Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
metust.1 |
|- F = ran ( a e. RR+ |-> ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) |
2 |
1
|
metust |
|- ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( UnifOn ` X ) ) |
3 |
|
cfilufbas |
|- ( ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( UnifOn ` X ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) -> C e. ( fBas ` X ) ) |
4 |
2 3
|
sylan |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) -> C e. ( fBas ` X ) ) |
5 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> D e. ( PsMet ` X ) ) |
6 |
|
psmetf |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* ) |
7 |
|
ffun |
|- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> Fun D ) |
8 |
5 6 7
|
3syl |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> Fun D ) |
9 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( UnifOn ` X ) ) |
10 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) |
11 |
1
|
metustfbas |
|- ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) -> F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) ) |
12 |
11
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) ) |
13 |
|
cnvimass |
|- ( `' D " ( 0 [,) x ) ) C_ dom D |
14 |
|
fdm |
|- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> dom D = ( X X. X ) ) |
15 |
5 6 14
|
3syl |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> dom D = ( X X. X ) ) |
16 |
13 15
|
sseqtrid |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( `' D " ( 0 [,) x ) ) C_ ( X X. X ) ) |
17 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ ) |
18 |
17
|
rphalfcld |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( x / 2 ) e. RR+ ) |
19 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) = ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) ) |
20 |
|
oveq2 |
|- ( a = ( x / 2 ) -> ( 0 [,) a ) = ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) |
21 |
20
|
imaeq2d |
|- ( a = ( x / 2 ) -> ( `' D " ( 0 [,) a ) ) = ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) ) |
22 |
21
|
rspceeqv |
|- ( ( ( x / 2 ) e. RR+ /\ ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) = ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) ) -> E. a e. RR+ ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) = ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) |
23 |
18 19 22
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> E. a e. RR+ ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) = ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) |
24 |
1
|
metustel |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> ( ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) e. F <-> E. a e. RR+ ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) = ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) ) |
25 |
24
|
biimpar |
|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ E. a e. RR+ ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) = ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) -> ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) e. F ) |
26 |
5 23 25
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) e. F ) |
27 |
|
0xr |
|- 0 e. RR* |
28 |
27
|
a1i |
|- ( x e. RR+ -> 0 e. RR* ) |
29 |
|
rpxr |
|- ( x e. RR+ -> x e. RR* ) |
30 |
|
0le0 |
|- 0 <_ 0 |
31 |
30
|
a1i |
|- ( x e. RR+ -> 0 <_ 0 ) |
32 |
|
rpre |
|- ( x e. RR+ -> x e. RR ) |
33 |
32
|
rehalfcld |
|- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR ) |
34 |
|
rphalflt |
|- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) < x ) |
35 |
33 32 34
|
ltled |
|- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) <_ x ) |
36 |
|
icossico |
|- ( ( ( 0 e. RR* /\ x e. RR* ) /\ ( 0 <_ 0 /\ ( x / 2 ) <_ x ) ) -> ( 0 [,) ( x / 2 ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) |
37 |
28 29 31 35 36
|
syl22anc |
|- ( x e. RR+ -> ( 0 [,) ( x / 2 ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) |
38 |
|
imass2 |
|- ( ( 0 [,) ( x / 2 ) ) C_ ( 0 [,) x ) -> ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) C_ ( `' D " ( 0 [,) x ) ) ) |
39 |
17 37 38
|
3syl |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) C_ ( `' D " ( 0 [,) x ) ) ) |
40 |
|
sseq1 |
|- ( w = ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) -> ( w C_ ( `' D " ( 0 [,) x ) ) <-> ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) C_ ( `' D " ( 0 [,) x ) ) ) ) |
41 |
40
|
rspcev |
|- ( ( ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) e. F /\ ( `' D " ( 0 [,) ( x / 2 ) ) ) C_ ( `' D " ( 0 [,) x ) ) ) -> E. w e. F w C_ ( `' D " ( 0 [,) x ) ) ) |
42 |
26 39 41
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> E. w e. F w C_ ( `' D " ( 0 [,) x ) ) ) |
43 |
|
elfg |
|- ( F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) -> ( ( `' D " ( 0 [,) x ) ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) <-> ( ( `' D " ( 0 [,) x ) ) C_ ( X X. X ) /\ E. w e. F w C_ ( `' D " ( 0 [,) x ) ) ) ) ) |
44 |
43
|
biimpar |
|- ( ( F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) /\ ( ( `' D " ( 0 [,) x ) ) C_ ( X X. X ) /\ E. w e. F w C_ ( `' D " ( 0 [,) x ) ) ) ) -> ( `' D " ( 0 [,) x ) ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
45 |
12 16 42 44
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( `' D " ( 0 [,) x ) ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
46 |
|
cfiluexsm |
|- ( ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( UnifOn ` X ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ ( `' D " ( 0 [,) x ) ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> E. y e. C ( y X. y ) C_ ( `' D " ( 0 [,) x ) ) ) |
