Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gsumvsca.b |
|- B = ( Base ` W ) |
2 |
|
gsumvsca.g |
|- G = ( Scalar ` W ) |
3 |
|
gsumvsca.z |
|- .0. = ( 0g ` W ) |
4 |
|
gsumvsca.t |
|- .x. = ( .s ` W ) |
5 |
|
gsumvsca.p |
|- .+ = ( +g ` W ) |
6 |
|
gsumvsca.k |
|- ( ph -> K C_ ( Base ` G ) ) |
7 |
|
gsumvsca.a |
|- ( ph -> A e. Fin ) |
8 |
|
gsumvsca.w |
|- ( ph -> W e. SLMod ) |
9 |
|
gsumvsca1.n |
|- ( ph -> P e. K ) |
10 |
|
gsumvsca1.c |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> Q e. B ) |
11 |
|
ssid |
|- A C_ A |
12 |
|
sseq1 |
|- ( a = (/) -> ( a C_ A <-> (/) C_ A ) ) |
13 |
12
|
anbi2d |
|- ( a = (/) -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ (/) C_ A ) ) ) |
14 |
|
mpteq1 |
|- ( a = (/) -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) |
15 |
14
|
oveq2d |
|- ( a = (/) -> ( W gsum ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsum ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) ) |
16 |
|
mpteq1 |
|- ( a = (/) -> ( k e. a |-> Q ) = ( k e. (/) |-> Q ) ) |
17 |
16
|
oveq2d |
|- ( a = (/) -> ( W gsum ( k e. a |-> Q ) ) = ( W gsum ( k e. (/) |-> Q ) ) ) |
18 |
17
|
oveq2d |
|- ( a = (/) -> ( P .x. ( W gsum ( k e. a |-> Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. (/) |-> Q ) ) ) ) |
19 |
15 18
|
eqeq12d |
|- ( a = (/) -> ( ( W gsum ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. a |-> Q ) ) ) <-> ( W gsum ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. (/) |-> Q ) ) ) ) ) |
20 |
13 19
|
imbi12d |
|- ( a = (/) -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsum ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. a |-> Q ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ( W gsum ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. (/) |-> Q ) ) ) ) ) ) |
21 |
|
sseq1 |
|- ( a = e -> ( a C_ A <-> e C_ A ) ) |
22 |
21
|
anbi2d |
|- ( a = e -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ e C_ A ) ) ) |
23 |
|
mpteq1 |
|- ( a = e -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) |
24 |
23
|
oveq2d |
|- ( a = e -> ( W gsum ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) ) |
25 |
|
mpteq1 |
|- ( a = e -> ( k e. a |-> Q ) = ( k e. e |-> Q ) ) |
26 |
25
|
oveq2d |
|- ( a = e -> ( W gsum ( k e. a |-> Q ) ) = ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) |
27 |
26
|
oveq2d |
|- ( a = e -> ( P .x. ( W gsum ( k e. a |-> Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) ) |
28 |
24 27
|
eqeq12d |
|- ( a = e -> ( ( W gsum ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. a |-> Q ) ) ) <-> ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) ) ) |
29 |
22 28
|
imbi12d |
|- ( a = e -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsum ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. a |-> Q ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) ) ) ) |
30 |
|
sseq1 |
|- ( a = ( e u. { z } ) -> ( a C_ A <-> ( e u. { z } ) C_ A ) ) |
31 |
30
|
anbi2d |
|- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) ) |
32 |
|
mpteq1 |
|- ( a = ( e u. { z } ) -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) |
33 |
32
|
oveq2d |
|- ( a = ( e u. { z } ) -> ( W gsum ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) ) |
34 |
|
mpteq1 |
|- ( a = ( e u. { z } ) -> ( k e. a |-> Q ) = ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) |
35 |
34
|
oveq2d |
|- ( a = ( e u. { z } ) -> ( W gsum ( k e. a |-> Q ) ) = ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) |
36 |
35
|
oveq2d |
|- ( a = ( e u. { z } ) -> ( P .x. ( W gsum ( k e. a |-> Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) ) |
37 |
33 36
|
eqeq12d |
|- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( W gsum ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. a |-> Q ) ) ) <-> ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) ) ) |
38 |
31 37
|
imbi12d |
|- ( a = ( e u. { z } ) -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsum ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. a |-> Q ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) ) ) ) |
39 |
|
sseq1 |
|- ( a = A -> ( a C_ A <-> A C_ A ) ) |
40 |
39
|
anbi2d |
|- ( a = A -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ A C_ A ) ) ) |
41 |
|
mpteq1 |
|- ( a = A -> ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) = ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) |
42 |
41
|
oveq2d |
|- ( a = A -> ( W gsum ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsum ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) ) |
43 |
|
mpteq1 |
|- ( a = A -> ( k e. a |-> Q ) = ( k e. A |-> Q ) ) |
44 |
43
|
oveq2d |
