Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
relexpindlem.1 |
|- ( et -> Rel R ) |
2 |
|
relexpindlem.2 |
|- ( et -> S e. V ) |
3 |
|
relexpindlem.3 |
|- ( i = S -> ( ph <-> ch ) ) |
4 |
|
relexpindlem.4 |
|- ( i = x -> ( ph <-> ps ) ) |
5 |
|
relexpindlem.5 |
|- ( i = j -> ( ph <-> th ) ) |
6 |
|
relexpindlem.6 |
|- ( et -> ch ) |
7 |
|
relexpindlem.7 |
|- ( et -> ( j R x -> ( th -> ps ) ) ) |
8 |
|
eleq1 |
|- ( k = 0 -> ( k e. NN0 <-> 0 e. NN0 ) ) |
9 |
8
|
anbi2d |
|- ( k = 0 -> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ k e. NN0 ) <-> ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) ) ) |
10 |
|
oveq2 |
|- ( k = 0 -> ( R ^r k ) = ( R ^r 0 ) ) |
11 |
10
|
breqd |
|- ( k = 0 -> ( S ( R ^r k ) x <-> S ( R ^r 0 ) x ) ) |
12 |
11
|
imbi1d |
|- ( k = 0 -> ( ( S ( R ^r k ) x -> ps ) <-> ( S ( R ^r 0 ) x -> ps ) ) ) |
13 |
12
|
albidv |
|- ( k = 0 -> ( A. x ( S ( R ^r k ) x -> ps ) <-> A. x ( S ( R ^r 0 ) x -> ps ) ) ) |
14 |
9 13
|
imbi12d |
|- ( k = 0 -> ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ k e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r k ) x -> ps ) ) <-> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r 0 ) x -> ps ) ) ) ) |
15 |
|
eleq1 |
|- ( k = l -> ( k e. NN0 <-> l e. NN0 ) ) |
16 |
15
|
anbi2d |
|- ( k = l -> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ k e. NN0 ) <-> ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) ) ) |
17 |
|
oveq2 |
|- ( k = l -> ( R ^r k ) = ( R ^r l ) ) |
18 |
17
|
breqd |
|- ( k = l -> ( S ( R ^r k ) x <-> S ( R ^r l ) x ) ) |
19 |
18
|
imbi1d |
|- ( k = l -> ( ( S ( R ^r k ) x -> ps ) <-> ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) ) |
20 |
19
|
albidv |
|- ( k = l -> ( A. x ( S ( R ^r k ) x -> ps ) <-> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) ) |
21 |
16 20
|
imbi12d |
|- ( k = l -> ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ k e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r k ) x -> ps ) ) <-> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) ) ) |
22 |
|
eleq1 |
|- ( k = ( l + 1 ) -> ( k e. NN0 <-> ( l + 1 ) e. NN0 ) ) |
23 |
22
|
anbi2d |
|- ( k = ( l + 1 ) -> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ k e. NN0 ) <-> ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( l + 1 ) e. NN0 ) ) ) |
24 |
|
oveq2 |
|- ( k = ( l + 1 ) -> ( R ^r k ) = ( R ^r ( l + 1 ) ) ) |
25 |
24
|
breqd |
|- ( k = ( l + 1 ) -> ( S ( R ^r k ) x <-> S ( R ^r ( l + 1 ) ) x ) ) |
26 |
25
|
imbi1d |
|- ( k = ( l + 1 ) -> ( ( S ( R ^r k ) x -> ps ) <-> ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) ) |
27 |
26
|
albidv |
|- ( k = ( l + 1 ) -> ( A. x ( S ( R ^r k ) x -> ps ) <-> A. x ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) ) |
28 |
23 27
|
imbi12d |
|- ( k = ( l + 1 ) -> ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ k e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r k ) x -> ps ) ) <-> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( l + 1 ) e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) ) ) |
29 |
|
eleq1 |
|- ( k = n -> ( k e. NN0 <-> n e. NN0 ) ) |
30 |
29
|
anbi2d |
|- ( k = n -> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ k e. NN0 ) <-> ( ( et /\ R e. _V ) /\ n e. NN0 ) ) ) |
31 |
|
oveq2 |
|- ( k = n -> ( R ^r k ) = ( R ^r n ) ) |
32 |
31
|
breqd |
|- ( k = n -> ( S ( R ^r k ) x <-> S ( R ^r n ) x ) ) |
33 |
32
|
imbi1d |
|- ( k = n -> ( ( S ( R ^r k ) x -> ps ) <-> ( S ( R ^r n ) x -> ps ) ) ) |
34 |
33
|
albidv |
|- ( k = n -> ( A. x ( S ( R ^r k ) x -> ps ) <-> A. x ( S ( R ^r n ) x -> ps ) ) ) |
35 |
30 34
|
imbi12d |
|- ( k = n -> ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ k e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r k ) x -> ps ) ) <-> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ n e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r n ) x -> ps ) ) ) ) |
36 |
1
|
anim1ci |
|- ( ( et /\ R e. _V ) -> ( R e. _V /\ Rel R ) ) |
37 |
36
|
adantr |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( R e. _V /\ Rel R ) ) |
38 |
|
relexp0 |
|- ( ( R e. _V /\ Rel R ) -> ( R ^r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) ) |
39 |
37 38
|
syl |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( R ^r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) ) |
40 |
6
|
adantr |
|- ( ( et /\ R e. _V ) -> ch ) |
41 |
|
simpl |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( et /\ R e. _V ) ) |
42 |
2
|
