Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mdetrsca.d |
|- D = ( N maDet R ) |
2 |
|
mdetrsca.a |
|- A = ( N Mat R ) |
3 |
|
mdetrsca.b |
|- B = ( Base ` A ) |
4 |
|
mdetrsca.k |
|- K = ( Base ` R ) |
5 |
|
mdetrsca.t |
|- .x. = ( .r ` R ) |
6 |
|
mdetrsca.r |
|- ( ph -> R e. CRing ) |
7 |
|
mdetrsca.x |
|- ( ph -> X e. B ) |
8 |
|
mdetrsca.y |
|- ( ph -> Y e. K ) |
9 |
|
mdetrsca.z |
|- ( ph -> Z e. B ) |
10 |
|
mdetrsca.i |
|- ( ph -> I e. N ) |
11 |
|
mdetrsca.eq |
|- ( ph -> ( X |` ( { I } X. N ) ) = ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ) |
12 |
|
mdetrsca.ne |
|- ( ph -> ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ) |
13 |
11
|
oveqd |
|- ( ph -> ( I ( X |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ( p ` I ) ) ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( X |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ( p ` I ) ) ) |
15 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> I e. N ) |
16 |
|
snidg |
|- ( I e. N -> I e. { I } ) |
17 |
15 16
|
syl |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> I e. { I } ) |
18 |
|
eqid |
|- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N ) |
19 |
|
eqid |
|- ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |
20 |
18 19
|
symgbasf1o |
|- ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) -> p : N -1-1-onto-> N ) |
21 |
20
|
adantl |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> p : N -1-1-onto-> N ) |
22 |
|
f1of |
|- ( p : N -1-1-onto-> N -> p : N --> N ) |
23 |
21 22
|
syl |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> p : N --> N ) |
24 |
23 15
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( p ` I ) e. N ) |
25 |
|
ovres |
|- ( ( I e. { I } /\ ( p ` I ) e. N ) -> ( I ( X |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I X ( p ` I ) ) ) |
26 |
17 24 25
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( X |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I X ( p ` I ) ) ) |
27 |
17 24
|
opelxpd |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> <. I , ( p ` I ) >. e. ( { I } X. N ) ) |
28 |
|
snfi |
|- { I } e. Fin |
29 |
2 3
|
matrcl |
|- ( X e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) ) |
30 |
7 29
|
syl |
|- ( ph -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) ) |
31 |
30
|
simpld |
|- ( ph -> N e. Fin ) |
32 |
31
|
adantr |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> N e. Fin ) |
33 |
|
xpfi |
|- ( ( { I } e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( { I } X. N ) e. Fin ) |
34 |
28 32 33
|
sylancr |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( { I } X. N ) e. Fin ) |
35 |
8
|
adantr |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> Y e. K ) |
36 |
2 4 3
|
matbas2i |
|- ( Z e. B -> Z e. ( K ^m ( N X. N ) ) ) |
37 |
|
elmapi |
|- ( Z e. ( K ^m ( N X. N ) ) -> Z : ( N X. N ) --> K ) |
38 |
9 36 37
|
3syl |
|- ( ph -> Z : ( N X. N ) --> K ) |
39 |
38
|
adantr |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> Z : ( N X. N ) --> K ) |
40 |
39
|
ffnd |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> Z Fn ( N X. N ) ) |
41 |
15
|
snssd |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> { I } C_ N ) |
42 |
|
xpss1 |
|- ( { I } C_ N -> ( { I } X. N ) C_ ( N X. N ) ) |
43 |
41 42
|
syl |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( { I } X. N ) C_ ( N X. N ) ) |
44 |
|
fnssres |
|- ( ( Z Fn ( N X. N ) /\ ( { I } X. N ) C_ ( N X. N ) ) -> ( Z |` ( { I } X. N ) ) Fn ( { I } X. N ) ) |
45 |
40 43 44
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( Z |` ( { I } X. N ) ) Fn ( { I } X. N ) ) |
46 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ <. I , ( p ` I ) >. e. ( { I } X. N ) ) -> ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) = ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) ) |
47 |
34 35 45 46
|
ofc1 |
|- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ <. I , ( p ` I ) >. e. ( { I } X. N ) ) -> ( ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) = ( Y .x. ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) ) ) |
48 |
27 47
|
mpdan |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) = ( Y .x. ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) ) ) |
49 |
|
df-ov |
|- ( I ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ( p ` I ) ) = ( ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) |
50 |
|
df-ov |
|- ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) |
51 |
50
|
oveq2i |
|- ( Y .x. ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) ) = ( Y .x. ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) ) |
52 |
48 49 51
|
3eqtr4g |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ( p ` I ) ) = ( Y .x. ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) ) ) |
53 |
14 26 52
|
3eqtr3d |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I X ( p ` I ) ) = ( Y .x. ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) ) ) |
54 |
|
ovres |
|- ( ( I e. { I } /\ ( p ` I ) e. N ) -> ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) ) |
55 |
17 24 54
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) ) |
56 |
55
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( Y .x. ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) ) = ( Y .x. ( I Z ( p ` I ) ) ) ) |
57 |
53 56
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I X ( p ` I ) ) = ( Y .x. ( I Z ( p ` I ) ) ) ) |
58 |
57
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( I X ( p ` I ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( Y .x. ( I Z ( p ` I ) ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) |
59 |
|
crngring |
|- ( R e. CRing -> R e. Ring ) |