|- ( a = A -> ( W gsum ( k e. a |-> Q ) ) = ( W gsum ( k e. A |-> Q ) ) ) |
45 |
44
|
oveq2d |
|- ( a = A -> ( P .x. ( W gsum ( k e. a |-> Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. A |-> Q ) ) ) ) |
46 |
42 45
|
eqeq12d |
|- ( a = A -> ( ( W gsum ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. a |-> Q ) ) ) <-> ( W gsum ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. A |-> Q ) ) ) ) ) |
47 |
40 46
|
imbi12d |
|- ( a = A -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( W gsum ( k e. a |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. a |-> Q ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ A C_ A ) -> ( W gsum ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. A |-> Q ) ) ) ) ) ) |
48 |
6 9
|
sseldd |
|- ( ph -> P e. ( Base ` G ) ) |
49 |
|
eqid |
|- ( Base ` G ) = ( Base ` G ) |
50 |
2 4 49 3
|
slmdvs0 |
|- ( ( W e. SLMod /\ P e. ( Base ` G ) ) -> ( P .x. .0. ) = .0. ) |
51 |
8 48 50
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( P .x. .0. ) = .0. ) |
52 |
51
|
eqcomd |
|- ( ph -> .0. = ( P .x. .0. ) ) |
53 |
|
mpt0 |
|- ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) = (/) |
54 |
53
|
oveq2i |
|- ( W gsum ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( W gsum (/) ) |
55 |
3
|
gsum0 |
|- ( W gsum (/) ) = .0. |
56 |
54 55
|
eqtri |
|- ( W gsum ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = .0. |
57 |
|
mpt0 |
|- ( k e. (/) |-> Q ) = (/) |
58 |
57
|
oveq2i |
|- ( W gsum ( k e. (/) |-> Q ) ) = ( W gsum (/) ) |
59 |
58 55
|
eqtri |
|- ( W gsum ( k e. (/) |-> Q ) ) = .0. |
60 |
59
|
oveq2i |
|- ( P .x. ( W gsum ( k e. (/) |-> Q ) ) ) = ( P .x. .0. ) |
61 |
52 56 60
|
3eqtr4g |
|- ( ph -> ( W gsum ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. (/) |-> Q ) ) ) ) |
62 |
61
|
adantr |
|- ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ( W gsum ( k e. (/) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. (/) |-> Q ) ) ) ) |
63 |
|
ssun1 |
|- e C_ ( e u. { z } ) |
64 |
|
sstr2 |
|- ( e C_ ( e u. { z } ) -> ( ( e u. { z } ) C_ A -> e C_ A ) ) |
65 |
63 64
|
ax-mp |
|- ( ( e u. { z } ) C_ A -> e C_ A ) |
66 |
65
|
anim2i |
|- ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( ph /\ e C_ A ) ) |
67 |
66
|
imim1i |
|- ( ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) ) ) |
68 |
8
|
ad2antrl |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> W e. SLMod ) |
69 |
48
|
ad2antrl |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> P e. ( Base ` G ) ) |
70 |
|
slmdcmn |
|- ( W e. SLMod -> W e. CMnd ) |
71 |
68 70
|
syl |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> W e. CMnd ) |
72 |
|
vex |
|- e e. _V |
73 |
72
|
a1i |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> e e. _V ) |
74 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> ph ) |
75 |
|
simprr |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( e u. { z } ) C_ A ) |
76 |
75
|
unssad |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> e C_ A ) |
77 |
76
|
sselda |
|- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> k e. A ) |
78 |
74 77 10
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> Q e. B ) |
79 |
78
|
fmpttd |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( k e. e |-> Q ) : e --> B ) |
80 |
|
eqid |
|- ( k e. e |-> Q ) = ( k e. e |-> Q ) |
81 |
|
simpll |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> e e. Fin ) |
82 |
3
|
fvexi |
|- .0. e. _V |
83 |
82
|
a1i |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> .0. e. _V ) |
84 |
80 81 78 83
|
fsuppmptdm |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( k e. e |-> Q ) finSupp .0. ) |
85 |
1 3 71 73 79 84
|
gsumcl |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) e. B ) |
86 |
75
|
unssbd |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> { z } C_ A ) |
87 |
|
vex |
|- z e. _V |
88 |
87
|
snss |
|- ( z e. A <-> { z } C_ A ) |
89 |
86 88
|
sylibr |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A ) |
90 |
10
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. k e. A Q e. B ) |
91 |
90
|
ad2antrl |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> A. k e. A Q e. B ) |
92 |
|
rspcsbela |
|- ( ( z e. A /\ A. k e. A Q e. B ) -> [_ z / k ]_ Q e. B ) |
93 |
89 91 92
|
syl2anc |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> [_ z / k ]_ Q e. B ) |
94 |
1 5 2 4 49
|
slmdvsdi |
|- ( ( W e. SLMod /\ ( P e. ( Base ` G ) /\ ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) e. B /\ [_ z / k ]_ Q e. B ) ) -> ( P .x. ( ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) .+ [_ z / k ]_ Q ) ) = ( ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) .+ ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) ) |
