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Theorem lclkrlem2p

Description: Lemma for lclkr . When B is zero, X and Y must colinear, so their orthocomplements must be comparable. (Contributed by NM, 17-Jan-2015)

Ref Expression
Hypotheses lclkrlem2m.v 
|- V = ( Base ` U )
lclkrlem2m.t 
|- .x. = ( .s ` U )
lclkrlem2m.s 
|- S = ( Scalar ` U )
lclkrlem2m.q 
|- .X. = ( .r ` S )
lclkrlem2m.z 
|- .0. = ( 0g ` S )
lclkrlem2m.i 
|- I = ( invr ` S )
lclkrlem2m.m 
|- .- = ( -g ` U )
lclkrlem2m.f 
|- F = ( LFnl ` U )
lclkrlem2m.d 
|- D = ( LDual ` U )
lclkrlem2m.p 
|- .+ = ( +g ` D )
lclkrlem2m.x 
|- ( ph -> X e. V )
lclkrlem2m.y 
|- ( ph -> Y e. V )
lclkrlem2m.e 
|- ( ph -> E e. F )
lclkrlem2m.g 
|- ( ph -> G e. F )
lclkrlem2n.n 
|- N = ( LSpan ` U )
lclkrlem2n.l 
|- L = ( LKer ` U )
lclkrlem2o.h 
|- H = ( LHyp ` K )
lclkrlem2o.o 
|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lclkrlem2o.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lclkrlem2o.a 
|- .(+) = ( LSSum ` U )
lclkrlem2o.k 
|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
lclkrlem2o.b 
|- B = ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) )
lclkrlem2o.n 
|- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. )
lclkrlem2p.bn 
|- ( ph -> B = ( 0g ` U ) )
Assertion lclkrlem2p 
|- ( ph -> ( ._|_ ` { Y } ) C_ ( ._|_ ` { X } ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lclkrlem2m.v 
 |-  V = ( Base ` U )
2 lclkrlem2m.t 
 |-  .x. = ( .s ` U )
3 lclkrlem2m.s 
 |-  S = ( Scalar ` U )
4 lclkrlem2m.q 
 |-  .X. = ( .r ` S )
5 lclkrlem2m.z 
 |-  .0. = ( 0g ` S )
6 lclkrlem2m.i 
 |-  I = ( invr ` S )
7 lclkrlem2m.m 
 |-  .- = ( -g ` U )
8 lclkrlem2m.f 
 |-  F = ( LFnl ` U )
9 lclkrlem2m.d 
 |-  D = ( LDual ` U )
10 lclkrlem2m.p 
 |-  .+ = ( +g ` D )
11 lclkrlem2m.x 
 |-  ( ph -> X e. V )
12 lclkrlem2m.y 
 |-  ( ph -> Y e. V )
13 lclkrlem2m.e 
 |-  ( ph -> E e. F )
14 lclkrlem2m.g 
 |-  ( ph -> G e. F )
15 lclkrlem2n.n 
 |-  N = ( LSpan ` U )
16 lclkrlem2n.l 
 |-  L = ( LKer ` U )
17 lclkrlem2o.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
18 lclkrlem2o.o 
 |-  ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
19 lclkrlem2o.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
20 lclkrlem2o.a 
 |-  .(+) = ( LSSum ` U )
21 lclkrlem2o.k 
 |-  ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
22 lclkrlem2o.b 
 |-  B = ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) )
23 lclkrlem2o.n 
 |-  ( ph -> ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. )
24 lclkrlem2p.bn 
 |-  ( ph -> B = ( 0g ` U ) )
25 17 19 21 dvhlmod 
 |-  ( ph -> U e. LMod )
26 eqid 
 |-  ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
27 1 26 15 lspsncl 
 |-  ( ( U e. LMod /\ Y e. V ) -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` U ) )
28 25 12 27 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` U ) )
29 1 26 lssss 
 |-  ( ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` U ) -> ( N ` { Y } ) C_ V )
30 28 29 syl 
 |-  ( ph -> ( N ` { Y } ) C_ V )
31 22 24 eqtr3id 
 |-  ( ph -> ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( 0g ` U ) )
32 3 lmodring 
 |-  ( U e. LMod -> S e. Ring )
33 25 32 syl 
 |-  ( ph -> S e. Ring )
34 8 9 10 25 13 14 ldualvaddcl 
 |-  ( ph -> ( E .+ G ) e. F )
35 eqid 
 |-  ( Base ` S ) = ( Base ` S )
36 3 35 1 8 lflcl 
 |-  ( ( U e. LMod /\ ( E .+ G ) e. F /\ X e. V ) -> ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) )
37 25 34 11 36 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) )
38 17 19 21 dvhlvec 
 |-  ( ph -> U e. LVec )
39 3 lvecdrng 
 |-  ( U e. LVec -> S e. DivRing )
40 38 39 syl 
 |-  ( ph -> S e. DivRing )
41 3 35 1 8 lflcl 
 |-  ( ( U e. LMod /\ ( E .+ G ) e. F /\ Y e. V ) -> ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) )
42 25 34 12 41 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) )
43 35 5 6 drnginvrcl 
 |-  ( ( S e. DivRing /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. ) -> ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) e. ( Base ` S ) )
44 40 42 23 43 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) e. ( Base ` S ) )
45 35 4 ringcl 
 |-  ( ( S e. Ring /\ ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) /\ ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` S ) )
46 33 37 44 45 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` S ) )
47 1 3 2 35 lmodvscl 
 |-  ( ( U e. LMod /\ ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` S ) /\ Y e. V ) -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) e. V )
48 25 46 12 47 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) e. V )
49 eqid 
 |-  ( 0g ` U ) = ( 0g ` U )
50 1 49 7 lmodsubeq0 
 |-  ( ( U e. LMod /\ X e. V /\ ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) e. V ) -> ( ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( 0g ` U ) <-> X = ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) )
51 25 11 48 50 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( 0g ` U ) <-> X = ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) )
52 31 51 mpbid 
 |-  ( ph -> X = ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) )
53 52 sneqd 
 |-  ( ph -> { X } = { ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) } )
54 53 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) } ) )
55 3 35 1 2 15 lspsnvsi 
 |-  ( ( U e. LMod /\ ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` S ) /\ Y e. V ) -> ( N ` { ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) } ) C_ ( N ` { Y } ) )
56 25 46 12 55 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( N ` { ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) } ) C_ ( N ` { Y } ) )
57 54 56 eqsstrd 
 |-  ( ph -> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y } ) )
58 17 19 1 18 dochss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( N ` { Y } ) C_ V /\ ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y } ) ) -> ( ._|_ ` ( N ` { Y } ) ) C_ ( ._|_ ` ( N ` { X } ) ) )
59 21 30 57 58 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( N ` { Y } ) ) C_ ( ._|_ ` ( N ` { X } ) ) )
60 12 snssd 
 |-  ( ph -> { Y } C_ V )
61 17 19 18 1 15 21 60 dochocsp 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( N ` { Y } ) ) = ( ._|_ ` { Y } ) )
62 11 snssd 
 |-  ( ph -> { X } C_ V )
63 17 19 18 1 15 21 62 dochocsp 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( N ` { X } ) ) = ( ._|_ ` { X } ) )
64 59 61 63 3sstr3d 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` { Y } ) C_ ( ._|_ ` { X } ) )