60 |
6 59
|
syl |
|- ( ph -> R e. Ring ) |
61 |
60
|
adantr |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> R e. Ring ) |
62 |
39 15 24
|
fovrnd |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I Z ( p ` I ) ) e. K ) |
63 |
|
eqid |
|- ( mulGrp ` R ) = ( mulGrp ` R ) |
64 |
63 4
|
mgpbas |
|- K = ( Base ` ( mulGrp ` R ) ) |
65 |
63
|
crngmgp |
|- ( R e. CRing -> ( mulGrp ` R ) e. CMnd ) |
66 |
6 65
|
syl |
|- ( ph -> ( mulGrp ` R ) e. CMnd ) |
67 |
66
|
adantr |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( mulGrp ` R ) e. CMnd ) |
68 |
|
difssd |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( N \ { I } ) C_ N ) |
69 |
32 68
|
ssfid |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( N \ { I } ) e. Fin ) |
70 |
|
eldifi |
|- ( r e. ( N \ { I } ) -> r e. N ) |
71 |
38
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> Z : ( N X. N ) --> K ) |
72 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> r e. N ) |
73 |
23
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> ( p ` r ) e. N ) |
74 |
71 72 73
|
fovrnd |
|- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> ( r Z ( p ` r ) ) e. K ) |
75 |
70 74
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r Z ( p ` r ) ) e. K ) |
76 |
75
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> A. r e. ( N \ { I } ) ( r Z ( p ` r ) ) e. K ) |
77 |
64 67 69 76
|
gsummptcl |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K ) |
78 |
4 5
|
ringass |
|- ( ( R e. Ring /\ ( Y e. K /\ ( I Z ( p ` I ) ) e. K /\ ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K ) ) -> ( ( Y .x. ( I Z ( p ` I ) ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) |
79 |
61 35 62 77 78
|
syl13anc |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( Y .x. ( I Z ( p ` I ) ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) |
80 |
58 79
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( I X ( p ` I ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) |
81 |
63 5
|
mgpplusg |
|- .x. = ( +g ` ( mulGrp ` R ) ) |
82 |
2 4 3
|
matbas2i |
|- ( X e. B -> X e. ( K ^m ( N X. N ) ) ) |
83 |
|
elmapi |
|- ( X e. ( K ^m ( N X. N ) ) -> X : ( N X. N ) --> K ) |
84 |
7 82 83
|
3syl |
|- ( ph -> X : ( N X. N ) --> K ) |
85 |
84
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> X : ( N X. N ) --> K ) |
86 |
85 72 73
|
fovrnd |
|- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> ( r X ( p ` r ) ) e. K ) |
87 |
|
disjdif |
|- ( { I } i^i ( N \ { I } ) ) = (/) |
88 |
87
|
a1i |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( { I } i^i ( N \ { I } ) ) = (/) ) |
89 |
|
undif |
|- ( { I } C_ N <-> ( { I } u. ( N \ { I } ) ) = N ) |
90 |
41 89
|
sylib |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( { I } u. ( N \ { I } ) ) = N ) |
91 |
90
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> N = ( { I } u. ( N \ { I } ) ) ) |
92 |
64 81 67 32 86 88 91
|
gsummptfidmsplit |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) |
93 |
|
cmnmnd |
|- ( ( mulGrp ` R ) e. CMnd -> ( mulGrp ` R ) e. Mnd ) |
94 |
67 93
|
syl |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( mulGrp ` R ) e. Mnd ) |
95 |
84
|
adantr |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> X : ( N X. N ) --> K ) |
96 |
95 15 24
|
fovrnd |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I X ( p ` I ) ) e. K ) |
97 |
|
id |
|- ( r = I -> r = I ) |
98 |
|
fveq2 |
|- ( r = I -> ( p ` r ) = ( p ` I ) ) |
99 |
97 98
|
oveq12d |
|- ( r = I -> ( r X ( p ` r ) ) = ( I X ( p ` I ) ) ) |
100 |
64 99
|
gsumsn |
|- ( ( ( mulGrp ` R ) e. Mnd /\ I e. N /\ ( I X ( p ` I ) ) e. K ) -> ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( I X ( p ` I ) ) ) |
101 |
94 15 96 100
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( I X ( p ` I ) ) ) |
102 |
12
|
oveqd |
|- ( ph -> ( r ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) ) |
103 |
102
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) ) |
104 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> r e. ( N \ { I } ) ) |
105 |
70 73
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( p ` r ) e. N ) |
106 |
|
ovres |
|- ( ( r e. ( N \ { I } ) /\ ( p ` r ) e. N ) -> ( r ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r X ( p ` r ) ) ) |
107 |
104 105 106
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r X ( p ` r ) ) ) |
108 |
|
ovres |
|- ( ( r e. ( N \ { I } ) /\ ( p ` r ) e. N ) -> ( r ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r Z ( p ` r ) ) ) |
109 |
104 105 108
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r Z ( p ` r ) ) ) |
110 |
103 107 109
|
3eqtr3d |
|- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r X ( p ` r ) ) = ( r Z ( p ` r ) ) ) |
111 |
110
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) = ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) |
112 |
111
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) |
113 |
101 112
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( I X ( p ` I ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) |
114 |
92 113
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( ( I X ( p ` I ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) |
115 |
64 81 67 32 74 88 91
|
gsummptfidmsplit |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) |
116 |
97 98
|
oveq12d |
|- ( r = I -> ( r Z ( p ` r ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) ) |
117 |
64 116
|
gsumsn |
|- ( ( ( mulGrp ` R ) e. Mnd /\ I e. N /\ ( I Z ( p ` I ) ) e. K ) -> ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) ) |
118 |
94 15 62 117
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) ) |
119 |
118