ad2antrl |
|- ( ( ch /\ ( et /\ R e. _V ) ) -> S e. V ) |
43 |
|
simprl |
|- ( ( i = S /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ph /\ i = S ) ) ) -> ( et /\ R e. _V ) ) |
44 |
43 40
|
jccil |
|- ( ( i = S /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ph /\ i = S ) ) ) -> ( ch /\ ( et /\ R e. _V ) ) ) |
45 |
44
|
expcom |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ph /\ i = S ) ) -> ( i = S -> ( ch /\ ( et /\ R e. _V ) ) ) ) |
46 |
45
|
expcom |
|- ( ( ph /\ i = S ) -> ( ( et /\ R e. _V ) -> ( i = S -> ( ch /\ ( et /\ R e. _V ) ) ) ) ) |
47 |
46
|
expcom |
|- ( i = S -> ( ph -> ( ( et /\ R e. _V ) -> ( i = S -> ( ch /\ ( et /\ R e. _V ) ) ) ) ) ) |
48 |
47
|
3imp1 |
|- ( ( ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ i = S ) -> ( ch /\ ( et /\ R e. _V ) ) ) |
49 |
48
|
expcom |
|- ( i = S -> ( ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) -> ( ch /\ ( et /\ R e. _V ) ) ) ) |
50 |
|
simprr |
|- ( ( ch /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ i = S ) ) -> i = S ) |
51 |
3
|
ad2antll |
|- ( ( ch /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ i = S ) ) -> ( ph <-> ch ) ) |
52 |
51
|
bicomd |
|- ( ( ch /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ i = S ) ) -> ( ch <-> ph ) ) |
53 |
|
anbi1 |
|- ( ( ch <-> ph ) -> ( ( ch /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ i = S ) ) <-> ( ph /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ i = S ) ) ) ) |
54 |
|
simpl |
|- ( ( ph /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ i = S ) ) -> ph ) |
55 |
53 54
|
syl6bi |
|- ( ( ch <-> ph ) -> ( ( ch /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ i = S ) ) -> ph ) ) |
56 |
52 55
|
mpcom |
|- ( ( ch /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ i = S ) ) -> ph ) |
57 |
|
simprl |
|- ( ( ch /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ i = S ) ) -> ( et /\ R e. _V ) ) |
58 |
50 56 57
|
3jca |
|- ( ( ch /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ i = S ) ) -> ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) ) |
59 |
58
|
anassrs |
|- ( ( ( ch /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ i = S ) -> ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) ) |
60 |
59
|
expcom |
|- ( i = S -> ( ( ch /\ ( et /\ R e. _V ) ) -> ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) ) ) |
61 |
49 60
|
impbid |
|- ( i = S -> ( ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) <-> ( ch /\ ( et /\ R e. _V ) ) ) ) |
62 |
61
|
spcegv |
|- ( S e. V -> ( ( ch /\ ( et /\ R e. _V ) ) -> E. i ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) ) ) |
63 |
42 62
|
mpcom |
|- ( ( ch /\ ( et /\ R e. _V ) ) -> E. i ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) ) |
64 |
40 41 63
|
syl2an2r |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) -> E. i ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) ) |
65 |
|
simpl |
|- ( ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) ) ) -> S ( _I |` U. U. R ) x ) |
66 |
|
df-br |
|- ( S ( _I |` U. U. R ) x <-> <. S , x >. e. ( _I |` U. U. R ) ) |
67 |
65 66
|
sylib |
|- ( ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) ) ) -> <. S , x >. e. ( _I |` U. U. R ) ) |
68 |
|
vex |
|- x e. _V |
69 |
68
|
opelresi |
|- ( <. S , x >. e. ( _I |` U. U. R ) <-> ( S e. U. U. R /\ <. S , x >. e. _I ) ) |
70 |
67 69
|
sylib |
|- ( ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) ) ) -> ( S e. U. U. R /\ <. S , x >. e. _I ) ) |
71 |
|
simplr |
|- ( ( ( S e. U. U. R /\ <. S , x >. e. _I ) /\ ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) ) ) ) -> <. S , x >. e. _I ) |
72 |
|
df-br |
|- ( S _I x <-> <. S , x >. e. _I ) |
73 |
71 72
|
sylibr |
|- ( ( ( S e. U. U. R /\ <. S , x >. e. _I ) /\ ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) ) ) ) -> S _I x ) |
74 |
68
|
ideq |
|- ( S _I x <-> S = x ) |
75 |
73 74
|
sylib |
|- ( ( ( S e. U. U. R /\ <. S , x >. e. _I ) /\ ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) ) ) ) -> S = x ) |
76 |
70 75
|
mpancom |
|- ( ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) ) ) -> S = x ) |
77 |
|
breq1 |
|- ( S = x -> ( S ( _I |` U. U. R ) x <-> x ( _I |` U. U. R ) x ) ) |
78 |
|
eqeq2 |
|- ( S = x -> ( i = S <-> i = x ) ) |
79 |
78
|
3anbi1d |
|- ( S = x -> ( ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) <-> ( i = x /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) ) ) |
80 |
79
|
exbidv |