47 |
9 10 45 46
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> E. y e. C ( y X. y ) C_ ( `' D " ( 0 [,) x ) ) ) |
48 |
|
funimass2 |
|- ( ( Fun D /\ ( y X. y ) C_ ( `' D " ( 0 [,) x ) ) ) -> ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) |
49 |
48
|
ex |
|- ( Fun D -> ( ( y X. y ) C_ ( `' D " ( 0 [,) x ) ) -> ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) |
50 |
49
|
reximdv |
|- ( Fun D -> ( E. y e. C ( y X. y ) C_ ( `' D " ( 0 [,) x ) ) -> E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) |
51 |
8 47 50
|
sylc |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) |
52 |
51
|
ralrimiva |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) -> A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) |
53 |
4 52
|
jca |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) -> ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) |
54 |
|
simprl |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) -> C e. ( fBas ` X ) ) |
55 |
|
oveq2 |
|- ( x = a -> ( 0 [,) x ) = ( 0 [,) a ) ) |
56 |
55
|
sseq2d |
|- ( x = a -> ( ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) <-> ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) a ) ) ) |
57 |
56
|
rexbidv |
|- ( x = a -> ( E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) <-> E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) a ) ) ) |
58 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ a e. RR+ ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) -> ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) |
59 |
58
|
simprd |
|- ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ a e. RR+ ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) -> A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) |
60 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ a e. RR+ ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) -> a e. RR+ ) |
61 |
57 59 60
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ a e. RR+ ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) -> E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) a ) ) |
62 |
|
nfv |
|- F/ y ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) |
63 |
|
nfv |
|- F/ y C e. ( fBas ` X ) |
64 |
|
nfcv |
|- F/_ y RR+ |
65 |
|
nfre1 |
|- F/ y E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) |
66 |
64 65
|
nfralw |
|- F/ y A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) |
67 |
63 66
|
nfan |
|- F/ y ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) |
68 |
62 67
|
nfan |
|- F/ y ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) |
69 |
|
nfv |
|- F/ y v e. ( ( X X. X ) filGen F ) |
70 |
68 69
|
nfan |
|- F/ y ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) |
71 |
|
nfv |
|- F/ y a e. RR+ |
72 |
70 71
|
nfan |
|- F/ y ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ a e. RR+ ) |
73 |
|
nfv |
|- F/ y ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v |
74 |
72 73
|
nfan |
|- F/ y ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ a e. RR+ ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) |
75 |
54
|
ad4antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ a e. RR+ ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) /\ y e. C ) -> C e. ( fBas ` X ) ) |
76 |
|
fbelss |
|- ( ( C e. ( fBas ` X ) /\ y e. C ) -> y C_ X ) |
77 |
75 76
|
sylancom |
|- ( ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ a e. RR+ ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) /\ y e. C ) -> y C_ X ) |
78 |
|
xpss12 |
|- ( ( y C_ X /\ y C_ X ) -> ( y X. y ) C_ ( X X. X ) ) |
79 |
77 77 78
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ a e. RR+ ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) /\ y e. C ) -> ( y X. y ) C_ ( X X. X ) ) |
80 |
|
simp-6r |
|- ( ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ a e. RR+ ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) /\ y e. C ) -> D e. ( PsMet ` X ) ) |
81 |
80 6 14
|
3syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ a e. RR+ ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) /\ y e. C ) -> dom D = ( X X. X ) ) |
82 |
79 81
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ a e. RR+ ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) /\ y e. C ) -> ( y X. y ) C_ dom D ) |
83 |
82
|
ex |
|- ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ a e. RR+ ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) -> ( y e. C -> ( y X. y ) C_ dom D ) ) |
84 |
74 83
|
ralrimi |
|- ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ a e. RR+ ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) -> A. y e. C ( y X. y ) C_ dom D ) |
85 |
|
r19.29r |
|- ( ( E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) a ) /\ A. y e. C ( y X. y ) C_ dom D ) -> E. y e. C ( ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) a ) /\ ( y X. y ) C_ dom D ) ) |
86 |
|
sseqin2 |
|- ( ( y X. y ) C_ dom D <-> ( dom D i^i ( y X. y ) ) = ( y X. y ) ) |
87 |
86
|
biimpi |
|- ( ( y X. y ) C_ dom D -> ( dom D i^i ( y X. y ) ) = ( y X. y ) ) |
88 |
87
|
adantl |
|- ( ( ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) a ) /\ ( y X. y ) C_ dom D ) -> ( dom D i^i ( y X. y ) ) = ( y X. y ) ) |
89 |
|
dminss |
|- ( dom D i^i ( y X. y ) ) C_ ( `' D " ( D " ( y X. y ) ) ) |
90 |
88 89
|
eqsstrrdi |
|- ( ( ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) a ) /\ ( y X. y ) C_ dom D ) -> ( y X. y ) C_ ( `' D " ( D " ( y X. y ) ) ) ) |
91 |
|
imass2 |
|- ( ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) a ) -> ( `' D " ( D " ( y X. y ) ) ) C_ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) |
92 |
91
|
adantr |
|- ( ( ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) a ) /\ ( y X. y ) C_ dom D ) -> ( `' D " ( D " ( y X. y ) ) ) C_ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) |
93 |
90 92
|
sstrd |
|- ( ( ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) a ) /\ ( y X. y ) C_ dom D ) -> ( y X. y ) C_ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) |
94 |
93
|
reximi |
|- ( E. y e. C ( ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) a ) /\ ( y X. y ) C_ dom D ) -> E. y e. C ( y X. y ) C_ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) |
95 |
85 94
|
syl |
|- ( ( E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) a ) /\ A. y e. C ( y X. y ) C_ dom D ) -> E. y e. C ( y X. y ) C_ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) |
96 |
61 84 95
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ a e. RR+ ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) -> E. y e. C ( y X. y ) C_ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) |
97 |
|
r19.41v |
|- ( E. y e. C ( ( y X. y ) C_ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) <-> ( E. y e. C ( y X. y ) C_ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) ) |
98 |
|
sstr |
|- ( ( ( y X. y ) C_ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) -> ( y X. y ) C_ v ) |
99 |
98
|
reximi |
|- ( E. y e. C ( ( y X. y ) C_ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) -> E. y e. C ( y X. y ) C_ v ) |
100 |
97 99
|
sylbir |
|- ( ( E. y e. C ( y X. y ) C_ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) -> E. y e. C ( y X. y ) C_ v ) |
101 |
96 100
|
sylancom |
|- ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ a e. RR+ ) /\ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) -> E. y e. C ( y X. y ) C_ v ) |
102 |
|
simp-5r |
|- ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. F ) /\ w C_ v ) -> D e. ( PsMet ` X ) ) |
103 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. F ) /\ w C_ v ) -> w e. F ) |
104 |
1
|
metustel |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> ( w e. F <-> E. a e. RR+ w = ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) ) |
105 |
104
|
biimpa |
|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ w e. F ) -> E. a e. RR+ w = ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) |
106 |
102 103 105
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. F ) /\ w C_ v ) -> E. a e. RR+ w = ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) |
107 |
|
r19.41v |
|- ( E. a e. RR+ ( w = ( `' D " ( 0 [,) a ) ) /\ w C_ v ) <-> ( E. a e. RR+ w = ( `' D " ( 0 [,) a ) ) /\ w C_ v ) ) |
108 |
|
sseq1 |
|- ( w = ( `' D " ( 0 [,) a ) ) -> ( w C_ v <-> ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) ) |
109 |
108
|
biimpa |
|- ( ( w = ( `' D " ( 0 [,) a ) ) /\ w C_ v ) -> ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) |
110 |
109
|
reximi |
|- ( E. a e. RR+ ( w = ( `' D " ( 0 [,) a ) ) /\ w C_ v ) -> E. a e. RR+ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) |
111 |
107 110
|
sylbir |
|- ( ( E. a e. RR+ w = ( `' D " ( 0 [,) a ) ) /\ w C_ v ) -> E. a e. RR+ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) |
112 |
106 111
|
sylancom |
|- ( ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. F ) /\ w C_ v ) -> E. a e. RR+ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) |
113 |
11
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) ) |
114 |
|
elfg |
|- ( F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) -> ( v e. ( ( X X. X ) filGen F ) <-> ( v C_ ( X X. X ) /\ E. w e. F w C_ v ) ) ) |
115 |
114
|
biimpa |
|- ( ( F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> ( v C_ ( X X. X ) /\ E. w e. F w C_ v ) ) |
116 |
113 115
|
sylancom |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> ( v C_ ( X X. X ) /\ E. w e. F w C_ v ) ) |
117 |
116
|
simprd |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> E. w e. F w C_ v ) |
118 |
112 117
|
r19.29a |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> E. a e. RR+ ( `' D " ( 0 [,) a ) ) C_ v ) |
119 |
101 118
|
r19.29a |
|- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> E. y e. C ( y X. y ) C_ v ) |
120 |
119
|
ralrimiva |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) -> A. v e. ( ( X X. X ) filGen F ) E. y e. C ( y X. y ) C_ v ) |
121 |
2
|
adantr |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( UnifOn ` X ) ) |
122 |
|
iscfilu |
|- ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( UnifOn ` X ) -> ( C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) <-> ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. v e. ( ( X X. X ) filGen F ) E. y e. C ( y X. y ) C_ v ) ) ) |
123 |
121 122
|
syl |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) -> ( C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) <-> ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. v e. ( ( X X. X ) filGen F ) E. y e. C ( y X. y ) C_ v ) ) ) |
124 |
54 120 123
|
mpbir2and |
|- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) /\ ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) -> C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) ) |
125 |
53 124
|
impbida |
|- ( ( X =/= (/) /\ D e. ( PsMet ` X ) ) -> ( C e. ( CauFilU ` ( ( X X. X ) filGen F ) ) <-> ( C e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. C ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) ) |