Metamath Proof Explorer


Theorem cfilucfil

Description: Given a metric D and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the filter bases which contain balls of any pre-chosen size. See iscfil . (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Nov-2017) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018)

Ref Expression
Hypothesis metust.1 F = ran a + D -1 0 a
Assertion cfilucfil X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F C fBas X x + y C D y × y 0 x

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 metust.1 F = ran a + D -1 0 a
2 1 metust X D PsMet X X × X filGen F UnifOn X
3 cfilufbas X × X filGen F UnifOn X C CauFilU X × X filGen F C fBas X
4 2 3 sylan X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F C fBas X
5 simpllr X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + D PsMet X
6 psmetf D PsMet X D : X × X *
7 ffun D : X × X * Fun D
8 5 6 7 3syl X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + Fun D
9 2 ad2antrr X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + X × X filGen F UnifOn X
10 simplr X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + C CauFilU X × X filGen F
11 1 metustfbas X D PsMet X F fBas X × X
12 11 ad2antrr X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + F fBas X × X
13 cnvimass D -1 0 x dom D
14 fdm D : X × X * dom D = X × X
15 5 6 14 3syl X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + dom D = X × X
16 13 15 sseqtrid X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + D -1 0 x X × X
17 simpr X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + x +
18 17 rphalfcld X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + x 2 +
19 eqidd X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + D -1 0 x 2 = D -1 0 x 2
20 oveq2 a = x 2 0 a = 0 x 2
21 20 imaeq2d a = x 2 D -1 0 a = D -1 0 x 2
22 21 rspceeqv x 2 + D -1 0 x 2 = D -1 0 x 2 a + D -1 0 x 2 = D -1 0 a
23 18 19 22 syl2anc X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + a + D -1 0 x 2 = D -1 0 a
24 1 metustel D PsMet X D -1 0 x 2 F a + D -1 0 x 2 = D -1 0 a
25 24 biimpar D PsMet X a + D -1 0 x 2 = D -1 0 a D -1 0 x 2 F
26 5 23 25 syl2anc X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + D -1 0 x 2 F
27 0xr 0 *
28 27 a1i x + 0 *
29 rpxr x + x *
30 0le0 0 0
31 30 a1i x + 0 0
32 rpre x + x
33 32 rehalfcld x + x 2
34 rphalflt x + x 2 < x
35 33 32 34 ltled x + x 2 x
36 icossico 0 * x * 0 0 x 2 x 0 x 2 0 x
37 28 29 31 35 36 syl22anc x + 0 x 2 0 x
38 imass2 0 x 2 0 x D -1 0 x 2 D -1 0 x
39 17 37 38 3syl X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + D -1 0 x 2 D -1 0 x
40 sseq1 w = D -1 0 x 2 w D -1 0 x D -1 0 x 2 D -1 0 x
41 40 rspcev D -1 0 x 2 F D -1 0 x 2 D -1 0 x w F w D -1 0 x
42 26 39 41 syl2anc X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + w F w D -1 0 x
43 elfg F fBas X × X D -1 0 x X × X filGen F D -1 0 x X × X w F w D -1 0 x
44 43 biimpar F fBas X × X D -1 0 x X × X w F w D -1 0 x D -1 0 x X × X filGen F
45 12 16 42 44 syl12anc X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + D -1 0 x X × X filGen F
46 cfiluexsm X × X filGen F UnifOn X C CauFilU X × X filGen F D -1 0 x X × X filGen F y C y × y D -1 0 x
47 9 10 45 46 syl3anc X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + y C y × y D -1 0 x
48 funimass2 Fun D y × y D -1 0 x D y × y 0 x
49 48 ex Fun D y × y D -1 0 x D y × y 0 x
50 49 reximdv Fun D y C y × y D -1 0 x y C D y × y 0 x
51 8 47 50 sylc X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + y C D y × y 0 x
52 51 ralrimiva X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F x + y C D y × y 0 x
53 4 52 jca X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F C fBas X x + y C D y × y 0 x
54 simprl X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x C fBas X
55 oveq2 x = a 0 x = 0 a
56 55 sseq2d x = a D y × y 0 x D y × y 0 a
57 56 rexbidv x = a y C D y × y 0 x y C D y × y 0 a
58 simp-4r X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a + D -1 0 a v C fBas X x + y C D y × y 0 x
59 58 simprd X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a + D -1 0 a v x + y C D y × y 0 x
60 simplr X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a + D -1 0 a v a +
61 57 59 60 rspcdva X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a + D -1 0 a v y C D y × y 0 a
