Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
metust.1 |
|- F = ran ( a e. RR+ |-> ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) |
2 |
1
|
metustfbas |
|- ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) -> F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) ) |
3 |
|
fgcl |
|- ( F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) ) |
4 |
|
filsspw |
|- ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) C_ ~P ( X X. X ) ) |
5 |
2 3 4
|
3syl |
|- ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) C_ ~P ( X X. X ) ) |
6 |
|
filtop |
|- ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) -> ( X X. X ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
7 |
2 3 6
|
3syl |
|- ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) -> ( X X. X ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
8 |
2 3
|
syl |
|- ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) ) |
9 |
8
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ~P ( X X. X ) ) /\ v C_ w ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) ) |
10 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ~P ( X X. X ) ) /\ v C_ w ) -> v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
11 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ~P ( X X. X ) ) /\ v C_ w ) -> w e. ~P ( X X. X ) ) |
12 |
11
|
elpwid |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ~P ( X X. X ) ) /\ v C_ w ) -> w C_ ( X X. X ) ) |
13 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ~P ( X X. X ) ) /\ v C_ w ) -> v C_ w ) |
14 |
|
filss |
|- ( ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) /\ ( v e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ w C_ ( X X. X ) /\ v C_ w ) ) -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
15 |
9 10 12 13 14
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ~P ( X X. X ) ) /\ v C_ w ) -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
16 |
15
|
ex |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ~P ( X X. X ) ) -> ( v C_ w -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) |
17 |
16
|
ralrimiva |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) |
18 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) ) |
19 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
20 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
21 |
|
filin |
|- ( ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> ( v i^i w ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
22 |
18 19 20 21
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> ( v i^i w ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
23 |
22
|
ralrimiva |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> A. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( v i^i w ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
24 |
1
|
metustid |
|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ u e. F ) -> ( _I |` X ) C_ u ) |
25 |
24
|
ad5ant24 |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> ( _I |` X ) C_ u ) |
26 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> u C_ v ) |
27 |
25 26
|
sstrd |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> ( _I |` X ) C_ v ) |
28 |
|
elfg |
|- ( F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) -> ( v e. ( ( X X. X ) filGen F ) <-> ( v C_ ( X X. X ) /\ E. u e. F u C_ v ) ) ) |
29 |
28
|
biimpa |
|- ( ( F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> ( v C_ ( X X. X ) /\ E. u e. F u C_ v ) ) |
30 |
29
|
simprd |
|- ( ( F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> E. u e. F u C_ v ) |
31 |
2 30
|
sylan |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> E. u e. F u C_ v ) |
32 |
27 31
|
r19.29a |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> ( _I |` X ) C_ v ) |
33 |
8
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) ) |
34 |
2
|
adantr |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) ) |
35 |
|
ssfg |
|- ( F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) -> F C_ ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
36 |
34 35
|
syl |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> F C_ ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
37 |
36
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> F C_ ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
38 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> u e. F ) |
39 |
37 38
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> u e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
40 |
29
|
simpld |
|- ( ( F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> v C_ ( X X. X ) ) |
41 |
2 40
|
sylan |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> v C_ ( X X. X ) ) |
42 |
41
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> v C_ ( X X. X ) ) |
43 |
|
cnvss |
|- ( v C_ ( X X. X ) -> `' v C_ `' ( X X. X ) ) |
44 |
|
cnvxp |
|- `' ( X X. X ) = ( X X. X ) |
45 |
43 44
|
sseqtrdi |
|- ( v C_ ( X X. X ) -> `' v C_ ( X X. X ) ) |
46 |
42 45
|
syl |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> `' v C_ ( X X. X ) ) |
47 |
1
|
metustsym |
|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ u e. F ) -> `' u = u ) |
48 |
47
|
ad5ant24 |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> `' u = u ) |
49 |
|
cnvss |
|- ( u C_ v -> `' u C_ `' v ) |
50 |
49
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> `' u C_ `' v ) |
51 |
48 50
|
eqsstrrd |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> u C_ `' v ) |
52 |
|
filss |
|- ( ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) /\ ( u e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ `' v C_ ( X X. X ) /\ u C_ `' v ) ) -> `' v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
53 |
33 39 46 51 52
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> `' v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
54 |
53 31
|
r19.29a |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> `' v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
55 |
1
|
metustexhalf |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ u e. F ) -> E. w e. F ( w o. w ) C_ u ) |
56 |
55
|
ad4ant13 |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> E. w e. F ( w o. w ) C_ u ) |
57 |
|
r19.41v |
|- ( E. w e. F ( ( w o. w ) C_ u /\ u C_ v ) <-> ( E. w e. F ( w o. w ) C_ u /\ u C_ v ) ) |
58 |
|
sstr |
|- ( ( ( w o. w ) C_ u /\ u C_ v ) -> ( w o. w ) C_ v ) |
59 |
58
|
reximi |
|- ( E. w e. F ( ( w o. w ) C_ u /\ u C_ v ) -> E. w e. F ( w o. w ) C_ v ) |
60 |
57 59
|
sylbir |
|- ( ( E. w e. F ( w o. w ) C_ u /\ u C_ v ) -> E. w e. F ( w o. w ) C_ v ) |
61 |
56 60
|
sylancom |
|- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> E. w e. F ( w o. w ) C_ v ) |
62 |
61 31
|
r19.29a |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> E. w e. F ( w o. w ) C_ v ) |
63 |
|
ssrexv |
|- ( F C_ ( ( X X. X ) filGen F ) -> ( E. w e. F ( w o. w ) C_ v -> E. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( w o. w ) C_ v ) ) |
64 |
36 62 63
|
sylc |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> E. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( w o. w ) C_ v ) |
65 |
32 54 64
|
3jca |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ E. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( w o. w ) C_ v ) ) |
66 |
17 23 65
|
3jca |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ A. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( v i^i w ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ E. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( w o. w ) C_ v ) ) ) |
67 |
66
|
ralrimiva |
|- ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) -> A. v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ A. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( v i^i w ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ E. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( w o. w ) C_ v ) ) ) |
68 |
|
elfvex |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> X e. _V ) |
69 |
68
|
adantl |
|- ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) -> X e. _V ) |
70 |
|
isust |
|- ( X e. _V -> ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( UnifOn ` X ) <-> ( ( ( X X. X ) filGen F ) C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ A. v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ A. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( v i^i w ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ E. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) ) |
71 |
69 70
|
syl |
|- ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) -> ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( UnifOn ` X ) <-> ( ( ( X X. X ) filGen F ) C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ A. v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ A. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( v i^i w ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ E. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) ) |
72 |
5 7 67 71
|
mpbir3and |
|- ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( UnifOn ` X ) ) |