95 |
68 69 85 93 94
|
syl13anc |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( P .x. ( ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) .+ [_ z / k ]_ Q ) ) = ( ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) .+ ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) ) |
96 |
95
|
adantr |
|- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( P .x. ( ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) .+ [_ z / k ]_ Q ) ) = ( ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) .+ ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) ) |
97 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ k [_ z / k ]_ Q |
98 |
87
|
a1i |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. _V ) |
99 |
|
simplr |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> -. z e. e ) |
100 |
|
csbeq1a |
|- ( k = z -> Q = [_ z / k ]_ Q ) |
101 |
97 1 5 71 81 78 98 99 93 100
|
gsumunsnf |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) = ( ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) .+ [_ z / k ]_ Q ) ) |
102 |
101
|
oveq2d |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( P .x. ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) = ( P .x. ( ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) .+ [_ z / k ]_ Q ) ) ) |
103 |
102
|
adantr |
|- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( P .x. ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) = ( P .x. ( ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) .+ [_ z / k ]_ Q ) ) ) |
104 |
|
nfcv |
|- F/_ k P |
105 |
|
nfcv |
|- F/_ k .x. |
106 |
104 105 97
|
nfov |
|- F/_ k ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) |
107 |
74 8
|
syl |
|- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> W e. SLMod ) |
108 |
74 48
|
syl |
|- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> P e. ( Base ` G ) ) |
109 |
1 2 4 49
|
slmdvscl |
|- ( ( W e. SLMod /\ P e. ( Base ` G ) /\ Q e. B ) -> ( P .x. Q ) e. B ) |
110 |
107 108 78 109
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ k e. e ) -> ( P .x. Q ) e. B ) |
111 |
1 2 4 49
|
slmdvscl |
|- ( ( W e. SLMod /\ P e. ( Base ` G ) /\ [_ z / k ]_ Q e. B ) -> ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) e. B ) |
112 |
68 69 93 111
|
syl3anc |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) e. B ) |
113 |
100
|
oveq2d |
|- ( k = z -> ( P .x. Q ) = ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) |
114 |
106 1 5 71 81 110 98 99 112 113
|
gsumunsnf |
|- ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) -> ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) .+ ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) ) |
115 |
114
|
adantr |
|- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) .+ ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) ) |
116 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) ) |
117 |
116
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) .+ ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) = ( ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) .+ ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) ) |
118 |
115 117
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) .+ ( P .x. [_ z / k ]_ Q ) ) ) |
119 |
96 103 118
|
3eqtr4rd |
|- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) ) /\ ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) ) |
120 |
119
|
exp31 |
|- ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) -> ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) ) ) ) |
121 |
120
|
a2d |
|- ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) -> ( ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) ) ) ) |
122 |
67 121
|
syl5 |
|- ( ( e e. Fin /\ -. z e. e ) -> ( ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( W gsum ( k e. e |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. e |-> Q ) ) ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { z } ) C_ A ) -> ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. ( e u. { z } ) |-> Q ) ) ) ) ) ) |
123 |
20 29 38 47 62 122
|
findcard2s |
|- ( A e. Fin -> ( ( ph /\ A C_ A ) -> ( W gsum ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. A |-> Q ) ) ) ) ) |
124 |
123
|
imp |
|- ( ( A e. Fin /\ ( ph /\ A C_ A ) ) -> ( W gsum ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. A |-> Q ) ) ) ) |
125 |
11 124
|
mpanr2 |
|- ( ( A e. Fin /\ ph ) -> ( W gsum ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. A |-> Q ) ) ) ) |
126 |
7 125
|
mpancom |
|- ( ph -> ( W gsum ( k e. A |-> ( P .x. Q ) ) ) = ( P .x. ( W gsum ( k e. A |-> Q ) ) ) ) |