|- ( S = x -> ( E. i ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) <-> E. i ( i = x /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) ) ) |
81 |
80
|
anbi1d |
|- ( S = x -> ( ( E. i ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) ) <-> ( E. i ( i = x /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) ) ) ) |
82 |
77 81
|
anbi12d |
|- ( S = x -> ( ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) ) ) <-> ( x ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = x /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) ) ) ) ) |
83 |
|
simprl |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ph /\ i = x ) ) -> ph ) |
84 |
4
|
ad2antll |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ph /\ i = x ) ) -> ( ph <-> ps ) ) |
85 |
83 84
|
mpbid |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ph /\ i = x ) ) -> ps ) |
86 |
85
|
expcom |
|- ( ( ph /\ i = x ) -> ( ( et /\ R e. _V ) -> ps ) ) |
87 |
86
|
expcom |
|- ( i = x -> ( ph -> ( ( et /\ R e. _V ) -> ps ) ) ) |
88 |
87
|
3imp |
|- ( ( i = x /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) -> ps ) |
89 |
88
|
exlimiv |
|- ( E. i ( i = x /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) -> ps ) |
90 |
89
|
ad2antrl |
|- ( ( x ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = x /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) ) ) -> ps ) |
91 |
82 90
|
syl6bi |
|- ( S = x -> ( ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) ) ) -> ps ) ) |
92 |
76 91
|
mpcom |
|- ( ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) ) ) -> ps ) |
93 |
92
|
expcom |
|- ( ( E. i ( i = S /\ ph /\ ( et /\ R e. _V ) ) /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) ) -> ( S ( _I |` U. U. R ) x -> ps ) ) |
94 |
64 93
|
mpancom |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( S ( _I |` U. U. R ) x -> ps ) ) |
95 |
|
breq |
|- ( ( R ^r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) -> ( S ( R ^r 0 ) x <-> S ( _I |` U. U. R ) x ) ) |
96 |
95
|
imbi1d |
|- ( ( R ^r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) -> ( ( S ( R ^r 0 ) x -> ps ) <-> ( S ( _I |` U. U. R ) x -> ps ) ) ) |
97 |
94 96
|
syl5ibr |
|- ( ( R ^r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) -> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( S ( R ^r 0 ) x -> ps ) ) ) |
98 |
39 97
|
mpcom |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( S ( R ^r 0 ) x -> ps ) ) |
99 |
98
|
alrimiv |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ 0 e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r 0 ) x -> ps ) ) |
100 |
|
breq2 |
|- ( i = x -> ( S ( R ^r l ) i <-> S ( R ^r l ) x ) ) |
101 |
100 4
|
imbi12d |
|- ( i = x -> ( ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) ) |
102 |
101
|
cbvalvw |
|- ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) |
103 |
102
|
bicomi |
|- ( A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) <-> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) |
104 |
|
imbi2 |
|- ( ( A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) <-> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) -> ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) <-> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) ) ) |
105 |
104
|
anbi1d |
|- ( ( A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) <-> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) -> ( ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) /\ l e. NN0 ) <-> ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) |
106 |
105
|
anbi2d |
|- ( ( A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) <-> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) -> ( ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) /\ l e. NN0 ) ) <-> ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) ) |
107 |
106
|
anbi2d |
|- ( ( A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) <-> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) -> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) <-> ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) ) ) |
108 |
1
|
adantr |
|- ( ( et /\ R e. _V ) -> Rel R ) |
109 |
108
|
adantr |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> Rel R ) |
110 |
|
simprrr |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> l e. NN0 ) |
111 |
109 110
|
relexpsucld |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> ( R ^r ( l + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r l ) ) ) |
112 |
|