62 nfv y X D PsMet X
63 nfv y C fBas X
64 nfcv _ y +
65 nfre1 y y C D y × y 0 x
66 64 65 nfralw y x + y C D y × y 0 x
67 63 66 nfan y C fBas X x + y C D y × y 0 x
68 62 67 nfan y X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x
69 nfv y v X × X filGen F
70 68 69 nfan y X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F
71 nfv y a +
72 70 71 nfan y X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a +
73 nfv y D -1 0 a v
74 72 73 nfan y X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a + D -1 0 a v
75 54 ad4antr X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a + D -1 0 a v y C C fBas X
76 fbelss C fBas X y C y X
77 75 76 sylancom X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a + D -1 0 a v y C y X
78 xpss12 y X y X y × y X × X
79 77 77 78 syl2anc X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a + D -1 0 a v y C y × y X × X
80 simp-6r X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a + D -1 0 a v y C D PsMet X
81 80 6 14 3syl X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a + D -1 0 a v y C dom D = X × X
82 79 81 sseqtrrd X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a + D -1 0 a v y C y × y dom D
83 82 ex X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a + D -1 0 a v y C y × y dom D
84 74 83 ralrimi X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a + D -1 0 a v y C y × y dom D
85 r19.29r y C D y × y 0 a y C y × y dom D y C D y × y 0 a y × y dom D
86 sseqin2 y × y dom D dom D y × y = y × y
87 86 biimpi y × y dom D dom D y × y = y × y
88 87 adantl D y × y 0 a y × y dom D dom D y × y = y × y
89 dminss dom D y × y D -1 D y × y
90 88 89 eqsstrrdi D y × y 0 a y × y dom D y × y D -1 D y × y
91 imass2 D y × y 0 a D -1 D y × y D -1 0 a
92 91 adantr D y × y 0 a y × y dom D D -1 D y × y D -1 0 a
93 90 92 sstrd D y × y 0 a y × y dom D y × y D -1 0 a
94 93 reximi y C D y × y 0 a y × y dom D y C y × y D -1 0 a
95 85 94 syl y C D y × y 0 a y C y × y dom D y C y × y D -1 0 a
96 61 84 95 syl2anc X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a + D -1 0 a v y C y × y D -1 0 a
97 r19.41v y C y × y D -1 0 a D -1 0 a v y C y × y D -1 0 a D -1 0 a v
98 sstr y × y D -1 0 a D -1 0 a v y × y v
99 98 reximi y C y × y D -1 0 a D -1 0 a v y C y × y v
100 97 99 sylbir y C y × y D -1 0 a D -1 0 a v y C y × y v
101 96 100 sylancom X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a + D -1 0 a v y C y × y v
102 simp-5r X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F w F w v D PsMet X
103 simplr X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F w F w v w F
104 1 metustel D PsMet X w F a + w = D -1 0 a
105 104 biimpa D PsMet X w F a + w = D -1 0 a
106 102 103 105 syl2anc X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F w F w v a + w = D -1 0 a
107 r19.41v a + w = D -1 0 a w v a + w = D -1 0 a w v
108 sseq1 w = D -1 0 a w v D -1 0 a v
109 108 biimpa w = D -1 0 a w v D -1 0 a v
110 109 reximi a + w = D -1 0 a w v a + D -1 0 a v
111 107 110 sylbir a + w = D -1 0 a w v a + D -1 0 a v
112 106 111 sylancom X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F w F w v a + D -1 0 a v
113 11 ad2antrr X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F F fBas X × X
114 elfg F fBas X × X v X × X filGen F v X × X w F w v
115 114 biimpa F fBas X × X v X × X filGen F v X × X w F w v
116 113 115 sylancom X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F v X × X w F w v
117 116 simprd X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F w F w v
118 112 117 r19.29a X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F a + D -1 0 a v
119 101 118 r19.29a X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F y C y × y v
120 119 ralrimiva X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x v X × X filGen F y C y × y v
121 2 adantr X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x X × X filGen F UnifOn X
122 iscfilu X × X filGen F UnifOn X C CauFilU X × X filGen F C fBas X v X × X filGen F y C y × y v
123 121 122 syl X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x C CauFilU X × X filGen F C fBas X v X × X filGen F y C y × y v
124 54 120 123 mpbir2and X D PsMet X C fBas X x + y C D y × y 0 x C CauFilU X × X filGen F
125 53 124 impbida X D PsMet X C CauFilU X × X filGen F C fBas X x + y C D y × y 0 x