) /\ ( V = { C , A , B } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E <-> E! x e. { C , A , B } { { x , C } , { x , A } } C_ E ) ) |
158 |
1 2
|
frgr3vlem2 |
|- ( ( ( C e. Z /\ A e. X /\ B e. Y ) /\ ( C =/= A /\ C =/= B /\ A =/= B ) ) -> ( ( V = { C , A , B } /\ G e. USGraph ) -> ( E! x e. { C , A , B } { { x , C } , { x , A } } C_ E <-> ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) ) ) ) |
159 |
158
|
imp |
|- ( ( ( ( C e. Z /\ A e. X /\ B e. Y ) /\ ( C =/= A /\ C =/= B /\ A =/= B ) ) /\ ( V = { C , A , B } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { C , A , B } { { x , C } , { x , A } } C_ E <-> ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) ) ) |
160 |
157 159
|
bitrd |
|- ( ( ( ( C e. Z /\ A e. X /\ B e. Y ) /\ ( C =/= A /\ C =/= B /\ A =/= B ) ) /\ ( V = { C , A , B } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E <-> ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) ) ) |
161 |
150 151 155 160
|
syl21anc |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E <-> ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) ) ) |
162 |
|
3anrev |
|- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) <-> ( C e. Z /\ B e. Y /\ A e. X ) ) |
163 |
162
|
biimpi |
|- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) -> ( C e. Z /\ B e. Y /\ A e. X ) ) |
164 |
55 42 40
|
3anbi123i |
|- ( ( B =/= C /\ A =/= C /\ A =/= B ) <-> ( C =/= B /\ C =/= A /\ B =/= A ) ) |
165 |
164
|
biimpi |
|- ( ( B =/= C /\ A =/= C /\ A =/= B ) -> ( C =/= B /\ C =/= A /\ B =/= A ) ) |
166 |
165
|
3com13 |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( C =/= B /\ C =/= A /\ B =/= A ) ) |
167 |
163 166
|
anim12i |
|- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( ( C e. Z /\ B e. Y /\ A e. X ) /\ ( C =/= B /\ C =/= A /\ B =/= A ) ) ) |
168 |
|
tpcoma |
|- { B , C , A } = { C , B , A } |
169 |
37 168
|
eqtri |
|- { A , B , C } = { C , B , A } |
170 |
169
|
eqeq2i |
|- ( V = { A , B , C } <-> V = { C , B , A } ) |
171 |
170
|
biimpi |
|- ( V = { A , B , C } -> V = { C , B , A } ) |
172 |
171
|
anim1i |
|- ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( V = { C , B , A } /\ G e. USGraph ) ) |
173 |
|
reueq1 |
|- ( { A , B , C } = { C , B , A } -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E <-> E! x e. { C , B , A } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) |
174 |
169 173
|
mp1i |
|- ( ( ( ( C e. Z /\ B e. Y /\ A e. X ) /\ ( C =/= B /\ C =/= A /\ B =/= A ) ) /\ ( V = { C , B , A } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E <-> E! x e. { C , B , A } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) |
175 |
1 2
|
frgr3vlem2 |
|- ( ( ( C e. Z /\ B e. Y /\ A e. X ) /\ ( C =/= B /\ C =/= A /\ B =/= A ) ) -> ( ( V = { C , B , A } /\ G e. USGraph ) -> ( E! x e. { C , B , A } { { x , C } , { x , B } } C_ E <-> ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) ) ) |
176 |
175
|
imp |
|- ( ( ( ( C e. Z /\ B e. Y /\ A e. X ) /\ ( C =/= B /\ C =/= A /\ B =/= A ) ) /\ ( V = { C , B , A } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { C , B , A } { { x , C } , { x , B } } C_ E <-> ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) ) |
177 |
174 176
|
bitrd |
|- ( ( ( ( C e. Z /\ B e. Y /\ A e. X ) /\ ( C =/= B /\ C =/= A /\ B =/= A ) ) /\ ( V = { C , B , A } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E <-> ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) ) |
178 |
167 172 177
|
syl2an |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E <-> ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) ) |
179 |
161 178
|
anbi12d |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) <-> ( ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) ) ) |
180 |
120 149 179
|
3anbi123d |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) <-> ( ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) /\ ( ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) ) ) ) |
181 |
|
prcom |
|- { B , C } = { C , B } |
182 |
181
|
eleq1i |
|- ( { B , C } e. E <-> { C , B } e. E ) |
183 |
182
|
anbi2i |
|- ( ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) <-> ( { B , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) |
184 |
183
|
anbi2i |
|- ( ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) <-> ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) ) |
185 |
|
anandir |
|- ( ( ( { C , A } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ { C , B } e. E ) <-> ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) ) |
186 |
184 185
|
bitr4i |
|- ( ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) <-> ( ( { C , A } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ { C , B } e. E ) ) |
187 |
|
prcom |
|- { C , A } = { A , C } |
188 |
187
|
eleq1i |
|- ( { C , A } e. E <-> { A , C } e. E ) |
189 |
188
|
anbi2i |
|- ( ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) <-> ( { C , B } e. E /\ { A , C } e. E ) ) |
190 |
189
|
anbi2i |
|- ( ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { C , B } e. E /\ { A , C } e. E ) ) ) |
191 |
|
anandir |
|- ( ( ( { A , B } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ { A , C } e. E ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { C , B } e. E /\ { A , C } e. E ) ) ) |