simpl |
|- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) ) -> S ( R o. ( R ^r l ) ) x ) |
113 |
2
|
adantr |
|- ( ( et /\ R e. _V ) -> S e. V ) |
114 |
113
|
ad2antrl |
|- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) ) -> S e. V ) |
115 |
|
brcog |
|- ( ( S e. V /\ x e. _V ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x <-> E. j ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) |
116 |
114 68 115
|
sylancl |
|- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x <-> E. j ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) |
117 |
112 116
|
mpbid |
|- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) ) -> E. j ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) |
118 |
|
simprl |
|- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) -> ( et /\ R e. _V ) ) |
119 |
|
simprrl |
|- ( ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) -> l e. NN0 ) |
120 |
119
|
ad2antll |
|- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) -> l e. NN0 ) |
121 |
|
simprl |
|- ( ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) -> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) ) |
122 |
121
|
ad2antll |
|- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) ) |
123 |
118 120 122
|
mp2and |
|- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) |
124 |
|
simprrl |
|- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) -> ( et /\ R e. _V ) ) |
125 |
|
simprrr |
|- ( ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) -> j R x ) |
126 |
125
|
ad2antll |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) -> j R x ) |
127 |
126
|
ad2antll |
|- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) -> j R x ) |
128 |
|
breq2 |
|- ( i = j -> ( S ( R ^r l ) i <-> S ( R ^r l ) j ) ) |
129 |
128 5
|
imbi12d |
|- ( i = j -> ( ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) ) |
130 |
129
|
cbvalvw |
|- ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) |
131 |
|
id |
|- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) -> ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) ) |
132 |
|
imbi2 |
|- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) -> ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) <-> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) ) ) |
133 |
132
|
anbi1d |
|- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) -> ( ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) <-> ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) |
134 |
133
|
anbi2d |
|- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) -> ( ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) <-> ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) |
135 |
134
|
anbi2d |
|- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) -> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) <-> ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) |
136 |
135
|
anbi2d |
|- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) -> ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) <-> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) ) |
137 |
131 136
|
anbi12d |
|- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) -> ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) <-> ( A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
138 |
|
simprrl |
|- ( ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) -> S ( R ^r l ) j ) |
139 |
138
|
ad2antll |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) -> S ( R ^r l ) j ) |
140 |
139
|
ad2antll |
|- ( ( A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) -> S ( R ^r l ) j ) |
141 |
|
sp |
|- ( A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) -> ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) |
142 |
141
|
adantr |
|- ( ( A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) -> ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) |
143 |
140 142
|
mpd |
|- ( ( A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) -> th ) |
144 |
137 143
|
syl6bi |
|- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) -> ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) -> th ) ) |
145 |
130 144
|
ax-mp |
|- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) -> th ) |
146 |
7
|
adantr |
|- ( ( et /\ R e. _V ) -> ( j R x -> ( th -> ps ) ) ) |
147 |
124 127 145 146
|
syl3c |
|- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) -> ps ) |
148 |
123 147
|
mpancom |
|- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) -> ps ) |