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) |
120 |
115 119
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) |
121 |
120
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( Y .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) |
122 |
80 114 121
|
3eqtr4d |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) |
123 |
122
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( Y .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) |
124 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> R e. CRing ) |
125 |
|
zrhpsgnmhm |
|- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom ( mulGrp ` R ) ) ) |
126 |
60 31 125
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom ( mulGrp ` R ) ) ) |
127 |
19 64
|
mhmf |
|- ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom ( mulGrp ` R ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> K ) |
128 |
126 127
|
syl |
|- ( ph -> ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> K ) |
129 |
128
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) e. K ) |
130 |
4 5
|
crngcom |
|- ( ( R e. CRing /\ ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) e. K /\ Y e. K ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. Y ) = ( Y .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) ) ) |
131 |
124 129 35 130
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. Y ) = ( Y .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) ) ) |
132 |
131
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. Y ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( Y .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) |
133 |
74
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> A. r e. N ( r Z ( p ` r ) ) e. K ) |
134 |
64 67 32 133
|
gsummptcl |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K ) |
135 |
4 5
|
ringass |
|- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) e. K /\ Y e. K /\ ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K ) ) -> ( ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. Y ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( Y .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) |
136 |
61 129 35 134 135
|
syl13anc |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. Y ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( Y .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) |
137 |
4 5
|
ringass |
|- ( ( R e. Ring /\ ( Y e. K /\ ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) e. K /\ ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K ) ) -> ( ( Y .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) |
138 |
61 35 129 134 137
|
syl13anc |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( Y .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) |
139 |
132 136 138
|
3eqtr3d |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( Y .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) |
140 |
123 139
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) |
141 |
140
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) = ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) |
142 |
141
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( R gsum ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsum ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
143 |
|
eqid |
|- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) |
144 |
|
eqid |
|- ( +g ` R ) = ( +g ` R ) |
145 |
18 19
|
symgbasfi |
|- ( N e. Fin -> ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) e. Fin ) |
146 |
31 145
|
syl |
|- ( ph -> ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) e. Fin ) |
147 |
4 5
|
ringcl |
|- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) e. K /\ ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) e. K ) |
148 |
61 129 134 147
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) e. K ) |
149 |
|
eqid |
|- ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) = ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) |
150 |
|
ovexd |
|- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) e. _V ) |
151 |
|
fvexd |
|- ( ph -> ( 0g ` R ) e. _V ) |
152 |
149 146 150 151
|
fsuppmptdm |
|- ( ph -> ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) |
153 |
4 143 144 5 60 146 8 148 152
|
gsummulc2 |
|- ( ph -> ( R gsum ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( R gsum ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
154 |
142 153
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( R gsum ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( R gsum ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
155 |
|
eqid |
|- ( ZRHom ` R ) = ( ZRHom ` R ) |
156 |
|
eqid |
|- ( pmSgn ` N ) = ( pmSgn ` N ) |
157 |
1 2 3 19 155 156 5 63
|
mdetleib2 |
|- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( D ` X ) = ( R gsum ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) |
158 |
6 7 157
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( D ` X ) = ( R gsum ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) |
159 |
1 2 3 19 155 156 5 63
|
mdetleib2 |
|- ( ( R e. CRing /\ Z e. B ) -> ( D ` Z ) = ( R gsum ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) |
160 |
6 9 159
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( D ` Z ) = ( R gsum ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) |
161 |
160
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( Y .x. ( D ` Z ) ) = ( Y .x. ( R gsum ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. ( pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( ( mulGrp ` R ) gsum ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
162 |
154 158 161
|
3eqtr4d |
|- ( ph -> ( D ` X ) = ( Y .x. ( D ` Z ) ) ) |