192 |
190 191
|
bitr4i |
|- ( ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ { A , C } e. E ) ) |
193 |
|
prcom |
|- { A , B } = { B , A } |
194 |
193
|
eleq1i |
|- ( { A , B } e. E <-> { B , A } e. E ) |
195 |
194
|
anbi2i |
|- ( ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) <-> ( { A , C } e. E /\ { B , A } e. E ) ) |
196 |
195
|
anbi2i |
|- ( ( ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) <-> ( ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { B , A } e. E ) ) ) |
197 |
|
anandir |
|- ( ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ { B , A } e. E ) <-> ( ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { B , A } e. E ) ) ) |
198 |
196 197
|
bitr4i |
|- ( ( ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) <-> ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ { B , A } e. E ) ) |
199 |
186 192 198
|
3anbi123i |
|- ( ( ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) /\ ( ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) ) <-> ( ( ( { C , A } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ { C , B } e. E ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ { A , C } e. E ) /\ ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ { B , A } e. E ) ) ) |
200 |
|
3anrot |
|- ( ( { C , A } e. E /\ { B , A } e. E /\ { C , B } e. E ) <-> ( { B , A } e. E /\ { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) |
201 |
|
df-3an |
|- ( ( { C , A } e. E /\ { B , A } e. E /\ { C , B } e. E ) <-> ( ( { C , A } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ { C , B } e. E ) ) |
202 |
|
prcom |
|- { B , A } = { A , B } |
203 |
202
|
eleq1i |
|- ( { B , A } e. E <-> { A , B } e. E ) |
204 |
|
prcom |
|- { C , B } = { B , C } |
205 |
204
|
eleq1i |
|- ( { C , B } e. E <-> { B , C } e. E ) |
206 |
|
biid |
|- ( { C , A } e. E <-> { C , A } e. E ) |
207 |
203 205 206
|
3anbi123i |
|- ( ( { B , A } e. E /\ { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) |
208 |
200 201 207
|
3bitr3i |
|- ( ( ( { C , A } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ { C , B } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) |
209 |
|
df-3an |
|- ( ( { A , B } e. E /\ { C , B } e. E /\ { A , C } e. E ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ { A , C } e. E ) ) |
210 |
|
biid |
|- ( { A , B } e. E <-> { A , B } e. E ) |
211 |
|
prcom |
|- { A , C } = { C , A } |
212 |
211
|
eleq1i |
|- ( { A , C } e. E <-> { C , A } e. E ) |
213 |
210 205 212
|
3anbi123i |
|- ( ( { A , B } e. E /\ { C , B } e. E /\ { A , C } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) |
214 |
209 213
|
bitr3i |
|- ( ( ( { A , B } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ { A , C } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) |
215 |
|
df-3an |
|- ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E /\ { B , A } e. E ) <-> ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ { B , A } e. E ) ) |
216 |
|
3anrot |
|- ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E /\ { B , A } e. E ) <-> ( { A , C } e. E /\ { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) |
217 |
|
3anrot |
|- ( ( { A , C } e. E /\ { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) <-> ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E /\ { A , C } e. E ) ) |
218 |
|
biid |
|- ( { B , C } e. E <-> { B , C } e. E ) |
219 |
203 218 212
|
3anbi123i |
|- ( ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E /\ { A , C } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) |
220 |
216 217 219
|
3bitri |
|- ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E /\ { B , A } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) |
221 |
215 220
|
bitr3i |
|- ( ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ { B , A } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) |
222 |
208 214 221
|
3anbi123i |
|- ( ( ( ( { C , A } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ { C , B } e. E ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ { A , C } e. E ) /\ ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ { B , A } e. E ) ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) |
223 |
|
df-3an |
|- ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) <-> ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) |
224 |
|
anabs1 |
|- ( ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) |
225 |
|
anidm |
|- ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) |
226 |
223 224 225
|
3bitri |
|- ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) |
227 |
199 222 226
|
3bitri |
|- ( ( ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) /\ ( ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) |
228 |
180 227
|
syl6bb |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) |
229 |
13 98 228
|
3bitrd |
|- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( G e. FriendGraph <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) |
230 |
229
|
ex |
|- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( G e. FriendGraph <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) ) |