149 |
148
|
expcom |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) ) |
150 |
149
|
expcom |
|- ( ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) -> ( ( et /\ R e. _V ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) ) ) |
151 |
150
|
expcom |
|- ( ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) -> ( ( l + 1 ) e. NN0 -> ( ( et /\ R e. _V ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) ) ) ) |
152 |
151
|
anassrs |
|- ( ( ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) -> ( ( l + 1 ) e. NN0 -> ( ( et /\ R e. _V ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) ) ) ) |
153 |
152
|
impcom |
|- ( ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) -> ( ( et /\ R e. _V ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) ) ) |
154 |
153
|
anassrs |
|- ( ( ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) -> ( ( et /\ R e. _V ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) ) ) |
155 |
154
|
impcom |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) ) |
156 |
155
|
anassrs |
|- ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) ) |
157 |
156
|
impcom |
|- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) -> ps ) |
158 |
157
|
anassrs |
|- ( ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) ) /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) -> ps ) |
159 |
117 158
|
exlimddv |
|- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) ) -> ps ) |
160 |
159
|
expcom |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) ) |
161 |
|
breq |
|- ( ( R ^r ( l + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r l ) ) -> ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x <-> S ( R o. ( R ^r l ) ) x ) ) |
162 |
161
|
imbi1d |
|- ( ( R ^r ( l + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r l ) ) -> ( ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) <-> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) ) ) |
163 |
160 162
|
syl5ibr |
|- ( ( R ^r ( l + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r l ) ) -> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) ) |
164 |
111 163
|
mpcom |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) |
165 |
164
|
alrimiv |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> A. x ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) |
166 |
107 165
|
syl6bi |
|- ( ( A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) <-> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) -> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> A. x ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) ) |
167 |
103 166
|
ax-mp |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> A. x ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) |
168 |
167
|
anassrs |
|- ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( l + 1 ) e. NN0 ) /\ ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) /\ l e. NN0 ) ) -> A. x ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) |
169 |
168
|
expcom |
|- ( ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) /\ l e. NN0 ) -> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( l + 1 ) e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) ) |
170 |
169
|
expcom |
|- ( l e. NN0 -> ( ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) -> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ ( l + 1 ) e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) ) ) |
171 |
14 21 28 35 99 170
|
nn0ind |
|- ( n e. NN0 -> ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ n e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r n ) x -> ps ) ) ) |
172 |
171
|
anabsi7 |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ n e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r n ) x -> ps ) ) |
173 |
172
|
19.21bi |
|- ( ( ( et /\ R e. _V ) /\ n e. NN0 ) -> ( S ( R ^r n ) x -> ps ) ) |
174 |
173
|
exp31 |
|- ( et -> ( R e. _V -> ( n e. NN0 -> ( S ( R ^r n ) x -> ps ) ) ) ) |
175 |
|
reldmrelexp |
|- Rel dom ^r |
176 |
175
|
ovprc1 |
|- ( -. R e. _V -> ( R ^r n ) = (/) ) |
177 |
176
|
breqd |
|- ( -. R e. _V -> ( S ( R ^r n ) x <-> S (/) x ) ) |
178 |
|
br0 |
|- -. S (/) x |
179 |
178
|
pm2.21i |
|- ( S (/) x -> ps ) |
180 |
177 179
|
syl6bi |
|- ( -. R e. _V -> ( S ( R ^r n ) x -> ps ) ) |
181 |
180
|
a1d |
|- ( -. R e. _V -> ( n e. NN0 -> ( S ( R ^r n ) x -> ps ) ) ) |
182 |
174 181
|
pm2.61d1 |
|- ( et -> ( n e. NN0 -> ( S ( R ^r n ) x -> ps ) ) ) |